2.3确定二次函数的表达式 同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 5．已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 6．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式为 （写成一般式） 9．请写出一个开口向下，经过的抛物线的解析式 ． 10．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 11．设二次函数（，，是常数，）．已知自变量和函数值的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 4 3 0 … 则一元二次方程的解为 ． 12．如图，已知抛物线经过两点．当时，则y的取值范围 ； 13．如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是 ． 14．如图，抛物线交x轴于，两点．P是y轴上一点，过点P作一条平行于x轴的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在左边，点D在右边）．若，则点C的横坐标是 ． 三、解答题 15．（1）已知抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为 ，求该抛物线的函数解析式． （2）已知二次函数 的图像经过点，求该抛物线的函数解析式，并写出二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性． 16．已知二次函数的图象经过点，，求该二次函数的表达式． (1)求和的值； (2)若点在该函数图象上，求的值． 17．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积． 18．如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． (1)若，求这个二次函数的表达式； (2)若为的比例中项．求这个二次函数的表达式； 19．如图，在平面直角坐标系中，（，），（，），形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，…． 根据上述规律，回答下列问题： (1)抛物线的顶点的横坐标为______； (2)抛物线的顶点坐标为______； (3)求抛物线的解析式． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． (1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． (2)设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． (3)为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，一元二次方程组的解法，将函数经过的两点代入二次函数解析式得到一元二次方程组是解答关键． 将二次函数图象经过的两点的坐标代入解析式，列出一元二次方程组，解一元二次方程组即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解． 【详解】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选B． 5．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，先根据表中的数据求出二次函数解析式，再把各选项中的值代入到所得函数解析式求出的值进行判断即可求解，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表可知，，；，；，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 故选：． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质．作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 8． 【分析】本题考查二次函数图象的性质，该抛物线的顶点坐标为，由题意可知，关于原点对称的点坐标为，由于原图象开口向上，绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，从而可求出旋转后的解析式． 【详解】解：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵绕原点旋转后的点与关于原点对称，即绕原点旋转后的点坐标为， ∴当将抛物线绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，且顶点坐标， ∴解析式为 故答案为：． 9．（答案不唯一） 【分析】根据抛物线开口向下，确定，以为顶点，写出一个解析式即可． 本题考查了抛物线解析式的确定，是结论开放型问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴可以为顶点， 写出一个解析式为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程．由表格可得抛物线经过点，故利用待定系数法求出函数解析式，则原一元二次方程可化为，再利用因式分解法求解． 【详解】解：由表格可得，将点代入， 得 解得：， ∴一元二次方程化为， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据函数图象可知找到函数图象在x轴下方时函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，y的取值范围， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出点的坐标． 利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式是 故答案为：． 14．或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，坐标与图形． 把，两点代入，求得，得对称轴为直线，设，，根据，得，解得，或． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 设, ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或， 解得，或． 故答案为：或． 15．（1）；（2），抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点，当时随增大而减小，时随增大而增大 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式的应用，能得出关于a、b、c的方程组是解此题的关键，难度适中． （1）设抛物线的顶点式为，把代入求出即可得到答案； （2）把三个点的坐标代入，得出方程组，求出方程组的解即可得到函数解析式，把一般式化成顶点式，即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为，把代入得到， 解得 ∴抛物线的函数解析式为 （2）∵二次函数 的图像经过点， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为； ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点，当时随增大而减小，时随增大而增大 16．(1)； (2)的值为4． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点，，即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得： ， 解得， 二次函数解析式为：； （2）解：将点坐标代入得：． 17．(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数y=kx+b的图象上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可知一次函数关系式 当时， 则一次函数与y轴交点坐标为 ∵，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题的关键． （1）根据，，可知，利用待定系数法可求出二次函数的表达式； （2）根据为的比例中项，可推出，求出B、A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴， 把，代入得到 则有 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 ∴若设点A的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∵为的比例中项． ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴，， 把，代入得到 则有 ， 解得 ∴二次函数的解析式为， 19．(1) (2)（，） (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，关键要提高学生的分析归纳能力． （1）根据（，），（，）的坐标求直线的解析式，根据横坐标的变化规律可知，的顶点的横坐标为； （2）根据横坐标的变化规律可知，的顶点的横坐标为，代入直线的解析式中，可求纵坐标； （3）先求的顶点坐标，设解析式为顶点式，再化为一般式即可求得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，（）， ∵（，），（，）， 解得， ∴直线的解析式为． ∵对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线的顶点的横坐标为． 故答案为：． （2）解：由（1）可知， 直线的解析式为，抛物线的顶点的横坐标为， ， 抛物线的顶点坐标为（，）． 故答案为：（，）． （3）解：由（1）可知，直线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为， ． 抛物线的顶点坐标为（，）． 设抛物线的解析式为：， 又， ． 20．(1)， (2)存在，最大值 (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴为直线，求出，再根据抛物线经过点，求出，然后代回，，写出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点坐标； （2）先求出，，的坐标，再利用轴对称的性质说明，，然后分“点不与点重合”、“点与点重合”说明最大值为，利用勾股定理求出即可； （3）先求出点的纵坐标，再设，可得出点的横坐标为，然后证明，列出比例式结合三角函数求出，从而可得的横坐标为1，再利用，得到关于的方程求解，求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ． 又此抛物线经过点， ， ， 该抛物线的函数解析式为． 由于， 顶点坐标是． （2）在直线上存在一点，使有最大值． 如图1，连接并延长，交直线于点，在直线上任取一点，连接． 对于， 令，得或，，； 令，得，． 点关于直线的对称点为点， ，． 当点不与点重合时，， 当点与点重合时，，此时的值最大，即为的长． ，， ， 的最大值为． （3）如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则点的纵坐标为3． 设，则点的横坐标为． ，． 又， ， ． ， ， ． 点在直线（即直线）上， 点的横坐标为1， ，即， 或， 解得或或或， 点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $