专题06 三角形内接矩形模型（相似模型精讲精练)-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题06 三角形内接矩形模型 【基本模型】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的、。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例题精讲】 例1．（基本模型）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 例2．（双矩形）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 例3．（培优综合）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 例4．（与函数综合）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t. ⑴ 求tan∠FOB的值； ⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S； ⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．如图，在中，，若，，的面积分别为，，，则的面积为 ． 2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ． 3.如图，是一块锐角三角形余料，边， 高， 要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上， (1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ (2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 4．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．    5．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 6．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t. ⑴ 求tan∠FOB的值； ⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S； ⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图,在中，，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点． (1)求证：；(2)设，当为何值时，矩形的面积最大?并求出最大面积； (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动(当矩形的边到达点时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 8．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△DEC≌△EDA； （2）求DF的值； （3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒． （1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）； （2）当点M落在AB边上时，t ＝_________s； （3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形内接矩形模型 【基本模型】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的、。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，