2.3确定二次函数的表达式 自主学习同步同步练习题2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》 自主学习同步同步练习题（附答案） 一、单选题 1．将二次函数化为的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 4．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 7．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．写出一个开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点的抛物线解析式 ． 9．已知二次函数的图象经过点和，则 ． 10．已知二次函数的顶点在 x 轴上，且其图像经过点，则该二次函数的解析式为 ． 11．已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 12．如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 13．二次函数的变量与的部分对应值如下表，那么时，对应的函数值 ． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 7 0 7 ．．． 14．如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 三、解答题 15．（1）已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 （2）抛物线的顶点坐标为，且经过点，求此二次函数的解析式 16．有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 17．如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 18．综合与探究如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、． (1)求抛物线的解析式． (2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少． 19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，点B的坐标为． (1)求b的值及顶点坐标； (2)若是y轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转得到点E． ①用含t的式子表示点E的坐标； ②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，点是直线上方抛物线上的一个动点，若，请求面积的最大值与最小值； (3)点D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法整理即可得解． 【详解】解：． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出的值，再逐一判断各点是否在抛物线上． 先将点代入抛物线解析式求出，得到抛物线解析式，再将选项中的点代入解析式进行验证． 【详解】解：因为点在抛物线上， 所以把代入可得： ，即， 解得． 所以抛物线的解析式为． A、当时，，所以点在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，所以点不在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上． 故选：A． 3．A 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将已知点代入解析式是解题关键． 直接将已知点代入函数解析式，进而求出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴   ∴ 故选：A. 4．B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 5．C 【分析】首先设出抛物线的解析式，然后利用点A的坐标求出常数项，利用纵坐标相同的点B与点C ，求出对称轴进而得知抛物线一次项系数与二次项系数的关系式，点D带入解析式即可求出. 【详解】解：设抛物线的解析式为 将点A(0,10)代入解析式得 ， 得， 故解析式为； 点B()和C()的纵坐标相同， 即点B与点C关于抛物线的对称轴对称。 对称轴为两点横坐标的中点为 已知抛物线的对称轴公式为， 将D(3,1)代入解析式： 整理得 又 解得； . 故抛物线的解析式为. 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的对称性及已知点坐标求抛物线的解析式，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 6．B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴点， ∴， ∵绕点顺时针旋转，得到， ∴点点在y轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 令，得， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为：， 故选：． 8．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，由对称轴为直线，可设函数解析式为；由开口向下可取，再将代入即可求解； 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴可设函数解析式为； ∵开口向下， ∴可取，则； 将代入得：，解得：； ∴； 故答案为：（答案不唯一） 9．2 【分析】本题考查二次函数表达式的求法，掌握待定系数法是解答此题的关键． 将两点的坐标代入二次函数解析式中进行求解即可得到答案． 【详解】解：点和代入二次函数中得， ， 解得， 故答案为：2． 10．或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式． 根据二次函数图像的顶点在x轴上即可求出k的值，再把代入可求出h的值，进而可得该二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数图像的顶点在x轴上， ∴． 把代入，得， 解得， ∴或． 故答案为：或． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由二次函数的对称性可得抛物线与轴的两交点的坐标为，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴两交点距离为4，且以直线为对称轴， ∴抛物线与轴的两交点的坐标为． 设二次函数的表达式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：． ∴二次函数的表达式为，即二次函数的表达式为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，过作轴于点，则，由题意可知，所以，则，从而求得，然后代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， 由题意可知， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 13．0 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用待定系数法求出函数解析式，再把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ∴， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，． 故答案为：0． 14． 【分析】先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 15．（1）；（2）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数解析式的方法是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）根据题意设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∵设二次函数的解析式为， ∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此二次函数的解析式． 16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用对称轴、最小值得出顶点式解析式是解题关键． 根据对称轴、最小值，可得顶点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标，可得图象上的点，根据待定系数法，可得答案． 【详解】解：对称轴是直线，函数有最小值， 顶点坐标是， 设该二次函数的表达式为， 点关于轴的对称点是， 将点代入函数表达式，得， 解得， 该二次函数的表达式为． 17．(1) (2)8 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的解析式，掌握两种函数的图象与性质是关键． （1）把点A的坐标代入一次函数式中求得b，进而得到一次函数解析式，再令，即可求得点C的坐标，设二次函数解析式为交点式，把点A的坐标代入，即可求解； （2）由题意知，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； （2）解：由题意知， ∴． 18．(1) (2)当时，DF最大 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入解析式得出二元一次方程组，求出解即可； 对于（2），先表示出点D，F的坐标，进而得出，再根据二次函数的性质讨论最大值即可. 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且， 则， ， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为：， ， ， ， ， ， ， 当时，. 19．(1)，顶点坐标为 (2)①点E的坐标为；② 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）把点B的坐标代入二次函数解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标； （2）①作轴于H，证明，关键全等三角形的性质得到，，得到点E的坐标； ②把点E的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点B，点B的坐标为． ∴， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①作轴于H， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则点E的坐标为； ②当点E恰好在该抛物线上时，， 解得， ∵， ∴． 20．(1) (2)面积的最大值为，最小值为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用二次函数与轴交点式求解表达式； （2）先确定相关点坐标，，过点作轴交于点N，将三角形面积表示为，再根据二次函数性质求最值； （3）分三种对角线情况，根据平行四边形对边坐标变化规律求点坐标． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 即二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，则， 又对称轴与直线交于点， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 过点作轴交于点N， 则， ， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，面积有最大值；当时，面积有最小值； ∴综上所述，面积的最大值为，最小值为； （3）解：由上述知， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则四边形对边端点坐标的变化规律一样； ①若是对角线， ， ，即； ②若是对角线， ， ，即； ③若是对角线， ， ，即． 综上D的坐标为：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $