专题一 第1讲 三角恒等变换 讲义-2026届高三数学二轮复习

专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角恒等变换 1、 知识梳理： 1、变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式 余弦 正切 2、角的变换 指角的“配”与“凑”、函数名(弦切互化)、次数(降与升) 、运算结构(和与积)的变换； 已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换；配凑变形技巧，如： ，； ，； ； ； ，； ；等. 3、辅助角公式：， 期中. 二、考点透析 考点1 三角恒等变换与同角关系 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点2 三角恒等变换与角的变换 1．已知，，则( ) A. B. C. D. 2．（2025·广东广州·一模）已知，则 ． 3．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则 ． 考点3 三角恒等变换与解三角形、三角函数综合 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求B； （2）求的最小值. 2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 三、跟踪练习 1．（2025·宁夏银川·三模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则( ) A. B. C. D.3m 4．（2025·湖南岳阳·三模）已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 5．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则___________. 6．（25-26高三上·四川内江·阶段练习）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称． (1)求函数解析式； (2)若，且． （i）求的值； （ii）求值． 学科网（北京）股份有限公司 $专题一三角函数与解三角形 第1讲三角恒等变换 一、知识梳理： 1、变换公式 和差角公式 倍角公式 正弦 sin(a±p) sin 2a =2sin a cosa =sina cos±cosa sinβ cos(a±B) 余弦 cos 2a =cos2a -sin2 a =cosa cos B干sin a sin B =2c0s2a-1=1-2sin2a tana±tanB 正切 tan(a±B)= 2 tan a 1干tan a tanβ tan 2a =1-tan?a 2、角的变换 指角的“配”与“凑”、函数名（弦切互化）、次数（降与升）、运算结构（和与积）的变换： 已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换；配凑变形技巧，如： 2a=a+a,a=2×号；a+B=2.B，2-a-}g- 2 2 a-(@+B)-B-(a-B)+p-atB+a-B-B+a_B-a: 2 2 2 2a=2[(a+B)-B]=2[(a-B)+B]=(a+B)+(a-B)=(B+a)-(β-a); 2a+B=(a+B)+a,2a-B=(a-B)+a; 150450-303,75”=450+30；子+8=号-（倍-）等 3、的角公威aina+owa=+（ b -sina + -cosa)=sin(a +) va2+b2 期中cos0= a =sin = va2+b2 Va2+b,anp b b 二、考点透析 考点1三角恒等变换与同角关系 1.（2025·全国二卷·高考真题)已知0<a<元，cos9-5 25，则sina =() 4 A.② B.② C.32 D.72 10 5 10 10 【答案】D 【详解】cosa=2cos2g-1=2× 2 因为0<a<r,则<a<元，则sina=V-cos2a 则sina- π =sin a cos- 4 故选：D. 2.(2025·四川成都·三模)已知sin0-cos0= 2， 则sin81-sin20)cos2 =() sine-cose A.1 8 B.4 C.8 D. 4 【答案】C 【详解】等式sin8-cos0=两边平方可得，1-2sin6cos0= 4'即sin0cos0=3 sine(1-sin20),cos20 sin0(sin0-cos0)2 cos20 sin0-cos0 2 sine-cos0 2 2cos20-11 1 sin0(sin0-cos)+ -sinecos0 2 2 8 故选：C 考点2三角恒等变换与角的变换 1 1.已知sin(a-β)= 3,cosa sinB=1 ,则c0s(2a+2B)=() 6 1 1 A. B. C.- 9 9 D、7 9 【答案】B 1 sina cosβ-cosa sinβ=。 【详解】依题意，得 cosa sin B=I 3,所以sina cosB= 6 112 所以sin(a+β)=sina cosβ+cosa sinβ=。+三=， 263 1 所以cos(2o+2)=1-2sin2(a+B)=1-2× 故选B. 3 2.(2025·广东广州·一模)已知eossin(-B)-sincos(B-a）-=号，则sinB= 【将案】子 详解由cosasin(a-B)--sin@cos(B-a)=.得sin(B-aXosa-cosB-asina= 5 sin(B-a)cosa+cos(B-a)sina=- 3 、·所以sinB=sin[(B-a)+a]=- 故答案为：一 5 3.(2025·湖北十堰·三模)已知2 sinacosa=cos2B,cos2a=cos2 B+, 则 tana-B)）=() A.1 B.2 C.√2 0.2 【答案】A 【详解】因为2 i=cos2p,所以sin2a=cos2B=sim2B+) 因为cos2a=cos B+ 4 ,所以1+cos2a 1+cos 2 2 故cos2a=co 2B+2 所以2a=2B++2km(k∈Z), 即a-B-子+kx(kcZ),故anla-)=l 故选：A 4(2025·清江·三模)已知a,Be0引且清足inatanB=-2cos号则 1 tan(a+B)=2,则sin2B=— 【管案】子 【粉】因为a,9e(0引 ana+创=分所以a+Be(,x-Be气经 由sina tanp=2cos号得mas血B=1+oo, 即cosa+β)=-cosB=cos(π-)，所以a+B=π-B, 所以a加la+创-nB=-子得mB- 1 所以sin2B=2 sin B cosB= in'B+cosB+anB5·故答案为： 2sinβcosβ2tan阝_4 5 考点3三角恒等变换与解三角形、三角函数综合 1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos A sin 2B 1+sin A 1+cos2B (1)若C 2L,求B (2)求Q+62 c2 的最小值. 【答案】(1)B= (2)4V2-5 6 【详解】(1)因为C= 2 ,所以A=-B, 3 3 cos 一B 所以 cosA 3 2 COs B+3 1 sin B 1+sin 4 1+sin 1 1 -cos B- 2 2sin B 又，sin2B-2 sin B cos B sin B 1+cos2B 2cos2 B cos B 所以)cos2B+ 1 inco=sn8+ 1 sin B cos B--sin2 B, 2 2 2 所以sinB=2' 1 又B∈0,3 所以B= 6 (2)由(1)得cos(A+B)=sinB, 所以sin -+ =sinB,且0<A+B< 所以0<B<0-(+ 所以-(A+B)=B,解得A=工-2B, 2 由正弦定理得a+b=sin2A+sin2B C2 sin2C sin-2B+sinB sin2A+sin2B 2 1-cos2C 1-sin2B cos22B+sin2 B (2cos2B-1)2+1-cos2B cos2B cos2B -4cos B-5co+c2 -5 cos2B cos2B 22 4cos2 Bx 2 -5=4V2-5, cos2 B 当且仅当c0s2B=V2 时取等号， 所以Q+6 的最小值为4√2-5. 2.(2025·黑龙江大庆·三校)已知函数f1到=2inx-到cosr-25cos(经-小5。 (1)求∫(x的最小正周期及单调递减区间； (2)将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将f(x)的图象向右平移工个单位后， 12 再将纵坐标变为原来的；，最终得到y=gx)的图象，若x∈ _ππ 2'2 满足不等式 V2g(x-sin2x≤2m2-3m,求m的取值范围. 【答案】(1)π， +a 7π ,k eZ 12 2(u+网 【详解】1）f=2snlx-eosr-25cos(经-×小+5 =2sinxcosx+3(1-2sin2x)=sin2x+3cos2x, 所以-2如2x+引 所以)的周期为2红=元， 山2+经2r+骨≤2a+是ez特+骨s板+7径keZ, 2 3 12 12 所以f的单调递诚区闻为红+号红 7π ,k∈Z. 12 (2)将f川图象上所有点的横坐标变为原米的2倍，即可得到y=2sn+), 再将的图象向右平移个单位，得到y=2si如x+号22sin+4 12 再将纵坐标变为原来的)，即可得到g(x)=sinx+π 4 因为3x∈ -sin2x≤2m2-3m, 4 所以当e引时，m+}-m2x ππ ≤2m2-3m min y=√2sinx+ -sin 2x=sin x+cosx-2sin x cosx 4 =sinx+cosx+1-(sinx+cosx)2, 令t=sinr+cosx,x∈ 引，则=5sm+到[-l π 12.5 y=t+1-t2=-t- 2+所以当1=-1时，y=-+1+1取得最小值，最小值为-1 所以-1≤2m2-3m,解得m21或m≤2 故m的取值范围为UL+. 三、跟踪练习 1.(2025·宁夏银川·三模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之 间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则c0s2210°=() 15 25 35 0 tana m n 2 2p B. 1-p A.1+p c.1-g2 D. 1-m2 1+p2 1+g1 1+m 【答案】B 【详解】c0s2210°=c0s6×360°+50)=c0s50°=cos225°-sin225° -cos225°-sin225°=1-tan225°-1-p2 cos250+sin22501+am2501+月，故选：B. 2.(205·黑龙江哈尔滨·三发)已知a为锐角，os口+君}片则sn2a+引（) B.- 4 c.42 D.4V2 9 9 9 【答案】C 【解1因为a为角，即a0引则a+后e[）, 又m如+君片则a-低引me引}9 3 所以ma+=2sme+引ma引-2x29 、339 故选：C. 3.已知cos(a+β)=m,tana tanβ=2，则cos(a-β)=() A.-3m B、m C. D.3m 3 3 3.【答案】A 【详解】由cos(a+B)=m得cosa cosβ-sina sin阝=m①， 由tan d tan B=2得sina sin =2②，由①②得 cosa cosβ=-m cosa cosβ sina sin B=-2m 所以cos(a-β)=cosa cosβ+sina sin阝=-3m,故选A. 目2025·潮南岳阳·三模)已知a,B∈0吗，20g2,则tanctan2?p=（ A.2 B.1 C. 3 2 D. 【答案】B 3-sina=2得：-sina=1-2cos2B→sina=c0s2B, 【详解】由2-c0s2B 再两边平方得：sin2a=cos22B→1-cos2a=1-sin22B→cos2a=sin22B, 又因为，Be0所以cosa=sin2B, 则tandtan.2B= sinasin2B cos2Bsin2B-1 cosa cos 2B sin2B cos2B 故选：B. 5.已知&为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tana tan B=√2+1， 则sin(a+β)= 【答案】 22 3 【详解】由题意，tan(a+B)= tan a +tan B 4 =-2√2， 1-tana tan B 1-(2+1) 所以sina+B)=-2V2,故cosa+B)=-sina+2) cos(+β) 2√2 f代入cosa+B)+sim2a+B)=1可得sina+B)+sin'a+B)=l, 所以sin(a+B)=t22 3 元 2mπ<0<2mπ+ 因为，阝分别为第一象限角、第三象限角，所以 2 3π 2nm+π<β<2nm+ 2 其中m,n∈Z,两式相加得：2(m+n)π+π<a+B<2(m+n)π+2π， 记k=m+n,则k∈Z,且2kπ+π<a+B<2kπ+2π， 所以a+B在第三象限或y轴负半储或第四象限，放sinQ+)=-22 3· 6.(25-26高三上·四川内江·阶段练习)设函数fx)=sinx-+ 6 0<0<3,已知函数f(x)的图象关于点工，0成中心对称. 6 (1)求函数fx)解析式： (2)若u∈ 10 (i)求sin2a的值 (ii)求a+阝值. 【答案】①到=5sin2x-): 【详解】(1)f(x)=sin@xcos 元cos oxsin=-cOsr -2COs@x-COS@x 1 -sin ox- 6 6 2 3sinox-2 cosx=5snor-写} 后0代入得5m(管-引-0，做-号ez 解得0=6k+2,k∈Z,又0<0<3，故当k=0时，0=2满足要求， 所以-2-》： (2)(i) h题得/a+-2a+骨-引-na ,故sin2a=5 5 (ii)因为a [小所以2u2 π 因为sin2au= 1π7 >0,所以2a∈2 故ae42] cos2a =-v1-sin22a = 25 又m8-a-酒0，所B-a[后小 10 所以cos(B-a)=-V1-sin2(B-a)= 3V10 10 因为[原，引，所u+p=B-e+a[a刘 因为cos(a+B)=cos[(B-u)+2a] =osB-a]cas2a-sin(B-aln2a=号，所以u+B=7子