28.1锐角三角函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.1锐角三角函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、 锐角∠A的正弦 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 sin A==， 题型1正弦的概念辨析 例1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、求角的正切值 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【变式1-2】．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 【变式1-3】．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、正弦的概念辨析 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 题型2求角的正弦值 例2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，坐标与图形，过点A作轴于B，则，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及推论、正弦的定义． 连接，根据圆周角定理及推论得到，根据正弦的定义解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 的半径为3，， ∴, ， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，求的正弦值． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及锐角三角函数等知识，证明三角形全等是关键；过点D作，交于点E，交于点F，则与都垂直，由正方形的性质可证明，得，由勾股定理求得，再由正弦函数定义即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点E，交于点F， ∵，， ∴和的夹角都是， 即与都垂直， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式2-3】．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 题型3已知正弦值求边长 例3．已知，如图，直线是三条等距的平行线，将一块含角的直角三角板如图放置，使直角顶点C落在上，另两个顶点A与B刚好分别落在与上,与交于点D (1)求证：； (2)若，求直线之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线间的垂线段，利用等距平行线的条件结合定理与性质推导结论，计算时抓住特殊三角形的边角关系求解距离． （1）过直角顶点C作l₂的垂线，分别交于E、F；由等距得，再根据平行线分线段成比例定理，得出与的比值为1，从而证明； （2）由直角三角形性质（直角三角形斜边中线等于斜边一半），结合、得；又（直角三角形两锐角互余，，判定为等边三角形；最后在中，利用（等边三角形高平分内角）和正弦函数，结合求出的长，即平行线间的距离． 【详解】（1）过点C作的垂线分别交与，于点E、F，如图， ，且， ， ； （2），，， ∴，即：是等边三角形， 即：之间的距离为． 【变式3-1】．如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而由圆周角定理可得，即得，即可求证； （）过点作于点，由等腰三角形的性质得，由锐角三角函数可设，，即得，即得到，得到，即得，，再利用求出即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 设，，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， 由（）知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】．在矩形ABCD中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为 ．（使用备用图分析） 【答案】(1)见解析 (2)或15 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作弧交于点E，则．再作的垂直平分线，交于点F； （2）根据，设，则，分①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图， （2）解：①当点E在线段上时， 连接， ∵四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， 即的半径为； ②当点E在线段延长线上时， ∵四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， 即的半径为15． 故答案为：或15． 【变式3-3】．甲、乙、丙三人在同一水平地面上放风筝，三人放出的风筝线的长度分别为和40m，线与地平面所成的角分别为和．假设风筝线是拉直的，谁放的风筝最高（甲、乙、丙三人的身高忽略不计）？ 【答案】乙放的风箏最高. 【分析】本题主要考查锐角三角函数在解直角三角形中的应用，解决问题的关键是熟练掌握锐角三角函数的求解． 易得风筝线与所放风筝距离地面的高度为直角三角形的斜边和相应度数所对的对边，利用相应度数的正弦值可得所放风筝的高度，比较即可． 【详解】解：甲：； 乙：； 丙：． ， ∴乙放的风箏最高． 知识点2 、 锐角∠A的余弦 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， cos A==， 题型4余弦的概念辨析 例4．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【变式4-1】．已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题可通过分析的几何意义，结合余弦函数（）的图象，判断过原点的直线与函数图象的交点个数，进而确定的可能取值． 【详解】解：设得， ∴点再直线上，如图， 当时，无意义． 当，即时，直线与的交点为, ,，此时． 当直线经过时，，此时直线与有个交点，如图， 当直线经过时，，此时直线与有个交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象交点问题，关键在于理解的几何意义，通过分析直线与的交点个数来确定的取值． 【变式4-2】．如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质以及旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 通过矩形的边长关系以及旋转后线段的位置关系，利用三角函数来求解角度． 【详解】解：，．矩形绕点逆时针旋转至矩形， ，． 在中，，， 根据余弦函数的定义， 将，代入可得 ． 是锐角，且， ． ，， ，即 ． 故选：B． 【变式4-3】．如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，余弦的定义，证明，，推出，再根据为定值，可得，为定值，再根据是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 题型5求角的余弦值 例5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、余弦的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得、．利用勾股定理可求出，最后根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式5-1】．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 【变式5-2】．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 【变式5-3】．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴，， 在中， ∴， ∴， 设，则 在中，∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型6已知余弦求边长 例6．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 【变式6-1】．在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 【变式6-2】．在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 【变式6-3】．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 知识点3 、 锐角∠A的正切 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 tan A==． sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数． 题型7正切的概念辨析 例7．如图，在矩形中，，点E在对角线上，连接，作，垂足为E，直线交线段于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】要想求出的值，如图，连接，取的中点，根据四边形对角互补，作出它的外接圆，再根据同弧所对的圆周角的相等，得到，根据三角函数的定义即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵四边形是矩形，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴四点在以为圆心的圆上， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了四点共圆的性质，三角函数等知识点，解决此题的关键是运用转化思想把线段之比转化成直角三角形里的两边之比． 【变式7-1】．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【答案】2 【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 小正方形面积是，则大正方形的面积是，则小正方形边长是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数即可解答． 【详解】解：设小正方形面积是，则大正方形的面积是， ∴小正方形边长是， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴的余切值， 故答案为：2． 【变式7-2】．在直角坐标系中，含的如图放置，，，的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义、反比例函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过A作轴，过B作轴，则，设，则；根据正切的定义可得，再证明可得，进而求得、，即，最后求得解析式即可． 【详解】解：如图：过A作轴于D，过B作轴于E，则， 设，则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：，， ∴点B的坐标为， ∵， ∴过第四象限内点B的反比例函数表达式是． 故答案为：． 【变式7-3】6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________. 答案： 解析：如图， 有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为a， ，，， ， ， . 故答案为：. 题型8求角的正切值 例8．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误；     B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确； D．，故此选项错误．     故选：C． 【变式8-1】．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求，再根据正切定义求即可．熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ 由勾股定理，， ． 故选：A． 【变式8-2】．如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数．根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】．如图，已知 中，，， 于点 ，点 是 的重心，将 绕着重心 旋转，得到，且点 在直线 上，连接 ，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形重心、等腰三角形的性质、旋转的性质解直角三角形，解题的关键是正确理解三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．因为重心点在上，且，设，则，，根据可得：，利用勾股定理可得，将 绕着重心逆时针旋转，可得：；将 绕着重心顺时针旋转，可得：． 【详解】解：如下图所示，将 绕着重心逆时针旋转，得到， ，， ， 重心点在上，且， 设，则，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，， ， ，且点在上， ， 在中，； 如下图所示，将 绕着重心顺时针旋转，得到， ，， ，， 在中，； 综上所述，或． 故答案为：或． 题型9已知正切值求边长 例9．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 【变式9-1】．如图，已知中，，求边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-2】．如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质，熟知锐角三角函数的定义． （1）由可得，从而得到，再根据即可求证； （2）由可得，设，，由可得，由勾股定理可得，得到，由（1）可得，即，再求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中，，， 则， 设，， ∵， ∴， 由勾股定理可得， 则， 由（1）可得，即， 由题意可得， ∴， 则． 【变式9-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解：， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 知识点4、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。 2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。 注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中． (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 题型10已知角度比较三角函数值大小 例10．若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式10-1】． （选填“>”或“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数值大小的比较，（1）正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；  （2）余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；  （3）正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的减小而减小，， ， 故答案为：． 【变式10-2】．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【变式10-3】．已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用三角函数的性质，分别分析在时，的正弦值、余弦值和正切值的大小关系. 【详解】解：．理由如下： 又 ∴的值最大； 又 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键是理解当与互余时，. 题型11 特殊三角形的三角函数值 例11．如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式11-1】．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数的计算．分别计算各项，将各项结果代入原式后再合并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式11-3】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例12．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【变式12-1】．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 【变式12-2】．如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 【变式12-3】．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”证明即可； （2）根据勾股定理和垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”解答即可． 【详解】（1）证明：E为的中点， ， 弦于点E， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：在中，，， ， 是的直径，弦于点E， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的判定，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理． 题型13 特殊三角函数值的混合运算 例13．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）先分别计算负整数指数幂、零指数幂、三角函数、绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-1】．计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式的性质，分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算各项，即可求解． 【详解】解：原式 【变式13-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式13-3】．已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 题型14根据三角函数值判断角的取值范围 例14．如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先证明，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论； （2）证明即可得解． （3）作于点H，如图1，利用勾股定理计算出，利用△EFG∽△AEG得到，再证明得到，所以，则，，，x， ，接着•利用相似比表示出EH=，AH=，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用可确定x的范围； 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）答： 证明：作于点H． 在中，，, ． 在中，，． ， ． ， （3）， , ． ． ， ． ． ， ． ． ． 在中，，． ． 在中，，． ． ． ． ． ． ． x的取值范围． 【变式14-1】．如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    【答案】(1) y=x(0＜x＜10 且x≠5);(2) 存在符合条件的P点，且x=2 .5或3.2 【详解】试题分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PH⊥BC于H，易证得△BPH∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式； （2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论； 一、D在BC上， ①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值； 二、D在BC延长线上时； 由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似； 综合两种情况，可得出符合条件的x的值． 试题解析：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；    Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10． ∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10） 但是x不能等于5． ∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤或5＜x≤10， 易知△BPH∽△BAC，得：，PH=x； ∴y=×4×x=x（0≤x≤或5＜x≤10）； （2）当D在BC上时， ①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2； PB=x，AB=10，MH=2，BC=8， 此时△PBH∽△BCA， ∴，得：，解得x＝； ②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：，即DP•BA=DM•BC； ∴10x=4×8，解得x=； 当D在BC延长线上时， 由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况； 当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM， ∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB， ∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B； 由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM； 所以△PDM和△ACB不可能相似；    综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2． 【方法点睛】主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解． 【变式14-2】．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【变式14-3】．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 题型15利用同角三角函数关系求值 例15．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式15-1】．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式15-2】．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【变式15-3】．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 例16．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 【变式16-1】．如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了圆的综合知识，涉及了切线的证明，全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握圆的相关结论是解题关键． （1）连接，根据平分，得；根据，得；推出，；即可求证； （2）由题意得，；推出，即可求解； （3）作，证，得；再证，得，即可解答； 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 即， 解得：； ∴半径的长为； （3）证明：作，如图所示： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 【变式16-2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式 (2)当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为 (3)当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，图形的旋转； （1）根据题意得到点的坐标，设直线的解析式为；把点的坐标代入解析式计算即可；求出点的坐标为；设抛物线的解析式为；把点的坐标代入解析式，解得即可求出； （2）根据勾股定理求出，当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出，得到，得到，当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出；得到；得到；即可求出结果； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为；得到，得到；根据三角函数得到，；求出，，得到；结合勾股定理表示出，结合面积公式得到，得到当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；根据，；即可求出结果． 【详解】（1）解：∵矩形的边， 且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形； ∴点的坐标分别为；    设直线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：    解得： ∴直线的解析式为；           ∵点是直线与轴的交点，令； 解得：； ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于两点； ∴设抛物线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：； 解得：； ∴抛物线的解析式为； 即； （2）解：∵点的坐标为； ∴； ∴，； ∴在中，， 在中，；   当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                       ∴； ∴；                               当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                      ∴； ∴；                            ∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为； （3）解：由题意得：，其中； 过点分别作的垂线，垂足分别为； ∵； ∴； ∴； ∴， ； ∴，； ∴，； ∴；        ∴在中，； ∴；          ∵，且； ∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9； 此时，，；即点坐标为． ∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为 【变式16-3】．如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即可证明是的切线； （2）连接，易得，根据直径所对的圆周角为直角，得到，勾股定理求出的长，再结合三角函数求出的长，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 即， ， 是直径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角函数，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且 ，α 是锐角， ∴， 故选：B． 2．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 3．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形中，锐角的正切值等于对边比邻边． 由锐角的正切的定义，计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，， ， 故选：B． 6．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解． 【详解】解：过作于，过作于，    由已知，，， ∴，， ∴设，则， ∴在中，， ， 解得， ∴，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 11．在中，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    13．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】； 【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，再根据锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：对于图1中的直角三角形，由勾股定理，得， ； 对于图2中的直角三角形，由勾股定理，得， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义是解题关键． 15．求锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的锐角三角函数值． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴． 16．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数的运算， （1）根据，再计算即可； （2）根据，再计算. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了旋转，勾股定理，和三角函数的知识．根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质可得，然后勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ． 18．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 19．如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作，使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点F． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) (3) 【分析】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解； （2）由是直径得出，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，根据和，得到，代入比例式可得； （3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：直线与相切， 理由如下：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：∵是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． （3）解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴, ， ∴， ∵， ∴． 20．如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点． (1)求证； (2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明． ①；②；③． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定与性质，熟记相关定理是解题关键． （1）证推出，得四边形是平行四边形，即可求证； （2）由题意得四边形是平行四边形；若选②③，根据，得，推出四边形是菱形；根据，，推出是等腰直角三角形，即可求证；若选①②：先证得，得到，进而可推出是等腰直角三角形，即可求证；若选①③：先证，得到四边形是矩形，再通过线段之间的关系和三角函数定义得到为直角三角形，且，进而，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵点为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； （2）解：由（1）可知：， 若为的中点，为的中点， 则， ∴四边形是平行四边形； 若选②③： ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∴四边形是正方形； 若选①②： ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵为的中点， ∴， ∴四边形是正方形； 若选①③； ∵，， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据三角函数定义，∴为直角三角形，且， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.1锐角三角函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、 锐角∠A的正弦 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 sin A==， 题型1正弦的概念辨析 例1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 题型2求角的正弦值 例2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是 ． 【变式2-1】．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【变式2-2】．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，求的正弦值． 【变式2-3】．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 题型3已知正弦值求边长 例3．已知，如图，直线是三条等距的平行线，将一块含角的直角三角板如图放置，使直角顶点C落在上，另两个顶点A与B刚好分别落在与上,与交于点D (1)求证：； (2)若，求直线之间的距离． 【变式3-1】．如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式3-2】．在矩形ABCD中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为 ．（使用备用图分析） 【变式3-3】．甲、乙、丙三人在同一水平地面上放风筝，三人放出的风筝线的长度分别为和40m，线与地平面所成的角分别为和．假设风筝线是拉直的，谁放的风筝最高（甲、乙、丙三人的身高忽略不计）？ 知识点2 、 锐角∠A的余弦 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， cos A==， 题型4余弦的概念辨析 例4．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】．已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式4-2】．如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 题型5求角的余弦值 例5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-2】．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式5-3】．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值是 ． 题型6已知余弦求边长 例6．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】．在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】．在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 【变式6-3】．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 知识点3 、 锐角∠A的正切 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 tan A==． sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数． 题型7正切的概念辨析 例7．如图，在矩形中，，点E在对角线上，连接，作，垂足为E，直线交线段于点F，则 ． 【变式7-1】．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【变式7-2】．在直角坐标系中，含的如图放置，，，的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 ． 【变式7-3】6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________. 题型8求角的正切值 例8．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么 ． 【变式8-3】．如图，已知 中，，， 于点 ，点 是 的重心，将 绕着重心 旋转，得到，且点 在直线 上，连接 ，那么 ． 题型9已知正切值求边长 例9．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式9-1】．如图，已知中，，求边的长． 【变式9-2】．如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【变式9-3】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 知识点4、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。 2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。 注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中． (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 题型10已知角度比较三角函数值大小 例10．若，，，则由小到大的顺序为 ． 【变式10-1】． （选填“>”或“=”或“<”）． 【变式10-2】．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】．已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 题型11 特殊三角形的三角函数值 例11．如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【变式11-1】．计算下列各式： (1)； (2)． 【变式11-2】．计算： (1)； (2)． 【变式11-3】．计算：． 题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例12．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【变式12-1】．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【变式12-2】．如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【变式12-3】．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 题型13 特殊三角函数值的混合运算 例13．计算 (1)； (2)． 【变式13-1】．计算： 【变式13-2】．计算： (1)； (2)． 【变式13-3】．已知是锐角，且． 求的值． 题型14根据三角函数值判断角的取值范围 例14．如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【变式14-1】．如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为AB上的一个动点（不可以与A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，△BPM的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由    【变式14-2】．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【变式14-3】．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 题型15利用同角三角函数关系求值 例15．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【变式15-1】．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式15-2】．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【变式15-3】．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 例16．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【变式16-1】．如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 【变式16-2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【变式16-3】．如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 3．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（    ） A． B． C．6 D． ． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 10．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 11．在中，，，则的度数是 ． 12．在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． ， 13．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 15．求锐角： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2). 17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，求的值． 18．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 19．如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作，使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点F． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 20．如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点． (1)求证； (2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明． ①；②；③． 学科网（北京）股份有限公司 $