13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册-

该初中数学课件聚焦“三角形内角和定理的证明”，通过三类三角形对话导入引发认知冲突，结合拼图探究引导学生从直观感知到逻辑推理，搭建“操作-猜想-证明”的学习支架，衔接平行线性质与平角定义。 其亮点在于渗透转化思想，通过多种证法（作辅助线构造平角或同旁内角）培养推理意识，结合三岛视角、滑翔伞等实际问题发展几何直观与模型意识。典例与分层习题助力学生提升逻辑推理与应用能力，教师可依托结构化资源优化教学流程。

2025年秋季 数学 人教版 八年级上册 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学习目标 学习重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形 内角和等于180°. 学习难点：会运用三角形内角和定理进行计算. 学习重难点 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 我的形状最大，那我的内角和最大. 我的形状最小，那我的内角和最小. 导入新课 5 www.czsx.com.cn 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 三角形三个内角的和等于180°． 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. A B C 三角形内角和定理 几何语言： 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？ A B C B A 图2 A B C l 1 2 3 4 5 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 证明：延长BC，过点C作直线l，使得l∥AB. ∵l∥BC， ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）. ∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）. ∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）. ∵∠3，∠4，∠5组成平角， ∴∠3+∠4+ ∠5=180°（平角定义）. A B C l 1 2 3 4 5 证法二 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 以上的证明思路为， 依据平角定义，得到180°； 利用平行线的性质，转移角 你受到了什么启发？你还能用这个思路的其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m 图6 图7 图8 添加平行线 （辅助线） 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 13 （备用图2） A B C 依据平角定义，得到180°； 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 两直线平行，同旁内角互补． F 1 4 2 3 D E A B C （备用图1） 思路②的方案如何添加辅助线？ 利用平行线的性质，转移角 添加平行线（辅助线） l 2 1 用下列方法证明三角形内角和定理. 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 A B C l 【证法二】 A B C l 【证法三】 A B C F D E 【证法四】 A B C l 【证法一】 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 辅助线 依据平角定义，得到180°； 两直线平行，同旁内角互补． 利用平行线的性质，转移角 添加平行线 （辅助线） 思路 （转化法） 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 解：由∠BAC ＝ 40°, AD是△ ABC 的角平分线，得 ∠BAD ＝ ∠BAC ＝ 20°. 如图，在△ABC 中， ∠BAC ＝40°, ∠B ＝75°，AD 是△ABC的角平分线．求∠ADB 的度数． 例1 在△ABD中， ∠ADB ＝180°－∠B－∠BAD ＝180° － 75°－ 20° ＝85°. A C B D 典例分析 三角形的内角和定理的证明 一 北 北 C A B D E 下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 例2　 80° 40° 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB是△ABC的内角.如果能求出∠ABC，就能求∠ACB. ? ? ？ 50° ？ 典例分析 三角形的内角和定理的证明 一 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD ＝ 80°－ 50° ＝ 30°. 由AD∥BE，得 ∠BAD＋∠ABE ＝ 180°. 在△ABC中， ∠ACB ＝ 180°－∠ABC －∠CAB ＝ 180°－60°－30°＝ 90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 所以∠ABE ＝ 180°－∠BAD ＝ 180°－80°＝ 100°， ∠ABC ＝ ∠ABE －∠EBC ＝ 100° － 40°＝ 60°. 你还能想出其他解法吗？ 典例分析 三角形的内角和定理的证明 一 C A B D E 1 2 【添加辅助线】 解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE. ∠1 ＝ ∠3 ，∠2 ＝ ∠4 ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACB ＝ ∠1 ＋∠2 ＝ ∠3 ＋∠4 （等量代换） ＝ 50°＋ 40°＝ 90° ∠CAB ＝∠BAD － ∠3 ＝80 °－50 °＝30 °. 50° 40° 80° ∠ABC ＝ 180°－∠ACB －∠CAB ＝ 180°－90°－30°＝ 60°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. F 3 4 典例分析 三角形的内角和定理的证明 一 1.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°，求∠C的度数. 解：连接AC， ∵ 四边形ABCD左右对称 ∴ ∠CAB=∠BAD=75° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠CAB-∠B =180°-75°-40°=65° ∴ ∠BCD=2∠ACB=130° 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 2.如图，BD∥EF ,AE与BD交于C,∠B=36°,∠A=72°,∠DEF=∠CEF, 判断AB与DE是否平行，并说明理由． 解：AB与DE平行，理由如下： ∵ ∠B=36°,∠A=72°, ∴∠ACB=∠DCE-180°-36°-72°=72° 又∵ BD∥EF ， ∴ ∠DCE+∠CEF=180°， ∴∠CEF=108° 又∵ ∠DEF=∠CEF ， ∴∠CED= ∠CEF=72°=∠A ∴AB∥DE． 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 3.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 4.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 6.你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ． 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 7.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一 种，完成证明. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 已知：如图11.2-7（a）所示的.求证： . 方法一 证明：如图11.2-7（b），过点 作 . 方法二 证明：如图11.2-7（c），过点 作 . 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 26 图11.2-7 [答案] 方法一：， ， ， 方法二：， ， ， 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 27 图11.2-8 8.如图11.2-8，线段，相交于点，连接， . 请你解决以下问题： （1）在图11.2-8中，请写出，，， 之间的数量关系： ____________________. 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 28 图11.2-9 （2）如图11.2-9，利用（1）中结论，求 的度数. 答图1 [答案] 如答图1所示，连接 ，则 ， ， 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 29 9.如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线． (1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°， 则∠BED的度数是　 　；  (2)探究∠BED与∠C的数量关系， 并证明你的结论． 　55°　 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 (2)结论：∠BED＝90°－∠C，证明如下： ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠BAC， ∴∠BEA＝180°－(∠ABE＋∠BAE) ＝180°－ ∠C， ∴∠BED＝180°－∠BEA＝180°－ ∠C． 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 10.（梧州中考）在中， ，，则 等于 ( ) . A A. B. C. D. 提示：在中， ， 即 .解得 . 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 32 图 11.如图，轮船从 处以的速度沿 南偏东方向匀速航行.在 处观测灯塔，发现灯塔位于南偏东 方向上. 轮船航行到达处，在处观测灯塔 ，发现灯 塔位于北偏东方向上.求 的度数. 解：， . ， 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 33 图3 . ， . . 课后习题 三角形的内角和定理的证明 一 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 $