专题07 统计与概率（期末真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题07 统计与概率 6大高频考点概览 考点01 统计图表 考点02 用样本估计总体-平均数、众数 考点03 用样本估计总体-方差与标准差 考点04 古典概型的概率 考点05 对立事件的概率 考点06 互斥事件的概率 地 城 考点01 统计图表 1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（    ） A．300 B．225 C．150 D．40 2．(24-25高一上·江西吉安·期末)（多选）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 3．(24-25高一上·江西抚州·期末)抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    4．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．    5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 6．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： (1)求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； (2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； (3)在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 7．(24-25高一上·江西多校联考·期末)为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 8．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 9．(23-24高一上·江西抚州·期末)2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 10．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下： 一周课外读书时间/h 合计 频数 4 6 10 12 14 24 48 32 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1 (1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉． (2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人． ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率． 地 城 考点02 用样本估计总体-平均数、众数 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 2．(24-25高一上·江西上饶·期末)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)数据的平均数是5，则数据的平均数是（ ） A．9 B．5 C．10 D．4 4．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·调研)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 5．(24-25高一上·江西吉安·期末) （多选）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末) （多选）2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（    ） A．极差为8 B．平均数为24 C．80%分位数为25 D．众数为24 7．(24-25高一上·江西景德镇·期末) （多选）高一上学期某高一班进行了6次数学测验，甲乙两同学6次测验成绩情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲成绩 90 106 80 115 120 109 乙成绩 90 88 98 101 95 93 则下列说法正确的是（    ） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲、乙成绩的中位数分别为107.5和94 C．甲成绩的平均值大于乙成绩的平均值 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 8．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 9．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 10．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 11．(23-24高一上·江西上饶·期末) （多选）已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ） A．极差为7 B．众数为4 C．平均数为6 D．第60百分位数为6.5 12．(24-25高一上·江西抚州·期末)抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    13．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，5天数据的平均数为，且有两天的感染人数大于，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 14．(24-25高一上·江西景德镇·期末)课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 15．(24-25高一上·江西九江·期末)4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 16．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)某新鲜蛋糕供应商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本为8元，售价为20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半卖半送，每斤损失4元，根据历史资料，得到该小蛋糕的每日需求量的频率分布直方图，如图所示． (1)求出a的值，并根据频率分布直方图估计该小蛋糕的每日平均需求量的平均数； (2)若蛋糕供应商每天准备100斤这种小蛋糕，根据频率分布直方图，估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率． 17．(23-24高一上·江西上饶·期末)某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位） 地 城 考点03 用样本估计总体-方差与标准差 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2 2．(24-25高一上·江西多校联考·期末)若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 3．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 5．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)（多选）2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（    ） A．极差为8 B．平均数为24 C．80%分位数为25 D．众数为24 7．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末) （多选）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 8．(24-25高一上·江西抚州·期末) （多选）下列说法正确的是（   ） A．数据、、、、、、、、、的分位数是 B．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 C．函数的定义域为，则的定义域为 D．若，则的值为 9．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 10．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 11．(24-25高一上·江西九江·期末) （多选）有一组原样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍 B．新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍 C．新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍 D．新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍 12．(23-24高一下·安徽安庆一中学·期末) （多选）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 13．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1 B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是 C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为 D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为 14．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 15．(23-24高一上·江西上饶·期末) （多选）已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ） A．极差为7 B．众数为4 C．平均数为6 D．第60百分位数为6.5 16．(24-25高一上·江西赣州·期末)赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 17．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 18．(24-25高一上·江西南昌·期末)某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图    女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 地 城 考点04 古典概型的概率 1．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江西上饶·期末)若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末) （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 6．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 7．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 8．(23-24高一上·江西·期末) （多选）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．A，在后3天介绍的方法种数为144 B．，相隔一天介绍的方法种数为96 C．不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504 D．A在，之前介绍的概率为 9．(24-25高一上·江西吉安·期末)吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 11．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为 ． 12．(23-24高一上·江西上饶·期末)据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 13．(23-24高一上·江西抚州·期末)若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 14．(24-25高一上·江西上饶·期末)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 15．(24-25高一上·江西吉安·期末)地球表面的水储量大约有140亿亿立方米，但淡水资源只有3.5亿亿立方米，在有限的淡水资源中，仅有0.34%是人类可以利用的，水是人类赖以生存的宝贵资源，节约用水，利在当代，功在千秋.为了提高居民节约用水的意识，某城市对居民采用“阶梯水价”的计费方式，其计价规则如下： 每户每月用水水量 水价 不超过10m3的部分 2.0元/m3 超过10m3但不超过20m3的部分 4.0元/m3 超过20m3的部分 8.0元/m3 (1)写出用户居民每月所需要缴纳的水费y（单位：元）与用水量x（单位：m3）之间的函数关系. (2)某小区的物业公司为提高居民节约用水的积极性，将每月给缴纳水费不超过35元的用户评定为“节水榜样用户”，被评为“节水榜样用户”的居民可参加物业举办的抽奖活动，抽奖规则如下：一个不透明的箱子中装有两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3的小球，这5个小球除编号外其余均相同，用户从箱子中依次取出两个小球，若小球的编号之和为3的倍数，则代表中奖，问： ①“节水榜样用户”的月用水量不能超过多少m3? ②参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率是多少? 16．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 17．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 18．(24-25高一上·江西九江·期末)4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 19．(24-25高一上·江西赣州·期末)赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 20．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 21．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 22．(23-24高一上·江西抚州·)2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 地 城 考点05 对立事件的概率 1．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（    ） A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 4．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末) （多选）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 7．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末) （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江西宜春中学·期末) （多选）下列说法中正确的有（ ） A．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是 B．函数的定义域是，则函数的定义域为 C．若事件A与互为对立事件，则 D．不等式的解集是 9．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末) （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 10．(24-25高一上·江西九江·期末)如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 11．(24-25高一上·江西多校联考·期末)甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 12．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 13．(24-25高一上·江西多校联考·期末)为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 地 城 考点06 互斥事件的概率 1．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 4．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末) （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 6．(24-25高一上·江西上饶·期末)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 7．(24-25高一上·江西抚州·期末)临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 8．(23-24高一上·江西上饶·期末)甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 试卷第1页，共3页 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率 6大高频考点概览 考点01 统计图表 考点02 用样本估计总体-平均数、众数 考点03 用样本估计总体-方差与标准差 考点04 古典概型的概率 考点05 对立事件的概率 考点06 互斥事件的概率 地 城 考点01 统计图表 1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（    ） A．300 B．225 C．150 D．40 【答案】A 【分析】结合两个统计图直接求解即可； 【详解】由条形图得合唱人数为70，演讲人数为30，由饼状图得合唱人数占比， 因此演讲人数占比为，舞蹈人数占比为， 用样本估计总体，估计该校参加舞蹈社团的人数为. 故选：A. 2．(24-25高一上·江西吉安·期末)（多选）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AD 【分析】根据频率分布直方图所有矩形的面积和为1求出的值判断A，由频率分布直方图求出产量少于120kg的频率进而得到频数判断B，根据频率直方图中众数和平均数的计算公式判断CD. 【详解】对于A，由直方图的性质，可得：，解得，所以A正确； 对于B：因为前三个矩形的面积为，，所以产量少于120kg的蜜柚树数量小于56，故B错误； 对于C：因为115~125所占的频率最高，可用估计众数，故C错误； 对于D，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，故D正确； 故选：AD 3．(24-25高一上·江西抚州·期末)抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    【答案】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可求得的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，可得出评分的平均数. 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 4．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．    【答案】0.05 【分析】由频率分布直方图的性质面积和为1，即可求解； 【详解】由图可知，，解得， 成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05． 故答案为：0.05 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【答案】(1) (2)105 (3)106.25 【分析】（1）根据频率公式和频率和为1列出方程，即可得解； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可； （3）根据频率分布直方图中中位数计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为， 所以， 再由频率分布直方图可知：， 解得 ； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ； （3）显然中位数位于内，设中位数为， 则， 解得：. 6．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： (1)求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； (2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； (3)在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 【答案】(1)，中位数为125 (2)112人 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求中位数得解； （2）直接利用频率分布直方图估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）先求出在区间中有32人，在区间中有8人，在区间中有8人，再利用古典概型的概率公式求出这两人均来自区间的概率. 【详解】（1）由题意得， 解得； 设中位数为， 则，解得， 所以中位数是125. （2）由， 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. （3）在区间中有人， 在区间中有人， 在区间中有人， 按分层抽样抽取6人， 则从中抽取4人，中抽取1人，中抽取1人； 设从中抽取职工为，从中抽取职工为，从中抽取职工为， 则从6人中抽取2人的情况有共15种情况，它们是等可能的， 其中满足两人均来自区间的有共有6种情况， 所以； 所以两人均来自区间的概率为. 7．(24-25高一上·江西多校联考·期末)为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 【答案】(1)作图见解析 (2)65.71 (3)0.035 【分析】（1）根据表中数据计算频率，即可作出图， （2）根据频率分布直方图中百分位数的计算公式即可求解， （3）根据对立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解. 【详解】（1）评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的. 其频率分布直方图如图所示. （2）因为评分低于60分的频率为，评分低于80分的频率为，所以评分的70%分位数在内. 设70%分位数为x，则，解得， 即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71. （3）设事件A为“第一人评100分”，事件B为“第二人评100分”，事件C为“第三人评100分”，则A，B，C之间相互独立，且. 设事件D为“至少有一人评100分”，则， 则， 整理得. 故p的最大值为0.035. 8．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上，利用分位数的定义，结合直方图列式求解； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由图可知：，解得，， 故的值为； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上， 因为， ， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得：， 所以满意度评分位列前的游客将发纪念品，获得纪念品的分数至少为分； （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这3人中随机抽取2人，则有：共有3个基本事件， 选取的2人评分分别在和内各1人有，2个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 9．(23-24高一上·江西抚州·期末)2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 【答案】(1)A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大，理由见解析 (2)0.1925 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案. （2）确定，，得到，计算得到答案. 【详解】（1），， 地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大． （2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立， ， 记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”， 则. 10．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下： 一周课外读书时间/h 合计 频数 4 6 10 12 14 24 48 32 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1 (1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉． (2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人． ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率． 【答案】(1)，，；h． (2)①2，5，13；②． 【分析】（1）根据频率分布表的性质，可列式，可求的值；再根据百分位数的概念求数据的第75百分位数. （2）①根据分层抽样的概念确定各层抽取的人数； ②利用古典概型的概率计算方法求相应的概率. 【详解】（1）由题意可得，，； 设一周读书时间的前位数为， 因为， . 所以一周读书时间的前位数. 且. 即一周的读书时间超过h，才能获得“读书积极分子”荣誉． （2）（ⅰ）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为， 又，，的频数分别为20，50，130， 所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13． （ⅱ）由（ⅰ）知，在，两层中共抽取7人， 设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为； 若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种， 其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共10种． 设事件为“这2人不在同一层”， 则由古典概型的概率计算公式得． 地 城 考点02 用样本估计总体-平均数、众数 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 【答案】A 【分析】根据平均数和方差的性质进行计算，得到答案. 【详解】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5， 所以样本，，…，的平均数和方差分别为和. 故选：A 2．(24-25高一上·江西上饶·期末)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】平均数为. 因此，估计该校学生的平均身高是. 故选：C. 3．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)数据的平均数是5，则数据的平均数是（ ） A．9 B．5 C．10 D．4 【答案】A 【分析】根据平均数的定义求解即可. 【详解】解：由题意可得， 所以 ， 所以的平均数. 故选：A. 4．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·调研)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A的真假；根据独立事件的判定方法判断B的真假；根据相关数据的平均数和方差的关系判断C的真假；根据方差的概念判断D的真假. 【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确； 对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确； 对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误； 对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确. 该题要选出不正确的说法. 故选：C 5．(24-25高一上·江西吉安·期末) （多选）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AD 【分析】根据频率分布直方图所有矩形的面积和为1求出的值判断A，由频率分布直方图求出产量少于120kg的频率进而得到频数判断B，根据频率直方图中众数和平均数的计算公式判断CD. 【详解】对于A，由直方图的性质，可得：，解得，所以A正确； 对于B：因为前三个矩形的面积为，，所以产量少于120kg的蜜柚树数量小于56，故B错误； 对于C：因为115~125所占的频率最高，可用估计众数，故C错误； 对于D，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，故D正确； 故选：AD 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末) （多选）2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（    ） A．极差为8 B．平均数为24 C．80%分位数为25 D．众数为24 【答案】ABD 【分析】分别通过极差、平均数、百分位数、众数的概念逐个判断即可； 【详解】极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； ，则80%分位数是第5个数据26，故C错误； 众数为24，故D正确． 故选：ABD． 7．(24-25高一上·江西景德镇·期末) （多选）高一上学期某高一班进行了6次数学测验，甲乙两同学6次测验成绩情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲成绩 90 106 80 115 120 109 乙成绩 90 88 98 101 95 93 则下列说法正确的是（    ） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲、乙成绩的中位数分别为107.5和94 C．甲成绩的平均值大于乙成绩的平均值 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】BC 【分析】分别根据极差，中位数和平均数，以及数据的稳定性，即可判断选项. 【详解】A.甲成绩的极差是，乙成绩的极差是，故A错误； B.甲成绩按照由小到大排列为80,90,106,109,115,120，中位数是，乙成绩按照由小到大排列为88,90,93,95,98,101，中位数是，故B正确； C.甲成绩的平均数是，乙成绩的平均数是，故C正确； D.分别对比数据可知，甲的成绩极差比较大，并且比较分散，而乙的成绩极差小，而且比较集中，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D错误. 故选：BC 8．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 【答案】ACD 【分析】根据数据的数字特征逐项判断即可. 【详解】对于A,极差为5-1=4,故A正确； 对于B,平均数为， 标准差为，故B错误； 对于C，众数为2和3，故C正确； 对于D，10×80%=8, 将这组数据从小到大排列后第8个数和第9个数为4，5， 故80%分位数为，故D正确， 故选：ACD. 9．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确. 为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误. 甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确. 由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC 10．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 【答案】ABD 【分析】根据分层抽样的抽样比可判断A；根据分层抽样的平均数计算公式可判断B；利用古典概型概率公式判断C；根据分层抽样的方差计算公式可判断D. 【详解】设历史类学生抽取人数为，则， 解得，故A正确； 设物理类学生成绩的平均数为，方差为，历史类学生成绩的平均数为，方差为，所以样本的平均数为，方差为， 则由题意可得，，，， 所以所有样本的均值，故B正确； 每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为，故C错误； 由方差的计算公式可得， 解得， 所以历史类学生成绩的标准差为，故D正确. 故选：ABD 11．(23-24高一上·江西上饶·期末) （多选）已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ） A．极差为7 B．众数为4 C．平均数为6 D．第60百分位数为6.5 【答案】ABC 【分析】根据给定的数据，利用极差，平均数，方差以及60百分位数的定义依次判断各选项作答. 【详解】对于A，该组数据的极差为，A正确； 对于B，这组数据中4出现了2次，出现次数最多，因此众数是4，B正确； 对于C，该组数据的平均数为，C正确； 对于D，由，所以该组数据的第60百分位数为第5个数，D错误. 故选：ABC 12．(24-25高一上·江西抚州·期末)抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    【答案】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可求得的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，可得出评分的平均数. 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 13．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，5天数据的平均数为，且有两天的感染人数大于，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 【答案】大于 【分析】先求出污染数据的值，再结合百分位数的定义，即可求解. 【详解】5天数据的平均数为，前4天的数据的平均数为且， 则被污染的数据为， 不妨设5天的数据关系为，其中， 则5天数据的第60百分位数为， 污染后的数据关系为， 则4天数据的第60百分位数为， 显然. 故答案为：大于 14．(24-25高一上·江西景德镇·期末)课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【答案】(1) (2)105 (3)106.25 【分析】（1）根据频率公式和频率和为1列出方程，即可得解； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可； （3）根据频率分布直方图中中位数计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为， 所以， 再由频率分布直方图可知：， 解得 ； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ； （3）显然中位数位于内，设中位数为， 则， 解得：. 15．(24-25高一上·江西九江·期末)4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【答案】(1)，54（分钟）； (2). 【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可； （2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，即， 这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）. （2）每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中， 在内的有2人，记为，在内的有4人，记为， 这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点， 阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点. 这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 16．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)某新鲜蛋糕供应商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本为8元，售价为20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半卖半送，每斤损失4元，根据历史资料，得到该小蛋糕的每日需求量的频率分布直方图，如图所示． (1)求出a的值，并根据频率分布直方图估计该小蛋糕的每日平均需求量的平均数； (2)若蛋糕供应商每天准备100斤这种小蛋糕，根据频率分布直方图，估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率． 【答案】(1)， (2)0.55 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数，再求平均数即可. （2）求出对应情况的每日需求量，再求概率即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 该小蛋糕的每日平均需求量的平均数为 ． （2）设每日销售这种小蛋糕x斤，所获利润为y元， 则，当时，， 这种蛋糕每日利润不少于1000元，即每日需求量不少于87.5斤， 所以概率为， 所以估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率为0.55． 17．(23-24高一上·江西上饶·期末)某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位） 【答案】(1)，频率直方图见解析 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得频率，补全频率分布直方图，可得答案； （2）先根据平均数的计算公式求平均数，然后利用中位数的定义列方程求解即可. 【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第八组的频率为：， 则第八组对应矩形的高为，补全频率分布直方图如图所示： （2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； 因为，， 所以中位数在内， 设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分. 地 城 考点03 用样本估计总体-方差与标准差 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2 【答案】C 【分析】根据数据()的平均数、方差分别、求解. 【详解】根据题意，数，，，的平均数是，方差， 则，，，的平均数为， 方差为. 故选：C 2．(24-25高一上·江西多校联考·期末)若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 【答案】A 【分析】根据平均数和方差的性质进行计算，得到答案. 【详解】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5， 所以样本，，…，的平均数和方差分别为和. 故选：A 3．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方差的定义，带字母进行运算，再利用相等关系进行变形化简即可得结果. 【详解】 ， 同理， 由题意得 ， 即，整理可得， 因为，所以． 故选:B． 4．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据公式求解，需先根据条件求. 【详解】由题意：， ， 则 即， 所以. 所以 . 故选：A 5．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A的真假；根据独立事件的判定方法判断B的真假；根据相关数据的平均数和方差的关系判断C的真假；根据方差的概念判断D的真假. 【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确； 对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确； 对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误； 对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确. 该题要选出不正确的说法. 故选：C 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)（多选）2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（    ） A．极差为8 B．平均数为24 C．80%分位数为25 D．众数为24 【答案】ABD 【分析】分别通过极差、平均数、百分位数、众数的概念逐个判断即可； 【详解】极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； ，则80%分位数是第5个数据26，故C错误； 众数为24，故D正确． 故选：ABD． 7．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末) （多选）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 【答案】AC 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比为， 所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人， 所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，， 女生分别为，，，，平均数，， 样本的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确； 故选：AC 8．(24-25高一上·江西抚州·期末) （多选）下列说法正确的是（   ） A．数据、、、、、、、、、的分位数是 B．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 C．函数的定义域为，则的定义域为 D．若，则的值为 【答案】AD 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用方差的性质可判断B选项；利用抽象函数定义域的求法可判断C选项；利用指数式与对数式的互化、对数的换底公式与运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，数据、、、、、、、、、共个， 因为，因此，这组数据的分位数是，A对； 对于B选项，若样本数据、、、的方差为， 则数据、、、的方差为，B错； 对于C选项，因为函数的定义域为，即，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为，C错； 对于D选项，因为，则，， 所以，，D对. 故选：AD. 9．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 【答案】ACD 【分析】根据数据的数字特征逐项判断即可. 【详解】对于A,极差为5-1=4,故A正确； 对于B,平均数为， 标准差为，故B错误； 对于C，众数为2和3，故C正确； 对于D，10×80%=8, 将这组数据从小到大排列后第8个数和第9个数为4，5， 故80%分位数为，故D正确， 故选：ACD. 10．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确. 为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误. 甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确. 由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC 11．(24-25高一上·江西九江·期末) （多选）有一组原样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍 B．新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍 C．新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍 D．新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍 【答案】CD 【分析】根据数据平均数、中位数、标准差、极差的定义及性质分析判断各项的正误. 【详解】对于A：设，则，且，错误； 对于B：设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，且，错误； 对于C：由，知新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍，正确； 对于D：设原样本数据的极差为，则新样本数据的极差为 ，正确. 故选：CD 12．(23-24高一下·安徽安庆一中学·期末) （多选）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（    ） A．数据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 13．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1 B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是 C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为 D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为 【答案】AC 【分析】利用分层随机抽样设两组数据的权重为，得且，即可对A判断；根据百分位数知识可对B判断；利用平均数及方差知识可对C、D判断. 【详解】A选项：设两组数据的权重为，由，又，可解得， 所以这两组数据的权重比值为1，故A正确； B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误； C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确； D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误； 故选：AC. 14．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 【答案】ABD 【分析】根据分层抽样的抽样比可判断A；根据分层抽样的平均数计算公式可判断B；利用古典概型概率公式判断C；根据分层抽样的方差计算公式可判断D. 【详解】设历史类学生抽取人数为，则， 解得，故A正确； 设物理类学生成绩的平均数为，方差为，历史类学生成绩的平均数为，方差为，所以样本的平均数为，方差为， 则由题意可得，，，， 所以所有样本的均值，故B正确； 每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为，故C错误； 由方差的计算公式可得， 解得， 所以历史类学生成绩的标准差为，故D正确. 故选：ABD 15．(23-24高一上·江西上饶·期末) （多选）已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ） A．极差为7 B．众数为4 C．平均数为6 D．第60百分位数为6.5 【答案】ABC 【分析】根据给定的数据，利用极差，平均数，方差以及60百分位数的定义依次判断各选项作答. 【详解】对于A，该组数据的极差为，A正确； 对于B，这组数据中4出现了2次，出现次数最多，因此众数是4，B正确； 对于C，该组数据的平均数为，C正确； 对于D，由，所以该组数据的第60百分位数为第5个数，D错误. 故选：ABC 16．(24-25高一上·江西赣州·期末)赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【详解】（1）由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 （2）从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； （3）满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 17．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解即可； （3）根据平均数和参考中方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由表可知这个用户评分按从小到大排列如下：，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ， 因为，， 所以这个用户评分的，分位数分别为第项数据和第项和第项数据的平均数， 分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为和． （2）设丢失数据为， 则，解得， 所以 ， 由题意知评分在，即内的满意度等级为“级”， 样本中评分在内的有人， 则可估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为. （3）由题意，，，， 因为老系统的10个数据占两个系统所有数据总和的 所以，， 即新老系统所有评分的方差为. 18．(24-25高一上·江西南昌·期末)某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图    女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【答案】(1)，； (2)平均数为169，方差为89 (3)平均数为166，方差为100.8. 【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值； （2）根据平均数、方差公式求解； （3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40， 则，所以； （2）由男生样本的频率分布直方图知， 平均数为， 方差为 ； （3）由女生样本的频率分布表可知 平均数为， 方差为 所以平均数为， 方差为. 所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8. 地 城 考点04 古典概型的概率 1．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为. 故选：C. 2．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知 ． 故选：C． 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析他没有乘坐下等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中）， 共6种， 其中该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的其余5种情况，则其概率为． 故选：D 4．(23-24高一上·江西上饶·期末)若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能， 其中满足的数对有，共5种可能， 所以点在直线上的概率是. 故选：C. 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末) （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D. 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为，共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为，共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误. 故选：AC 6．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 【答案】BC 【分析】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD. 【详解】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误； 对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确； 对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确； 对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误. 故选：BC. 7．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（    ） A．首选科目为历史的学生样本容量为20 B．所有样本的均值为87分 C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13 【答案】ABD 【分析】根据分层抽样的抽样比可判断A；根据分层抽样的平均数计算公式可判断B；利用古典概型概率公式判断C；根据分层抽样的方差计算公式可判断D. 【详解】设历史类学生抽取人数为，则， 解得，故A正确； 设物理类学生成绩的平均数为，方差为，历史类学生成绩的平均数为，方差为，所以样本的平均数为，方差为， 则由题意可得，，，， 所以所有样本的均值，故B正确； 每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为，故C错误； 由方差的计算公式可得， 解得， 所以历史类学生成绩的标准差为，故D正确. 故选：ABD 8．(23-24高一上·江西·期末) （多选）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．A，在后3天介绍的方法种数为144 B．，相隔一天介绍的方法种数为96 C．不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504 D．A在，之前介绍的概率为 【答案】ACD 【分析】对于ABC：根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D：根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】A，在后3天介绍的方法种数为，A正确； ，相隔一天介绍的方法种数为，B错误； 不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为（或），C正确： A在，之前介绍的概率为，D正确； 故选：ACD. 9．(24-25高一上·江西吉安·期末)吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为, 随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种， 其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为, 故答案为： 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 【答案】0.76/ 【分析】设出事件，利用独立事件和对立事件概率求解公式进行计算 【详解】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”， 事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”， 则. 故答案为：0.76 11．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】首先求出红球、黑球抽取的个数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】因为袋子里红球和黑球的数量之比为， 所以红球抽取个，分别记作、、、； 黑球抽取个，分别记作、； 从中任意取出两个小球，则可能结果有、、、、、、、、 、、、、、、共个； 其中至少含有个黑球的有、、、、、、、、共个； 所以至少含有个黑球的概率. 故答案为： 12．(23-24高一上·江西上饶·期末)据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 【答案】 【分析】利用列举法得到“从2名男生和2名女生中任选2人”的基本事件总数，及“至少有1名男生”包含的基本事件个数，从而利用古典概型求解即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任选2人参加围棋比赛，则可能情况有，共6个， 所以“至少有1名男生”的情况有，共5个， 故所选2人中至少有1名男生的概率为. 故答案为： 13．(23-24高一上·江西抚州·期末)若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求出集合的的所有非空子集的个数为，再求出具有“伙伴关系集合”的个数为，利用古典概率从而可求解. 【详解】，集合的所有非空子集的个数为， 若，则； 若，则； 若，则与成对出现； 若，则与成对出现， 集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）． 在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为． 故答案为：． 14．(24-25高一上·江西上饶·期末)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 15．(24-25高一上·江西吉安·期末)地球表面的水储量大约有140亿亿立方米，但淡水资源只有3.5亿亿立方米，在有限的淡水资源中，仅有0.34%是人类可以利用的，水是人类赖以生存的宝贵资源，节约用水，利在当代，功在千秋.为了提高居民节约用水的意识，某城市对居民采用“阶梯水价”的计费方式，其计价规则如下： 每户每月用水水量 水价 不超过10m3的部分 2.0元/m3 超过10m3但不超过20m3的部分 4.0元/m3 超过20m3的部分 8.0元/m3 (1)写出用户居民每月所需要缴纳的水费y（单位：元）与用水量x（单位：m3）之间的函数关系. (2)某小区的物业公司为提高居民节约用水的积极性，将每月给缴纳水费不超过35元的用户评定为“节水榜样用户”，被评为“节水榜样用户”的居民可参加物业举办的抽奖活动，抽奖规则如下：一个不透明的箱子中装有两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3的小球，这5个小球除编号外其余均相同，用户从箱子中依次取出两个小球，若小球的编号之和为3的倍数，则代表中奖，问： ①“节水榜样用户”的月用水量不能超过多少m3? ②参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率是多少? 【答案】(1) (2)①用水量不超过13.75m3；② 【分析】（1）由题意，可得分段函数的解析式； （2）①由题意可解不等式得解； ②列出基本事件空间，根据古典概型求解即可. 【详解】（1）依题，当时，； 当时，； 当时，. 综上： （2）①由，得， 因此，月用水量不超过13.75m3的用户可被评为“节水榜样用户”. ②记两个编号为1的小球为，，两个编号为2的小球为，， 编号为3的小球为c，则该次抽奖活动的样本空间 ， 共20个样本点. 其中中奖的情况有，，，，，，，共8个， 因此，参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率为. 16．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，分别求出，，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， 所以事件不相互独立. 17．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上，利用分位数的定义，结合直方图列式求解； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由图可知：，解得，， 故的值为； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上， 因为， ， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得：， 所以满意度评分位列前的游客将发纪念品，获得纪念品的分数至少为分； （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这3人中随机抽取2人，则有：共有3个基本事件， 选取的2人评分分别在和内各1人有，2个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 18．(24-25高一上·江西九江·期末)4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【答案】(1)，54（分钟）； (2). 【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可； （2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，即， 这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）. （2）每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中， 在内的有2人，记为，在内的有4人，记为， 这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点， 阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点. 这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 19．(24-25高一上·江西赣州·期末)赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【详解】（1）由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 （2）从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； （3）满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 20．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】(1)医生人数为2，护士人数为3； (2) 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 21．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点； （2）按古典概型的概率计算公式进行计算. 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 22．(23-24高一上·江西抚州·)2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 【答案】(1)A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大，理由见解析 (2)0.1925 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案. （2）确定，，得到，计算得到答案. 【详解】（1），， 地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大． （2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立， ， 记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”， 则. 地 城 考点05 对立事件的概率 1．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（    ） A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06 【答案】B 【分析】根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解. 【详解】系统正常工作的概率为， 即可靠性为0.994. 故选：B 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A的真假；根据独立事件的判定方法判断B的真假；根据相关数据的平均数和方差的关系判断C的真假；根据方差的概念判断D的真假. 【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确； 对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确； 对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误； 对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确. 该题要选出不正确的说法. 故选：C 4．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD. 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为， 故D不正确． 故选：D. 6．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末) （多选）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 【答案】BC 【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D. 【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误； 因为， ，，所以，故与互不影响，故B正确； 事件，事件， 不可能同时发生，故事件与互斥，故 ，故C正确； 表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”， ，， 事件与事件不是对立事件，故D错误． 故选:BC． 7．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末) （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由对立事件，互斥事件和事件，独立事件逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 由于无法确定是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C错误，D正确. 故选：AD. 8．(24-25高一上·江西宜春中学·期末) （多选）下列说法中正确的有（ ） A．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是 B．函数的定义域是，则函数的定义域为 C．若事件A与互为对立事件，则 D．不等式的解集是 【答案】BCD 【分析】对于A，由平均数可得，然后可得中位数；对于B，由函数定义域概念可判断选项正误；对于C，由对立事件概率关系可判断选项正误；对于D，解分式不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，因，，，，，的平均数为， 则， 则这组数据从小到大排列为1，2，7.5，8，8.5，9， 中位数为第3个数据，第4个数据的平均数，即为.故A错误； 对于B，因的定义域是，则的定义域为. 故B正确； 对于C，因A与互为对立事件，则，故C正确； 对于D， ， 故不等式解集为：，故D正确. 故选：BCD 9．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末) （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D. 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为，共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为，共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误. 故选：AC 10．(24-25高一上·江西九江·期末)如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 【答案】/ 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件.则，分别计算出，根据对立事件即可得即可解出. 【详解】解：设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件. ， ，即该电子元件能正常工作的概率是. 故答案为：. 11．(24-25高一上·江西多校联考·期末)甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 【答案】0.76/ 【分析】设出事件，利用独立事件和对立事件概率求解公式进行计算 【详解】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”， 事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”， 则. 故答案为：0.76 12．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出每个事件，再利用独立事件的概率公式求解即可. （2）设出各个事件的概率，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件“甲限时滚铁环过关”， 事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （2）设事件“乙限时滚铁环过关”， 事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． 又与相互独立， 所以两人的积分之和为4分的概率， 所以两人的积分之和不超过3分的概率为． 13．(24-25高一上·江西多校联考·期末)为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表. 评分分组 人数 6 12 18 21 3 (1)根据表中数据画出频率分布直方图； (2)估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）； (3)若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取） 【答案】(1)作图见解析 (2)65.71 (3)0.035 【分析】（1）根据表中数据计算频率，即可作出图， （2）根据频率分布直方图中百分位数的计算公式即可求解， （3）根据对立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解. 【详解】（1）评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的， 评分在内的. 其频率分布直方图如图所示. （2）因为评分低于60分的频率为，评分低于80分的频率为，所以评分的70%分位数在内. 设70%分位数为x，则，解得， 即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71. （3）设事件A为“第一人评100分”，事件B为“第二人评100分”，事件C为“第三人评100分”，则A，B，C之间相互独立，且. 设事件D为“至少有一人评100分”，则， 则， 整理得. 故p的最大值为0.035. 地 城 考点06 互斥事件的概率 1．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是 ， 故选：B 2．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD. 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为， 故D不正确． 故选：D. 4．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末) （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由对立事件，互斥事件和事件，独立事件逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 由于无法确定是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C错误，D正确. 故选：AD. 5．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 根据概率计算即可求解; （2）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解; （3）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解. 【详解】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 6．(24-25高一上·江西上饶·期末)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 7．(24-25高一上·江西抚州·期末)临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题对一题，错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 8．(23-24高一上·江西上饶·期末)甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 . （2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”， ““博学队”猜对三个数学名词”，所以， ，则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为. 试卷第1页，共3页 67 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $