精品解析：吉林省长春市实验中字2025-2026学年高一上学期第二学程考试数学试卷

长春市实验中学2025-2026学年上学期第二学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 6. 已知为奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C D. 7. 已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. ，不等式恒成立，则最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 10 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个结论中，正确的结论是（   ） A. 与表示同一个函数． B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 函数的值域为 D. 已知，，则的取值范围的取值范围是． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数定义域为，则的定义域为 C. 已知是一次函数，且,则 D. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则___________． 13 化简：________. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数 （1）求的解析式； （2）若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； （3）若图像经过坐标原点，解不等式. 16. 已知对任意实数恒成立. （1）求实数的取值所构成的集合; （2）在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若的最大值为0，求实数a的值； （2）设在区间上的最大值为，求的表达式； （3）令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 19. 已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学2025-2026学年上学期第二学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系. 【详解】由，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 3. 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，求出的对称轴方程，分在上单调递增和在上单调递减两种情况求解. 【详解】，令， 则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增， 则，解得，若在上单调递减， 则，解得，综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式依次判断即可得出. 【详解】对A，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 对B，根据幂函数的性质可得是偶函数又在上单调递增，故B正确； 对C，不是偶函数，故C错误； 对D，当时，单调递减，故D错误. 故选：B. 5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 6. 已知为奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可算出答案. 【详解】因为为奇函数，所以，即． 当时，，． 故选：C 7. 已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性列不等式求解即可. 【详解】因为函数是在R上的增函数， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. ，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个结论中，正确的结论是（   ） A. 与表示同一个函数． B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 函数的值域为 D. 已知，，则的取值范围的取值范围是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据函数的定义域以及解析式判断是否为同一函数即可；对于选项B，根据韦达定理判断一元二次方程的根是否为一正一负；对于选项C，通过换元法可求得函数的值域；对于选项D，根据不等式的性质求解即可. 【详解】对于选项A，的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 对于同一函数要求定义域相同且解析式相同且值域相同，故A正确； 对于选项B，一元二次方程有一正一负根的条件为， 若，则，且，则方程必有一正一负根， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故B正确； 对于C选项，令，所以，所以， 当时，可以取得最小值为，所以函数的值域为，故C错误； 对于选项D，，所以，则， 因为，所以，所以故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 已知是一次函数，且,则 D. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据函数有意义，求解分式不等式即得；对于B，利用抽象函数的定义域的求法即得；对于C，利用待定系数法即可求得函数解析式进行判断；对于D，利用三个二次的关系，先由条件求出参数之间的数量关系，代入所求不等式消参后求解一元二次不等式即得. 【详解】对于A，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，即， 要求的定义域，需使，解得， 即的定义域为，故B正确； 对于C，依题意，设，则， 即得，解得，故函数解析式为，故C正确； 对于D，由题意，关于x的方程有两根为和3，且， 则，即， 于是不等式等价于， 因，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出的范围，即可判断；对于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因，则，即得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B ，因，由可得，故在时取得最小值，，故B错误； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因，由，当且仅当时等号成立，由上分析，故有，即D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则___________． 【答案】0或2 【解析】 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果. 【详解】由题意可得或， ∴m＝0或m＝2, 故答案为：0或2. 【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题. 13. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的定义求值． 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查根式的运算，解题时要注意偶次根式表示的非负数． 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数 （1）求的解析式； （2）若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； （3）若图像经过坐标原点，解不等式. 【答案】（1）或； （2），单调递减区间为，无递增区间； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出答案； （2）在（1）的基础上，得到，得到函数单调区间； （3）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出解集. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以，解得或2， 故或. 【小问2详解】 当时，的图像经过坐标原点，不满足要求， 当，的图像不经过坐标原点，此时的单调递减区间为，无递增区间； 【小问3详解】 若图像经过坐标原点，则， 由可得，解得， 所以原不等式的解集为. 16. 已知对任意实数恒成立. （1）求实数的取值所构成的集合; （2）在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过讨论实数是否为时，即可通过解不等式求出实数的取值所构成的集合； （2）求出集合，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 对恒成立， 当时，原不等式变为，符合题意; 当时，对恒成立的充要条件为 解得：. 综上可知，实数的取值所构成的集合 【小问2详解】 由题意， ， ∴， ∵是的充分不必要条件， ∴解得：， 经检验知满足题意， 故实数的取值范围为：. 17. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据定义在上的奇函数函数，则有即可解题； （2）由（1）知，易知在上单调递减，根据奇偶性和单调性，可将条件转化为在上恒成立，再求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 经检验满足题意，所以. 【小问2详解】 由（1）知，易知在上单调递减， 由，可得， 因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于， 又在上单调递减，所以， 所以在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知函数． （1）若的最大值为0，求实数a的值； （2）设在区间上的最大值为，求的表达式； （3）令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数最值可得答案； （2）分类讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数可得最值； （3）利用对勾函数的最值问题，分情况讨论，结合单调性的可得答案. 【小问1详解】 ， 因为最大值为0，所以， 所以或. 【小问2详解】 函数的对称轴为， 当，即时，在上是减函数，所以； 当，即时， 当时，是减函数，当时，是增函数， 所以； 当，即时，在上是增函数，所以， 所以. 【小问3详解】 由题意， 令可得，简图如下， 当时，即时，在是增函数， 所以，成立. 当时，即时， 在上是减函数，在上是增函数， 所以，解得，不成立； 当时，即时，在上是减函数， 所以，解得，不成立； 综上所述，. 19. 已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况分类讨论，在可知不等式恒成立，在时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当时等号成立，所以 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 解：当时，， 因为，所以函数的值域是, 因为对任意的，总存在，使成立， 函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集. 当时，在区间上的值域为， ，则，解得； 当时，在区间上的值域为， ，则，解得； 当时，在区间上的值域为，不符合题意. 综上：实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $