8.1二分法与求方程近似解（2课时）（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与二分法，涵盖零点概念、零点存在定理及二分法原理与应用。通过旧知回顾二次函数零点，结合电工查电线断点情境导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程解与函数图像交点的关系。 其亮点是情境化问题驱动与数学思想融合，如用“中点测试”类比二分法，通过问题链培养数学思维。注重数学抽象（从方程根到函数零点）和数学运算（二分法计算），例题步骤清晰，总结数形结合方法。助力学生提升抽象思维与运算能力，为教师提供结构化教学资源。

8.1二分法与求方程近似解（2课时） 8.1.1 函数的零点 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：认识函数零点的概念，了解并掌握零点存在定理； 教学难点：了解并掌握函数零点存在定理. 认识函数零点的概念，理解函数零点存在性定理的内容. 能根据函数解析式求简单函数的零点. 能初步应用零点存在性定理判断函数在给定区间上是否存在零点. 教学目标 学科素养 数学抽象：从具体的方程根和函数图象交点中，抽象出“函数的零点”这一统一的数学概念. 数学运算：能够准确计算函数在区间端点的函数值，为应用定理进行判断提供依据. 章前序言 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁，无处不用数学． ——华罗庚 在过去的学习中，我们已经看到，函数是描述客观世界中变量关系和变化规律的最为重要的数学模型． 面对现实世界中的问题，我们对其中的变量关系和规律进行分析，建立函数模型．通过研究所建立的函数模型，利用函数、方程、不等式等之间的关系，寻找问题的答案，进而解决现实世界中的问题．例如：经济学中的各项经济总量与生产量的关系、物体在自然环境中的温度变化与时间的关系、潮汐现象、天体运动规律...... 旧知回顾 问题1：什么是函数的零点？ 前面我们学习过，使二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的值为0的实数 x 称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的零点. 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 追问1-1：函数零点，方程的解，图象交点三者有什么关系？ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的零点就是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 为什么a不为0？ 零点是点吗？ 新知探究 问题2：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点这个问题还可以用哪些方法来解决？ 还可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决 操作：请同学们用三种方法分别试一试. 追问2-1若不求解，有没有其他方法判断？ ①f(x)＝x2－2x－1=0 ②x2－2x－1=0 ③ 课堂练习 1. 画出函数y＝x2＋x－2的图象，并指出函数y＝x2＋x－2的零点. 函数 y＝x2＋x－2 的零点为 x＝1或 x＝－2. 变式训练 课堂练习 2.求下列函数的零点： (1) y＝2x＋3； (2) y＝x2＋4x； (3) y＝3x－9； (4) y＝log x. 0或－4. 2 1 变式训练 新知探究 因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2，3] 上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2，3)上存在零点. 注意：(1) 闭区间； (2) 不间断 (3) 存在至少一个 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a) f(b) <0,则函数y=f(x) 在区间(a,b) 上有零点. 零点存在定理 追问2-1若不求解，有没有其他方法判断零点存在？ 典例分析 例1 证明：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点. 解：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0， f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0. 且函数 f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(－2，－1)上存在零点. 典例分析 例2 求证：函数 f(x)＝2x＋2x－3 有零点. 解： 因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0， f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0， 且函数 f(x) 在区间[0，1] 上的图象是不间断的，所以函数 f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数 f(x) ＝2x＋2x－3 有零点. 典例分析 练习3. 已知函数 f(x)＝3x－x2，那么方程 f(x)＝0 在区间[－1，0]上有实数解吗?为什么? 变式训练 函数f(x)=-x²在区间[-1,0]上不间断，且 f(-1)= -1<0,f(0)=1-0=1>0 ∴函数f(x)= - 在区间[一1,0]上有零点 即方程f(x)=0在区间[一1,0]上有实数解 方程的解 函数的零点 反思总结 函数的零点 零点存在定理 概念 注意三点 闭区间 不间断 至少一个 我们按照顺序学习了哪些内容呢？掌握了什么数学方法？ 数形结合与转化 8.1.2 用二分法求方程的近似解 苏教版2019必修第一册·高一 8.1二分法与求方程近似解 学习目标 教学重点：了解二分法的基本思想、原理，掌握操作步骤； 教学难点：掌握二分法的操作步骤. 理解二分法的基本思想、原理和操作步骤。 理解“精确度”的含义，并能根据给定的精确度要求，确定二分法所需的次数或停止计算的条件。 能初步应用二分法求特定方程在某个区间内的近似解。 教学目标 学科素养 数学抽象： 将具体的求方程解的问题，抽象为“寻找函数零点”的问题。 数学运算： 在实施二分法的过程中，需要进行大量的中点坐标计算和函数值计算，锻炼了学生的计算能力。 情景引入 电工师傅的智慧 一根较长的电线断了，他从不从头开始查。 先在中点测试：有电？则断点在后面；没电？则断点在前段。 再在确定段的中间继续测…… 如此反复，快速锁定故障——这运用了二分法的原理！ 问题1：对于方程 lg x＝3－x，要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢? 新知探究 让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究. 例如，求方程 x2－2x－1＝0 的实数解就是求函数 f(x) ＝x2－2x－1 的零点. 根据图8-1-2，我们发现 f(2)＜0，f(3)＞0. 这表明此函数图象在区间 (2，3) 上有零点，即方程 f(x)＝0 在区间(2，3)上有实数解. 又因为在区间(2，3)上函数 f(x) 单调递增，所以方程 x2－2x－1＝0 在区间(2，3)上有唯一实数解 x1. 计算得f() ＝＞0，发现 x1∈(2，2.5) ，这样可以进一步缩小 x1 所在的区间. 如何进一步缩小区间？ 新知探究 问题2：根据刚才的方法，你能把此方程的一个根 x1 限制在更小的区间内吗? 取2与3的平均数2.5.因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5. 再取2与2.5的平均数2.25.因为 f(2.25) ＝－0.43750，所以2.25＜x1＜2.5.如此继续下去，得 f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)， f(2)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2，2.5)， f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.25，2.5)， f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.5)， f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.437 5). 仍然取两数中点 ，判断正负，利用零点存在定理进一步缩小范围，不断重复此操作. 新知探究 对于在区间［a，b］上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法. 二分法 特别地，可以将区间端点作为零点的近似值 典例分析 例3.利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1). 分析 求方程 lg x＝3－x 的解可以转化为求函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解.分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象，如图所示. 在两个函数图象的交点处，函数值相等. 因此，这个点的横坐标就是方程 lgx＝3－x 的解,记为x1，并且这个解在区间 (2，3) 内. 定初始区间时要尽可能地找到含有零点的更小的区间 典例分析 f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)， f(2.5)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2.5，3)， f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.75)， f(2.5)<0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.625), f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.562 5，2.625). 例3.利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1). 因为＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625. 判断是否达到精确度,<则得到零点的近似值a或b. 例4.利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1). 解：因为方程 sin x＝1－x 可化为 x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数 f(x)＝x＋sinx－1的零点.先画出函数 y＝sinx与函数 y＝1－x 的图象，如图 8-1-4 所示. 观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函数 f(x)的零点在区间 (0，1) 内，记为 x0.取0和1的平均数 0.5， 因为f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.020 57＜0，所以 x0∈ (0.5，1). 取0.5和1的平均数 0.75， 因为f(0.75)＝sin0.75－0.25＝0.43164＞0，所以 x0∈(0.5，0.75). ...... 因为f(0.562 5)＝sin0.562 5－0.437 5＝0.095 80＞0，所以 x0∈ (0.5，0.562 5). 因为＝0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取0.5 典例分析 课堂练习 1. 利用计算器，求方程 x3＋3x －1＝0 在区间(0，1)上的近似解 (精确到0.1) 变式训练 解 设 f(x)＝x3＋3x－1，因为 f(0)＝0＋3×0－1 ＝－1＜0, f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0， 取区间 (0，1) 的中点 x1＝＝0.5， 因为f(0.5)＝0.53＋3×0.5－1＞0.625＞0,所以 f(0)·f(0.5)＜0， 因为∣0－0.5∣＝0.5＞0.1，所以取区间 (0，0.5) 的中点x2＝ ＝0.25， 因为f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1≈－0.23＜0，所以 f(0.25)·f(0.5)＜0， 因为∣0.25－0.5∣＝0.5＞0.1，所以取区间 (0.25，0.5) 的中点 x3＝ ＝0.375， 因为 f(0.375)＝0.3753＋3×0.375－1≈0.18 ＞0，所以 f(0.25)·f(0.375)＜0， 因为∣0.25－0.375∣＝0.125＞0.1，所以取区间(0.25，0.375)的中点 x4＝＝0.31. 因为f(0.31)＝0.313＋3×0.0.31－1＞－0.04＜0，所以 f(0.31)·f(0.375)＜0， 因为∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，又因为函数 f(x) 在区间 (0.31，0.375) 上连续， 所以方程x3＋3x－1＝0在区间 (0，1) 上的近似解为0.3. 课堂练习 变式训练 2. 利用计算器，求方程lgx＝1－2x的近似解 (精确到0.1). 解 令f(x)＝lgx＋2x－1，则 f()＝lg＜0， f(1)＝1＞0. 所以函数 f(x)＝lgx＋2－1在区间(，1)上存在零点，因为 f()＝lg＋≈0.375， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点，因为 f()＝lg＋≈0.0459， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点， 因为 f()＝lg＋≈－0.1249， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点， 因为 －＝ ＝0.0625＜0.1，所以可取(， )中的数作为方程的近似解， 例如0.6，因此0.6是方程 lgx＝1－2x的近似解. 反思总结 二分法 用二分法求零点步骤 定义 这节课我们按照顺序学习了哪些内容呢？掌握了什么数学方法？ 数形结合与转化 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $