重难点专题01 相似三角形10种常见模型（专项训练）数学苏科版九年级下册

重难点专题01 相似三角形10种常见模型 重难点一 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 4．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 数学实践活动上，同学们通过自己的方法成功测量了学校旗杆的高度．他们对此产生了浓厚的兴趣，决定尝试测量学校篮球场某个路灯的高度．此时路灯已经点亮了校园的运动场． 【问题探究】 第一小组的一名的同学从路灯底端出发向前走一段距离停止．做好标记后，测量并记录，重复三次操作．示意图如图1．    （1）该测量模型中，若，，用含a，b的代数式表示路灯的高度______． 【拓展应用】 （2）另一组的同学想到另外一个方案，他们让两名身高同为的同学一起从路灯底端出发向前走一段距离，其中一名同学停下后，另一名同学继续前进，直到位于前一名同学的影子顶端才停止．他们画出的测量示意图如图2，测得第一名同学的影长为，第二名同学的影长为．你能否帮他们求出路灯的高度？    重难点二 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 6．（江苏省无锡金桥双语实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形可以证明：． (1)请你帮龙龙完成证明 (2)请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知分别是的中线和高线，若，，，求的值 ②如图4，在中，，平分交于点D，，垂足为点E．若，，点F在的延长线上，若与相似，求线段的长． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 重难点三 母子型相似 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 8．（21-22九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 10．（24-25九年级上·江苏·期末）已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为2，求的长． 11．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点F，经过点A，E，F的与相切于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 12．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 重难点四 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知． (1)求证：； (2)求这个正方形的边长． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在上，交于点E．设，，求矩形的面积． 15．（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 16．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，直角三角形木板，面积为． (1)直接写出该三角形木板的三边长 (2)小聪、小慧同学分别按图2、图3用该木板设计了一个正方形桌面，请说明哪个同学设计的正方形面积较大； (3)小智同学按图4用该木板设计一个长方形桌面，该桌面的面积能否为，若能求出该长方形桌面的长和宽，若不能，请说明理由． 17．（23-24九年级上·江苏·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 重难点五 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 20．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 21．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 22．（2025·内蒙古·模拟预测）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    24．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 重难点六 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 26．（2022·江苏淮安·二模）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 27．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，是线段上一动点，分别以、为边作等边．等边，连接、分别交、于、两点． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系； (3)若，当点在上运动时，是否存在一个位置使的长最大？若存在请求出此时的长以及的长．若不存在请说明理由． 28．（22-23九年级上·陕西西安·期中）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为　　． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【实际应用】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 重难点七 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 29．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 30．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 31．（2023·吉林·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 【理解】 （1）如图1，点A、、在上，的平分线交于点，连接、．则四边形是等补四边形． 请直接写出图中相等的边：______；互补的角：______． 【探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【运用】 （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，直接写出的长． 重难点八 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 32．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 33．（22-23八年级下·陕西·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金．   34．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 重难点九 十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 35．（2026九年级·贵州·专题练习）在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 36．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 37．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 38．（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 重难点十 阿氏圆模型 39．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 40．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 41．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 相似三角形10种常见模型 重难点一 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，，即得，，再根据可得，即得，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】树高 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即树高． 4．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）设，则，由相似三角形的性质得，代入数据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴． 5．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 数学实践活动上，同学们通过自己的方法成功测量了学校旗杆的高度．他们对此产生了浓厚的兴趣，决定尝试测量学校篮球场某个路灯的高度．此时路灯已经点亮了校园的运动场． 【问题探究】 第一小组的一名的同学从路灯底端出发向前走一段距离停止．做好标记后，测量并记录，重复三次操作．示意图如图1．    （1）该测量模型中，若，，用含a，b的代数式表示路灯的高度______． 【拓展应用】 （2）另一组的同学想到另外一个方案，他们让两名身高同为的同学一起从路灯底端出发向前走一段距离，其中一名同学停下后，另一名同学继续前进，直到位于前一名同学的影子顶端才停止．他们画出的测量示意图如图2，测得第一名同学的影长为，第二名同学的影长为．你能否帮他们求出路灯的高度？    【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，用代数式表示式． （1）由测量模型可知，，，根据相似三角形的性质，得出，进一步得出．再用字母表示出来即可． （2）根据（1）可知，，根据相似三角形的性质，得出，，由可知，即可求出，进一步求出即可． 【详解】解：（1）由测量模型可知：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）由（1）可知：，， ∴，， ∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ 故路灯的高度为：米. 重难点二 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 6．（江苏省无锡金桥双语实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形可以证明：． (1)请你帮龙龙完成证明 (2)请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知分别是的中线和高线，若，，，求的值 ②如图4，在中，，平分交于点D，，垂足为点E．若，，点F在的延长线上，若与相似，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值为1或4． 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①过点B作交的延长线于点F，证明，推出，，在中，由勾股定理得出方程求出的长，从而得出与的长，再将转化为即可得出结果； ②由，求出的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出，由，求出，再分和两种情况，由相似三角形的性质求出． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵是三角形的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点B作交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是与的高， ∴与都是直角三角形， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若， ∴，即， 解得； 若， ∴，即， 解得； 综上所述，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等面积法，相似三角形的存在性问题，本题的关键是根据题意分类讨论解题． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 重难点三 母子型相似 类型 母子相似模型 射影定理 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABC=∠ADB=90° 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 8．（21-22九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由，得到，则可求出，然后利用勾股定理计算出CD的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． （2）解：由（1）知， ，， ，解得或（舍去）， ， 所以的长为． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例得，将数值代入计算即可求出的长； 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 10．（24-25九年级上·江苏·期末）已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、正方形的性质、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是第一问通过角度关系证明直线与直径垂直判定切线，第二问构造辅助线利用勾股定理求半径，再通过相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）由正方形性质得，确定为直径；利用圆周角定理和已知角度关系推出，从而证明是切线； （2）连接，过O作，结合切线性质和矩形性质转化线段关系，设半径为r，用勾股定理列方程求出r，进而得、长度；通过证明，利用相似比求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径； ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 过O作于H， 则四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点F，经过点A，E，F的与相切于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分； （2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，进一步证明，得到，结合，得到，已知，即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 重难点四 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知． (1)求证：； (2)求这个正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形边长为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质及矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的对边平行即可证明； （2）设正方形的边长为，交于点M，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴； ∵正方形的边在上， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，交于点M，如图； ∵， ∴； ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 即正方形的边长为． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在上，交于点E．设，，求矩形的面积． 【答案】180 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 结合矩形性质证明，设，则，，利用矩形性质和相似三角形性质建立方程求出的值，进而得到，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 中，是高， 中，是高，且有， ， ，， 设，则，， ， 解得， ， 矩形的面积为． 15．（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)； (2)①105，90，75；②最多可以摆放40瓶葡萄酒. 【分析】（1）过A点作于D，交于E，设正方形的边长为x，根据 即可求出x的长，即正方形的边长. （2）①由等腰三角形的性质可得cm，由勾股定理可求得cm.设第1层、第2层、第3层的隔板长度分别为、、，由阅读理解的结论可分别列方程求解. ②设第n层隔板的长度为，列出比例式，求出与n的关系式，则可求出最多可摆多少层，每层隔板的长度及每层摆多少瓶，最后求出一共可摆多少瓶即可. 【详解】（1）    如图，作于D，交于E， 由阅读理解的结论得， 设正方形的边长为x，则 ， 解得. 故答案为： （2）    如图，作于D，           ①设第1层，第2层，第3层隔板的长度的分别为，则 ，解得. ，解得. ，解得 故答案为：105，90，75. ②第n层隔板的长度的分别为，则 ， 得， 因此得， ∴最多可摆7层， 第1层可摆（瓶）， 第2层可摆（瓶）， 第3层可摆（瓶）， 第4层可摆（瓶），     第5层可摆（瓶）， 第6层可摆（瓶）， 第7层可摆（瓶），     共（瓶）， ∴该展台最多可摆40瓶葡萄酒. 【点睛】本题主要考查了“相似三角形对应高的比等于相似比”，根据此比例式找出y与x之间的关系式是解题的关键. 16．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，直角三角形木板，面积为． (1)直接写出该三角形木板的三边长 (2)小聪、小慧同学分别按图2、图3用该木板设计了一个正方形桌面，请说明哪个同学设计的正方形面积较大； (3)小智同学按图4用该木板设计一个长方形桌面，该桌面的面积能否为，若能求出该长方形桌面的长和宽，若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)小聪设计的正方形面积较大，理由见解析； (3)该桌面的面积不能为，理由见解析． 【分析】（1）利用三角函数定义和勾股定理，结合三角形面积公式求三边； （2）分别设两个图中正方形边长，通过相似三角形列方程求边长，比较大小； （3）设长方形的长和宽，根据相似三角形列方程，结合面积判断是否存在． 【详解】（1）解：在中，，，设，． ∴ 由勾股定理得． 又∵ ，即， ， ， （）． ∴ ，，． （2）解：小聪设计的正方形面积较大，理由如下： 设图2中正方形的边长为，则． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即， ， 解得． 设图3中正方形的边长为，过作于，交于． ∵ ，， ∴ ，则． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即， ， ， ， ， ． ∵ ， ∴ 小聪设计的正方形面积较大． （3）解：该桌面的面积不能为，理由如下： 设，，过点作于，交于，则，长方形的面积为， ∴， ， ， 即， ， 化简得． ∵， ∴方程没有实数根即该桌面的面积不能为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·江苏·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1) (2)， (3)最大面积是，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）由矩形的性质得出，推出，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得， ． （2） 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即 ， 解得， ，． （3） 解：∵四边形是矩形， ， ∴， ∵是高， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，． 设，矩形的面积为， 则 ，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是； 此时，，． 答：最大面积是，，． 重难点五 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到角相等，进而判断三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到角相等，进而得到边相等，再根据勾股定理即可得到答案； （3）先判断三角形相似，再根据垂线段最短得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 又∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴要想让取得最小值，只需要让取得最小值即可， ∵点P是边上的点， ∴时，最小，由（2）的过程可知：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是合理的运用三角形的相似； 20．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即 ， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得 舍去，， ． 21．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 22．（2025·内蒙古·模拟预测）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， ∴， ， 即； （2）解：成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，为定值， ∴当有最大值时，有最小值是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：2； （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 重难点六 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1），证明见解析（2）①，；②（3） 【分析】（1）根据相似的性质，得到，进而得到，利用两边对应成比例，夹角相等，得到即可； （2）①求出，中点推出，延长与相交于点，与相交于点，证明再证明，得到，得到；②证明求出的长，中位线定理求出的长； （3）过点作，过点作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，证明求出的长，根据三角形的三边关系求出的最小值即可． 【详解】解：（1），证明如下： ， 又，， ∴ ． （2）①如图，在中，， ， ∵D、E， M分别是中点， ∴， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ，， ∴， 又， ， ， ， ， ，即：． 故答案为：；． ②如图，连接， ，， ∴， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； （3）如图，过点作，过点作，连接， ，， ， 又 ， ， ， ， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 26．（2022·江苏淮安·二模）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 【答案】(1)，， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①过作交于，连接，如图，由证明，得出，，证明，得出，即可得出结果；②连接，由勾股定理求出 ，利用三角形内角和定理证明，推出，进而证明，即可求出； （3）证明为等边三角形，就有，由条件可以得出，设，就可以用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过作交于，连接，如图， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②连接，交于H， ∵为正方形的对角线， ∴，，， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， 根据对顶角的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵和为同侧的两个等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则有． ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 27．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，是线段上一动点，分别以、为边作等边．等边，连接、分别交、于、两点． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系； (3)若，当点在上运动时，是否存在一个位置使的长最大？若存在请求出此时的长以及的长．若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明详见解析； (2)； (3)存在时，取最大值． 【分析】（1）结合等边三角形的性质判定后，根据全等三角形性质即可证明； （2）证明后，利用全等三角形证明是等边三角形后即可得； （3）设，，平行证相似后，利用相似三角形性质得出二次函数解析式，根据二次函数性质即可得解． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 和中， ， ， ． （2）解：，证明如下： 是线段上的动点， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：存在一个位置使的长最大， 设，， 则， ， ， ， 和是等边三角形， ，， ， ， 整理可得， 即， 根据二次函数性质可得，当即时，即取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数最值问题 ，解题关键是利用相似三角形性质列出二次函数解析式以便根据二次函数性质求解． 28．（22-23九年级上·陕西西安·期中）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为　　． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【实际应用】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 【答案】（1）；（2）（1）中的结论改变，，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到所需的数量关系； （2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到所需的数量关系； （3）如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到三者间的数量关系． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论改变，； 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接 ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，是的中点， ∴，， ∴， 如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 重难点七 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 29．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 30．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可得，，再证明，，可以利用定理证明，进而得到； （2）依然成立．如图2，过点作于，作于，连接，则，由于，点为中点，根据三角形的性质三线合一得到平分，于是得到，在四边形中，，得到，又由于与互补，证得，推出，即可得到结论； （3）结论．如图3，过点作于，作于，连接同（2）可证，通过，得到．由于点为的中点，得到，列等积式即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由如下：连接，如图1所示:    是等腰三角形， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：依然成立． 证明如下：过点作于，作于，连接，如图2所示：    ， ，点为中点， 平分， ， 在四边形中，， ， 又与互补， ， ， 在与中， ， ， ； （3）解：． 证明如下：过点作于，作于，连接，如图3所示：    同（2）可证， 又， ， ． 点为边的中点， ， ， ， 又 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 31．（2023·吉林·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 【理解】 （1）如图1，点A、、在上，的平分线交于点，连接、．则四边形是等补四边形． 请直接写出图中相等的边：______；互补的角：______． 【探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【运用】 （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【分析】连接，可推出，，，，从而，根据四边形是的内接四边形，可得出，； 连接，可推出四边形内接于圆，，，，从而，从而平分； 连接，可推出，进而得出∽，从而，进而得出，从而求得． 【详解】解：如图， 连接， 平分， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ，， 故答案为：，原图中，； 如图，连接， 平分，理由如下： 四边形是等补四边形， 四边形内接于圆， ， ， ，， ， 平分； 如图，连接， 由知：四边形内接于圆，平分， ，， 平分， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ，舍去， ． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 重难点八 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 32．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 33．（22-23八年级下·陕西·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）元 【分析】（1）由于与可以看作绕点A旋转的关系，根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法； （2）先证明，得到，，结合，易知，再证明即可得到； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K，则， ，，利用F为中点，求出和，从而求出，再证明，得到，继而求出，最后用三角形面积公式求的面积和所需资金． 【详解】解：（1）根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法：延长到点G，使，连接； 故答案是：； （2）∵四边形为正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K    ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵点H是的中点，点为边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴需投入的资金为：(元) 答：该公园种植郁金香需要投入元资金 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形和正确作出辅助线． 34．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 重难点九 十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 35．（2026九年级·贵州·专题练习）在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）通过证明三角形全等，得出矩形的邻边相等，从而证明其为正方形； （2）证明三角形相似，利用相似比求出，再结合勾股定理求出； （3）根据正方形性质和角度关系，分当点E在线段BC上时，当点E在CB的延长线上时，两种情况探究线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如解图1， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：易知，， ， ， ， （负值已舍去）． 在中，由勾股定理得， ． ； （3）解：如解图2，当点E在线段BC上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 如解图3，当点E在CB的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查矩形、正方形的判定与性质，三角形全等与相似的应用，掌握全等、相似三角形的判定方法及正方形的性质是解题的关键 36．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】初探猜想：，理由见解析；类比探究：；知识迁移：；拓展应用： 【分析】初探猜想：可证得，再由全等三角形的性质可得； 类比探究：作，交于Z，作，交于X，可证得，从而，进而得出结果； 知识迁移：作，交的延长线于点V，作直线点W，由（2）知：，进一步得出结果； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：初探猜想：，理由如下： 如图1，设交于点O，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 类比探究：在矩形中，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，如图2，    作，交于Z，作，交于X， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 知识迁移：如图3，    作，交的延长线于点V，作直线于点W， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴由（2）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，其长度为． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段． 37．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 38．（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 重难点十 阿氏圆模型 39．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），证明见解析 ； （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据已知条件易知，且，从而证得； 如图，连接，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而得到，将求最小值问题通过线段间的等量关系转化为求最小值，，在中，利用勾股定理求解即可得解； （2）先作线段的三等分点，在点右端截取，作的线段垂直平分线与相交于点，以点为圆心，长为半径作，则即为阿氏圆，圆上任意一点均满足； （3）作，交的延长线于点． 根据平分，结合 ， 进行角的等量代换，易证， 从而得到， 根据， 可得，从而得到；设，， 过作于，根据勾股定理可得 ，从而用依次可表示出、的长，进而表示出的面积，结合二次函数的最值情况，可求得面积的最大值． 【详解】解：（1）， 证明：，， ， 又， ； 如图，连接， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即， 故的最小值为； （2）作阿氏圆如图所示： （3）解：面积的最大值为， 理由如下： ， ，， 作，交的延长线于点． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，， 过作于， ， ， 即， ， ， 的面积为， 当时，即时，面积有最大值，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，线段和最值问题，三角形的面积最值问题，二次函数的最值问题，尺规作图作阿氏圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 40．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 41．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $