专题04 指数运算、指数函数及幂函数（期末真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题04 指数运算、指数函数及幂函数 6大高频考点概览 考点01 指数与指数幂的运算 考点02 指数幂的大小比较 考点03 指数函数的单调性 考点04 指数函数的图像 考点05 幂函数的定义 考点06 幂函数的性质 地 城 考点01 指数与指数幂的运算 1．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西宜春中学·期末) . 3．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知，若，则 . 4．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，则 . 5．(24-25高一上·江西南昌·期末)（1）求值：； （2）已知，求的值. 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)（1）化简：； （2）已知角终边上一点，求的值． 7．(24-25高一上·江西吉安·期末)计算下列各式： (1) (2) 8．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 9．(24-25高一上·江西景德镇·期末)（1）化简：，（） （2）计算： 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)（1）若，求的值； （2）计算：. 11．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（1）计算：； （2）已知，求及的值. 12．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)化简求值： (1)； (2)． 地 城 考点02 指数幂的大小比较 1．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西南昌·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)设则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 指数函数的单调性 1．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西抚州·期末)若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．(24-25高一上·江西九江·期末)函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·江西上饶·期末)设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江西九江·期末)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期末)（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（    ） A．当时， B．有个解，且 C．是奇函数 D．的解集是 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 11．(24-25高一上·江西赣州·期末)设全集为，已知集合， (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 12．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． (1)（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； (2)若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围． 13．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知二次函数满足，且，函数． (1)求函数的解析式； (2)记函数． （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）求在区间上的最大值． 地 城 考点04 指数函数的图像 1．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)若,则函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．(23-24高一上·江西宜春丰城中学·期末)已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西吉安·期末)函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·江西上饶广丰区南山中学·期末)函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   7．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）下列选项中正确的是（    ） A．函数（，且）过定点 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为2 D．若对任意的实数都有不等式恒成立，则 8．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）下列结论正确的是（    ） A．函数且的图象过定点 B．是方程有两个实数根的充分不必要条件 C．的反函数是，则 D．定义在上的奇函数，当时，，则 9．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)如图，指数函数 与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 10．(24-25高一上·江西九江第一中学·期末)当且时，函数的图象一定经过定点 地 城 考点05 幂函数的定义 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．25 B．5 C． D． 2．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知幂函数的图象关于轴对称，则的值为（    ） A．-2 B．5 C．-2或5 D．2 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 6．(24-25高一上·江西赣州·期末)已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点06 幂函数的性质 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西南昌·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 6．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数运算、指数函数及幂函数 6大高频考点概览 考点01 指数与指数幂的运算 考点02 指数幂的大小比较 考点03 指数函数的单调性 考点04 指数函数的图像 考点05 幂函数的定义 考点06 幂函数的性质 地 城 考点01 指数与指数幂的运算 1．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出、所满足的关系式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数且， 由，可得，此时，，即点， 将点的坐标代入直线方程可得，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 2．(24-25高一上·江西宜春中学·期末) . 【答案】 【分析】由对数及根式的基本运算求解即可. 【详解】解： . 故答案为： 3．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知，若，则 . 【答案】 【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】由得，所以， 所以或，解得. 故答案为： 4．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以 ,则， 故答案为：. 5．(24-25高一上·江西南昌·期末)（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)（1）化简：； （2）已知角终边上一点，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）应用指对数的运算性质化简求值即可； （2）应用诱导公式化简及终边上的点求正切函数值，即可得结果. 【详解】（1） ； （2）由题可知， 则. 7．(24-25高一上·江西吉安·期末)计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 8．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可； （2）先根据指数函数的值域求出函数的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数，其理由如下： 因为的定义域为R，且， 所以，则函数为奇函数. （2）因为，所以，则， 所以，所以，所以集合， “”是“”的充分不必要条件， 所以，则. 9．(24-25高一上·江西景德镇·期末)（1）化简：，（） （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由指数幂的运算法则计算即可； （2）由对数运算法则和对数运算性质即可计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)（1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）（2）0 【分析】（1）对数式化为指数式，得到，故； （2）利用对数运算和对数运算法则化简，求出答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 从而. （2）原式 . 11．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（1）计算：； （2）已知，求及的值. 【答案】（1）；（2）7； 【分析】（1）根据指数及对数运算法则进行计算即可； （2）把条件平方可求得的值，先平方在开方利用条件即可求解. 【详解】解：（1） . （2）由于， 所以， . 12．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用幂的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）原式                     ． （2）原式                                                                      ． 地 城 考点02 指数幂的大小比较 1．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出函数和，然后作差利用指数函数的单调性判断正负即可 【详解】解：， ， 又， 当时，，，则， 即； 当时，，，则， 即； 当时，，，则， 即； 综上，. 故选：C 2．(24-25高一上·江西南昌·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解. 【详解】由于单调递减，故，即， 由于函数为上的单调递增函数，故，故， 因此， 故选：A 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)设则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】. 故选：A. 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得. 【详解】由于，，， 所以. 故选：C 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“分段法”判断出的大小关系. 【详解】由于，所以. 故选：A 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数和对数函数单调性性质即可判断AB；由三角函数诱导公式结和三角函数单调性即可判断CD. 【详解】对于：函数为R上的增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为上的增函数，所以， 当时，函数为上的减函数，所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，时， ，即，故错误. 故选：. 7．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确. 【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确； 对于B，取，，所以，故错误； 对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确； 对于D，当，时，，故错误. 故选：AC. 8．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假. 【详解】对A：因为，所以 .故A正确； 对B：因为，且函数在上单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，所以，故C正确. 对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误. 故选：ABC 地 城 考点03 指数函数的单调性 1．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充分条件、必要条件的概念，根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又在R上单调递减，所以， 由能推出，反之不成立，可能，此时不存在， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是偶函数可得，代入解析式，判断出的单调性，利用单调性解不等式即可求. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，整理得， 由题意可知，所以，所以， 所以， 又，则， 任取， ，且， 所以， 因为，，则， 又， ，所以， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 因为， 所以，又，解得， 故选：D 4．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解. 【详解】设，则不等式可化为， 解得， 所以，解得. 故选：A 5．(24-25高一上·江西抚州·期末)若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 6．(24-25高一上·江西九江·期末)函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质及零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】当时，，此时无零点； 当时，在上单调递增，且，， 所以上存在一个零点； 综上，零点所在区间为. 故选：D 7．(24-25高一上·江西上饶·期末)设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定定义，把问题转化为两个函数在区间同增或同减列出恒成立的不等式，再借助指数函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间为函数的“稳定区间”，令， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 于是，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 于是，不等式组无解， 所以实数的取值范围为 故选：A 8．(24-25高一上·江西九江·期末)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 9．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期末)（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（    ） A．当时， B．有个解，且 C．是奇函数 D．的解集是 【答案】BD 【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解解析式，可判断A选项；数形结合以及奇函数的性质可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数的单调性以及图象解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，A错； 对于B选项，因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象有五个交点，不妨设， 因为函数与都为奇函数，则， 点、关于原点对称，点、关于原点对称， 所以，，，故，B对； 对于C选项，令，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，C错； 对于D选项，令，则，且，则， 由图可知，函数在上为增函数，由，可得，即， 结合图象可知，不等式的解集为，D对. 故选：BD. 10．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出，结合奇函数的定义可求函数解析式. （2）分类讨论解不等式可得结果，也可根据奇函数的单调性解不等式. 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴，解得， ∵当时，，∴当时，，， ∵是奇函数，∴， ∴. （2）（方法一）当时，由得，，即，解得. 当时，由，得，即，解得. 综上所述，原不等式的解集为. （方法二）由，得，即. ∵当时，在上单调递增，是奇函数， ∴在上单调递增. ∵，，∴原不等式的解集为. 11．(24-25高一上·江西赣州·期末)设全集为，已知集合， (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）运用指数函数单调性求出B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可； （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）当时，， 或， 又因为， 则或 （2）因为“”是“”成立的充分条件，则， 集合，， 当，即，即，符合题意； 当时，，解得： 综上所述，实数m的取值范围是 12．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． (1)（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； (2)若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）不是，的“2重覆盖函数”；理由见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）分别分析与的值域关系，根据“重覆盖函数”的定义判断并求解的值； （2）先求出的值域，再根据的分段函数性质，结合“重覆盖函数”的定义确定实数的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）不是，的“2重覆盖函数”， 理由如下：不妨取，则， 令，解得，仅1解，不符合定义， 所以不是，的“2重覆盖函数”； （ⅱ），则，令， 所以， 令，则，，且，， 所以总有两个不相等的正根， 又因为，所以，四个根互不相等且非零， 所以是的“4重覆盖函数”，故． （2）当，由指数函数性质可知单调递增， 所以， 因为为，的“2重覆数函数”， 即，总有两个不同的实根； 当时，在上单调递增，所以，如图，    此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根， 故当时，也需恒有一个实根； 当时，，如图，    此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，符合要求； 当时，是开口向下的二次函数且有最大值， 所以对，恒有一个实根不成立，故不满足要求； 当时，对称轴为. 若，即，在上单调递减，在上单调递增，，要满足条件， 则，且， 由，化简得，解得或， 又，所以；由得，所以. 若，即，在上单调递减，，要满足条件，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围是 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知二次函数满足，且，函数． (1)求函数的解析式； (2)记函数． （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）（ⅰ）由（1）求出函数，代入求解方程即得；（ⅱ）求出函数，换元并结合指数型复合函数单调性求出新元的范围，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）设二次函数，，由， 得，整理得， 则，解得，，则，由，得， 所以函数的解析式为. （2）（ⅰ）由，得， 函数，． 则，由，得，令， 则，整理得，而，解得，即，解得， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 当时，，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 地 城 考点04 指数函数的图像 1．(24-25高一上·江西景德镇一中·期末)若,则函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据,，得到，且是是R上的减函数判断. 【详解】因为,， 所以，且函数是R上的减函数， 图象如图所示：    所以其图象一定经过第二、三、四象限， 故选：D 2．(23-24高一上·江西宜春丰城中学·期末)已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数，，的图象，判断函数值相等时实数a、b、c的大小关系. 【详解】令，画出，，，图象可知：    当在①位置时，； 当在②位置时，； 当在③位置时，； 不可能成立. 故选：D 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性以及特殊值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项. 故选：C. 4．(24-25高一上·江西吉安·期末)函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误； 故选：A 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 6．(23-24高一上·江西上饶广丰区南山中学·期末)函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的， 而的图象过点，且在上是增函数， 所以的图象过点，且在上是增函数， 故选：A 7．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末) （多选）下列选项中正确的是（    ） A．函数（，且）过定点 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为2 D．若对任意的实数都有不等式恒成立，则 【答案】BD 【分析】用指数函数的性质判断A，抽象函数的定义域判断B，举反例判断C，分离讨论的范围判断D即可. 【详解】当时，，则该函数过定点，故A错误， 若函数的定义域为，则在中，解得，故B正确， 当时，，则函数的最小值不为2，显然C错误， 若在时恒成立，当时，不等式不成立， 当时，令，此时有且， 故有且，此时无解，故排除， 当时，令，此时有或， 故有或，解得， 综上，故D正确. 故选：BD 8．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）下列结论正确的是（    ） A．函数且的图象过定点 B．是方程有两个实数根的充分不必要条件 C．的反函数是，则 D．定义在上的奇函数，当时，，则 【答案】AC 【分析】求出指数型函数恒过的定点可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；由反函数的性质可判断C；由奇函数的定义域关于原点对称求出，再由奇函数的性质代入求解可判断D. 【详解】函数，令，可得， 故函数的图象过定点，故A正确； 根据方程有两个实数根，可得，即， 故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误； 的反函数是，故C正确； 在上是奇函数，， 解得，又时，， ，故D错误． 故选：AC. 9．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)如图，指数函数 与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出，根据得出的值，再结合题意求出的值. 【详解】由题意知， 所以，，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，均不为1且，， 所以. 故答案为：2；4 10．(24-25高一上·江西九江第一中学·期末)当且时，函数的图象一定经过定点 【答案】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 地 城 考点05 幂函数的定义 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】待定系数法求出幂函数解析式，代入求值即可. 【详解】设，则，解得，则，. 故选：D 2．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 3．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知幂函数的图象关于轴对称，则的值为（    ） A．-2 B．5 C．-2或5 D．2 【答案】A 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】由幂函数的概念可知，，所以，解之得或． 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意． 故选：A 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【详解】由题意可得，解得，则， 由可得，可得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】为幂函数，或 又在区间上单调递增， 故答案为： 6．(24-25高一上·江西赣州·期末)已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2）由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故实数的取值范围为. 地 城 考点06 幂函数的性质 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数与幂函数的单调性比较大小可得结果. 【详解】∵幂函数在上单调递增，∴. ∵对数函数在上单调递增，∴， ∴. 故选：B. 2．(24-25高一上·江西南昌·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解. 【详解】由于单调递减，故，即， 由于函数为上的单调递增函数，故，故， 因此， 故选：A 3．(24-25高一上·江西景德镇·期末)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 4．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确. 【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确； 对于B，取，，所以，故错误； 对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确； 对于D，当，时，，故错误. 故选：AC. 5．(23-24高一上·江西抚州·期末)幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】为幂函数，或 又在区间上单调递增， 故答案为： 6．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性定义判断函数奇偶性，根据幂函数的单调性及解析式判断函数单调性，再应用奇偶性、单调性解不等式求参数范围. 【详解】由定义域为，且，则为奇函数. 又函数均为上的增函数，则为上的增函数. 由题设，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $