精品解析：上海市民办西南高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上海市徐汇区西南高级中学高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，，所以，，因此，； 故选：B 【点睛】本题主要考查由已知条件判断所给不等式的真假，熟记不等式的性质即可，属于基础题型. 2. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 3. 如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点的坐标，根据周期确定，再根据点的坐标确定，确定解析式后，确定点的坐标，结合正弦定理求外接圆的半径. 【详解】根据三角函数的对称性可知点是的中点，又是的重心，， ∴， ∴点的坐标为， ∴函数的最小正周期为， ∴， ∴. 由题意得， 又， ∴， ∴， 令得， ∴点的坐标为， ∴，故， ∴. 又点是的中点， ∴点的坐标为， ∴. 设的外接圆的半径为，则， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知图象求的步骤为： 1.一般根据函数的最大值和最小值求； 2.由周期确定，根据公式，观察给定的图象，分析出确定的值； 3.一般求，可以将图象中的一个点代入求解，或是根据“五点法”，利用图象的最高点或最低点，以及函数的零点，再由已知条件中的具体范围确定相应的值. 4. 已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案. 【详解】因为，， 所以当时，， 又时也成立， 所以， 易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增， 又当为正偶数时，存在，即， 所以，此时有，所以， 又对于任意的正奇数，，即， 所以或恒成立，所以或， 综上，实数的取值范围是， 故选：D． 二、填空题：本题共12小题，共54分. 5. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】找出集合A与集合B的公共元素，即可确定出交集． 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 6. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由，则. 故答案为：. 7. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 8. 若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 9. 已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解. 【详解】由已知，， 则 则在方向上数量投影为， 故答案为：. 10. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高. 【详解】圆锥的底面半径，设其母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：4 11. 设，，则满足______________条件 【答案】 【解析】 【分析】将不等式两边平方即可求解. 【详解】由，得， 所以，即， 所以. 故答案为:. 12. 已知等比数列中，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 故答案为：或. 13. 已知函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于的关系式，即可求出的值. 【详解】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 14. 已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 15. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且， 所以，函数在上恰有两个最大值点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 若关于的方程有两个不同的实根，，且，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意有两个不相等的实数根，令，利用导数研究函数单调性并画出图象，数形结合得，令，通过指对化化得，设，利用导数研究函数单调性，求解最值，进而，即可求解的取值范围. 【详解】因为不是方程的根， 所以有两个不相等的实数根， 令，则， 当时，，在区间上单调递减，且； 当时，，在区间上单调递减，且， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以的极小值为，图象大致如图： 若有两个不相等的实数根，则，即，且， 令，则，由，得，又，所以， 所以，取对得，所以， 设，则， 所以在上单调递减，则. 又在区间上单调递减，，， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围. 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 18. 如图，在半径为30 cm的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB = x cm，圆柱的体积为V cm3. （1）写出体积V关于x的函数解析式; （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大? 【答案】（1）V=，其中0< x <30；（2）x=10时，体积V最大. 【解析】 【分析】(1)由已知条件用x表示OA，结合圆柱体的体积公式即可得到其体积V关于x的函数解析式；(2)根据(1)中所得函数，利用导数研究其在定义域内的单调性，进而确定体积V最大时，x的值即可 【详解】解:（1）连接OB，由AB = x cm 即OA= cm. 设圆柱的底面半径为r cm，则= 2πr，即4π2r2 = 900-x2 ∴V=πr2x=π··x=，其中0< x <30 （2）由（1）知V= (0<x<30)，则 由，得x =10 ∴V=在(0，10)上是增函数，在(10，30)上是减函数 即当x=10时，V有最大值 【点睛】本题考查了利用圆柱体的体积公式得到体积关于母线的函数解析式，利用导数研究函数的区间单调性确定函数值最大时自变量的值 19. 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为平面，，为等边三角形， 设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，， ，， ，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量， 因为，设和平面所成的角为， 则， 直线和平面所成角的正弦值为. 20. 已知数列满足，. （1）求的值； （2）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别令，，，由数列的递推式可得所求值； （2）对已知数列的递推式的两边同时加上3，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （3）由等差数列的通项公式和等差数列与等比数列的中项性质，结合在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列，推得矛盾，可得结论. 【小问1详解】 由，， 可得，，； 【小问2详解】 由，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 即； 【小问3详解】 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， 在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列， 可得，即， 由，可得， 则， 则，为方程的两根，可得， 这与、、互异矛盾， 则在数列中不存在不同的三项、、成等比数列. 21. 已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. （1）请说明是否为“导可控函数”； （2）若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】（1）不是“导可控函数”，说明见解析 （2）1个，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【小问1详解】 若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . 【小问2详解】 依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； 【小问3详解】 因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市徐汇区西南高级中学高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则(　 　) A. B. C. D. 2. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 8 4. 已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，共54分. 5. 已知集合，，则______． 6. 已知，则__________. 7. 函数的定义域是______． 8. 若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数______． 9. 已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________． 10. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为______． 11. 设，，则满足______________条件 12. 已知等比数列中，，则______． 13. 已知函数，则_________. 14. 已知，求的的取值范围_______. 15. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 16. 若关于的方程有两个不同的实根，，且，则实数的取值范围为______. 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 18. 如图，在半径为30 cm的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB = x cm，圆柱的体积为V cm3. （1）写出体积V关于x的函数解析式; （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大? 19. 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 20. 已知数列满足，. （1）求的值； （2）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 21. 已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. （1）请说明是否为“导可控函数”； （2）若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $