第22章 一元二次方程 同步训练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 一、单选题 1．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 8．已知一元二次方程，下列判断正确的是（   ） A．该方程无实数解 B．该方程有两个相等的实数解 C．该方程有两个不相等的实数解 D．该方程解的情况不确定 二、填空题 9．一元二次方程的一次项系数是 ． 10．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 11．方程的两个根分别是，则 12．某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 13．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 三、解答题 14．解方程 (1) (2) 15．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 16．在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 17．某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 18．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据题意得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：， ， ，舍去， 所以，平均每月的增长率为． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系．根据单循环赛总场数的计算公式，结合总比赛场数，建立方程求解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为场， 故方程为． 故选：B． 5．D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义逐一分析即可求解． 【详解】解：A、， ， ∵时， ∴，即关于的方程一定有两个实数根，故该选项符合题意； B、当时，原方程变为， 解得，， 故该选项不符合题意， C、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 由一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，且， 故选：． 8．C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数解， 故选：． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 10．13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形． 故答案为：13． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设平均每年增加的百分率都为x，根据两年的增长率，列出方程即可． 【详解】解：设平均每年增加的百分率都为x，根据题意得， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 14．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 15．(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 16．空白区域的宽度为． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设空白区域的宽度为，然后根据矩形面积可列出方程进行求解． 【详解】解：设空白区域的宽度为，由题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：空白区域的宽度为． 17．(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 18．(1)，；， (2)围成的矩形花圃面积不能为840．理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； （1）根据及矩形的面积公式即可求解； （2）令，得一元二次方程，利用判别式的意义判断此方程无实数解，即可作答． 【详解】（1）篱笆长80， ， ， ， 由解得， ， 矩形面积，． （2）不能，理由如下： 令，即， 整理得， 此时， 一元二次方程没有实数根， 围成的矩形花圃面积不能为840． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$