第四章 整式的加减 章末能力达标题-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第四章 整式的加减 一、单选题 1．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．计算﹣a2+3a2的结果为（　　） A．﹣2a2 B．2a2 C．4a2 D．﹣4a2 3．单项式的次数是（  ） A． B．3 C．5 D．6 4．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．按照一定规律排列的式子：，，，……，第个式子是（    ） A． B． C． D． 7．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．如图，两个三角形的面积分别为25，18，若两阴影部分的面积分别为，，则等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 10．将0，1，3，6四个数组成无重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第10个四位数是（　　） A．3160 B．3016 C．3601 D．3610 11．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，，，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是（   ） A．54 B．46 C．38 D．34 12．已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 13．写出一个能与合并的单项式 ． 14．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数为 （用含的式子表示）． 15．若多项式与多项式相加后不含二次项，则多项式的值为 ． 16．下列四个说法：①如果大于，那么的倒数小于的倒数；②多项式的值与都无关；③已知，且，则的值等于；④若，则．其中正确的是 （填写序号） 17．如果，，且，那么 ． 18．若，且，则 ． 三、解答题 19．计算． (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 22．已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 23．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框的总长（即图中实线部分的总长）； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米18元，窗框材料每米6元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 24．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 25．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 26．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 27．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B B C C D A 题号 11 12 答案 C C 1．D 本题考查了同类项的概念，关键是抓住同类项概念中的两个相同：一是字母相同；二是相同字母的指数也相同．根据同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项，显然所给的几个选项与的字母都相同，根据同类项的概念判断即可． 解：A．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； B．选项中字母y的指数与中y的指数不相同，故不是同类项； C．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； D．选项中的x、y的指数均与中x、y的指数相同，故是同类项． 故选：D． 2．B 试题分析：﹣a2+3a2=(-1+3)a2=2a2． 3．C 本题考查了单项式的次数，属于应知应会题型，熟知单项式次数的概念是关键． 单项式中所有字母的次数和叫做单项式的次数，据此求解即可； 解：单项式的次数是． 故选：C 4．C 本题考查的知识点是单项式的定义，解题关键是熟练掌握单项式的定义． 根据单项式的定义对选项进行逐一判断即可得解． 解：选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是单项式，符合题意，选项正确； 选项，不是整式，不是单项式，不符合题意，选项错误． 故选：． 5．B 本题主要考查整式的加减，利用整式的加减的法则进行求解即可． 解：， ． 故选：B． 6．B 本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数．由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 解：按照一定规律排列的式子：，，，，，，则第个式子是， 故选：B． 7．C 本题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则，括号前是正数时，括号内各项符号不变；括号前是负数时，括号内各项符号改变，同时需用分配律将系数乘以括号内的每一项． 解：A. ，故选项计算错误，不符合题意； B.，故选项计算错误，不符合题意； C.，故选项计算正确，符合题意； D. 故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．C 本题主要考查了根据数轴判断式子的符合，首先根据实数在数轴上的对应点位置确定两者的大小，易得，然后根据绝对值的性质即可获得答案． 解：根据数轴可知，， ∴， ∴． 故选：C． 9．D 本题考查整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．设空白部分的面积是c，则，再根据，即可作答． 解：设空白部分的面积是c， ∵两个三角形的面积分别为25，18， ∴， ∴． 故选D． 10．A 本题主要考查了数字变化类，根据0不能作为千位上的数可知有三种情况选择，分别是1，3，6，根据题意列出四位数，并结合题意即可求解． 解：将0，1，3，6四个数组成无重复数字的四位数，千位为1时有：1036，1063，1306，1360，1603，1630； 千位为3时有：3016，3061，3106，3160，3601，3610； 千位为6时有：6013，6031，6103，6130，6301，6310； ∴ 第10个四位数为3160． 故答案为：A． 11．C 本题考查图形的规律探索，整式的加减，代数式求值，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键．观察可知两个拼接时，总长度为，三个拼接时，总长度为，四个拼接时，总长度为，由此可得9个拼接时，总长度为，代入求值即可． 解：观察图形可知两个拼接时，总长度为， 三个拼接时，总长度为， 四个拼接时，总长度为， 所以9个拼接时，总长度为， 将，代入，得， 故选：C． 12．C 解：如图，根据题意，得，且，，，， ∴， 故①错误； 由，， 故即； 故②正确； ； 故③正确， ， 故④正确． 故选：C． 13．（答案不唯一） 本题主要考查了合并同类项，掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，是本题的解题关键． 根据同类项的定义求解即可． 解：能与合并的单项式有，等， 故答案为：（答案不唯一）． 14．人 本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键；由第一组人数可表示出第二组人数，再根据三组总人数为47人，即可表示出第三组的人数，最后化简即可． 解：第二组人数为：人， 第三组人数为： 人 故答案为：人． 15． 本题考查了多项式的加法运算、合并同类项以及解方程求参数的值．通过多项式相加后不含某项，根据不含某项即含某项的系数为，可以得到关于参数的方程，解出参数的值，然后代入到相关的表达式中求值． 解：将多项式与多项式中的二次项合并， 得. ∵两个多项式相加后不含二次项， ∴， 解得 ， ． 故答案为∶． 16．②③④ 本题考查整式的加减，倒数，有理数的大小比较方法，绝对值，代数式求值，熟练掌握知识点的应用．逐一分析判断，即可解答． 解：①当，时，，有，故该项错误； ②，多项式的值与x，y都无关，故该项正确； ③∵， ∴， ∵， ∴或， 则或， ∴的值等于；故该项正确； ④∵， ∴， ∴，故该项正确． 故答案为：②③④． 17． 本题考查了整式的加减． 将变为，再将，代入计算即可． 解：∵， ∴ ， 故答案为：． 18．1或 本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 19．(1) (2) 本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． （1）直接去括号进而计算加减即可得出答案； （2）直接去括号进而计算加减即可得出答案． （1）解： ； （2）解： 20．， 本题考查了整式加减的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． 根据整式的加减运算法则化简，然后将，代入原式即可求出答案． 解： ； ，， 原式． 21．①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 22．(1) (2) 本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 23．(1) (2) (3)78.75元 （1）由图知，半圆的半径为， ． 答：窗户的面积等于． （2）． 答：窗户的外框的总长等于． （3）当时，窗户的面积等于，窗户的外框的总长等于， （元）． 答：制作这样一个窗户需要78.75元． 24．(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； （1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 25．(1)<；<；>；< (2) (3) 本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． （1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 26．(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． （1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3） 解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 27．(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． （1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 学科网（北京）股份有限公司 $