专题08 数与形（期末真题汇编）六年级数学期末上学期（山东专用•人教版）

专题08 数与形 一、选择题 1．（22-23六年级上·山东临沂·期末）仔细分析，摆第5个图形需要用（    ）根小棒。              A．20 B．30 C．26 【答案】C 【分析】通过观察发现：每增加1个正六边形，就增加5根小棒。即第1个图形需要用1＋5＝6（根）小棒；第2个图形需要用1＋5×2＝11（根）；第3个图形需要用1＋5×3＝16（根）小棒；……由此发现规律：第n个图形需要用（1＋5n）根小棒。 【详解】1＋5×5 ＝1＋25 ＝26（根） 所以摆第5个图形需要用26根小棒。 故答案为：C 【点睛】解答数形结合类规律探索问题时，要仔细观察数与形之间的关系，先找到数与形之间隐含的数学规律，再利用规律进行解答即可。 2．（22-23六年级上·山东济南·期末）与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把整个式子看作（1＋3＋5＋7＋9）与（5＋3＋1）的和，从1开始，连续n个奇数的和等于奇数的个数的平方，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝ ＝25＋9 ＝34 所以，1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1＝ 故答案为：D 【点睛】掌握求从1开始连续奇数和的计算方法是解答题目的关键。 3．（21-22六年级上·山东临沂·期末）如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（    ）根小棒。 A．41 B．51 C．61 【答案】B 【分析】看图，摆1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，摆2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，摆3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。 【详解】10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 所以，第10个图形需要51根小棒。 故答案为：B 【点睛】本题考查了数与形，有一定归纳总结能力是解题的关键。 4．（20-21六年级上·山东临沂·期末）仔细分析，第7个图形一共有（    ）个小三角形。 A．25 B．49 C．64 【答案】B 【分析】由图可知，第1个图形有1行共1个小三角形； 第2个图形有2行共（1＋3）个小三角形； 第3个图形有3行共（1＋3＋5）个小三角形； 第4个图形有4行共（1＋3＋5＋7）个小三角形； 第5个图形有5行共（1＋3＋5＋7＋9）个小三角形； 第6个图形有6行共（1＋3＋5＋7＋9＋11）个小三角形； 第7个图形有7行共（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）个小三角形；据此解答。 【详解】分析可知，第7个图形小三角形的个数为：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72＝49 故答案为：B 【点睛】从1开始n个连续奇数相加的和等于n2。 5．（20-21六年级上·山东临沂·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用（    ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 【答案】B 【分析】根据上图中已知的规律：图形边长×边数，继续排列出第8个图形中一共有8×18根小棒。 【详解】图1有1×4 图2有2×6 图3有3×8 图4有4×10 图5有5×12 图6有6×14 图7有7×16 图8有8×18＝144（根） 故选：B 【点睛】此题考查的是数形结合，关键是找出规律，再用规律解决问题。 6．（20-21六年级上·山东菏泽·期末）观察下面点阵图找规律，第8个点阵图中有（    ）个点。 A．27 B．25 C．28 D．26 【答案】A 【分析】第一个图：1＋2＋3＝6，第二个图：2＋3＋4＝9；第三个图：3＋4＋5＝12…第n个图就是：n＋（n＋1）＋（n＋2）由此求解。 【详解】由分析可知： 第8个点阵图中的点数是： 8＋9＋10 ＝17＋10 ＝27（个） 故选：A 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 7．（20-21六年级上·山东临沂·期末）拼一个三角形用3根小棒，想一想，第8个图形需要用（    ）根小棒。 A．24 B．17 C．20 【答案】B 【分析】摆一个三角形需要3根小棒，摆两个三角形需要5根小棒，摆三个三角形需要7根小棒，每增加一个三角形就增加2根小棒，则知摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒，据此即可解答问题。 【详解】由分析可知： 第8个图形需要的小棒数：2×8＋1 ＝16＋1 ＝17（根） 故选：B 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在考试中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 8．（20-21六年级上·山东临沂·期末）用灰、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 第1个         第2个             第3个 A．10 B．40 C．42 D．60 【答案】C 【分析】观察图形发现，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖，根据这个规律，可确定第n个图案中有白色地砖的数量。 【详解】结合图形，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖，根据这个规律，可确定第n个图案中有白色地砖：4n＋2块， 第10个图案中有白色瓷砖： 4×10＋2 ＝40＋2 ＝42（块） 故选：C 【点睛】本题考查的是图形的变化类问题，解题关键是图形结合，发现规律。 二、填空题 9．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 【答案】 2024 2023 【分析】 观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，如图，第2024行的倒数第2个数字上方右侧的数是1，据此确定第2024行的倒数第2个数字。 【详解】2024－1＝2023 仔细观察规律，从上到下，第2024行有2024个数字，倒数第2个数字是2023。 10．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）活动课上，同学们合作用白色和灰色的圆片按照下面的方法摆图形。照这样摆下去，第6个图形中，一共有( )个圆片；当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有( )个。 【答案】 36 56 【分析】通过观察图可知： 第1个图形：一共有（1×1）个圆片，有0个灰色圆片； 第2个图形：一共有（2×2）个圆片，有2个灰色圆片； 第3个图形：一共有（3×3）个圆片，有3个灰色圆片； 第4个图形：一共有（4×4）个圆片，有4个灰色圆片。 由此可以得出规律：第n个图形一共有（n×n）个圆片；从第二个图形开始，第几个图形就对应有几个灰色圆片，且每个图形的白色圆片个数等于一共有的圆片个数减去灰色圆片个数，据此解答。 【详解】由分析得： 6×6＝36（个） 第6个图形中，一共有36个圆片。 当一个图形中有8个灰色圆片时，说明这个图形是第8个图形。 8×8＝64（个） 64－8＝56（个） 即当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有56个。 11．（23-24六年级上·山东济宁·期末）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝( )。 【答案】99 【分析】观察算式发现是从3开始的9个连续奇数相加，给这个算式补上一个加数1，改写成（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）－1，这样括号里面有10个连续奇数相加； 根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”，可知括号里面10个数的和是102，再减去1，即是原式的计算结果。 【详解】3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）－1 ＝102－1 ＝100－1 ＝99 所以，3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝99。 12．（23-24六年级上·山东济南·期末）如图：用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭8个正方形需要( )根小棒，……如果搭n个正方形需要( )根小棒。 【答案】 25 3n＋1 【分析】观察图形可知，搭1个正方形、2个正方形、3个正方形……需要小棒的数量分别是4根、7根、10根……由此发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此找到规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 搭1个正方形需要4根小棒，4＝3×1＋1； 搭2个正方形需要用7根小棒，7＝3×2＋1； 搭3个正方形需要用10根小棒，10＝3×3＋1； …… 规律：搭n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 当n＝8时 3n＋1 ＝3×8＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 搭8个正方形需要25根小棒，……如果搭n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 13．（23-24六年级上·山东济南·期末）找找规律，并确定表中的A分别是几。 (1) 2 5 6 7 11 8 10 A 4 18 6 10 12 9 20 规律是：( )。 A是：( )。 (2) 2 13 5 6 4 11 5 7 7 A 4 10 7 11 1 12 规律是：( )。 A是：( )。 【答案】(1) 中间一行的数等于第三行的数减去第一行的数，再乘2 12 (2) 第四列的数乘2，再加上第三列的数，然后减去第一列的数乘2所得的差就是第二列的数 10 【分析】（1）根据观察表得：中间一行的数等于第三行的数减去第一行的数，再乘2，据此进行计算即可； （2）根据观察表得：用第四列的数乘2，再加上第三列的数，然后减去第一列的数乘2所得的差就是第二列的数，如：6×2＋5－2×2＝13，7×2＋5－4×2＝11，据此计算即可。 【详解】（1）规律是：中间一行的数等于第三行的数减去第一行的数，再乘2。 （12－6）×2 ＝6×2 ＝12 则A是12。 （2）规律是：第四列的数乘2，再加上第三列的数，然后减去第一列的数乘2所得的差就是第二列的数。 10×2＋4－7×2 ＝20＋4－14 ＝24－14 ＝10 则A是10。 14．（22-23六年级上·山东临沂·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到( )个直角三角形，画10个正方形能得到( )个直角三角形。 【答案】 12 36 【分析】观察图发现，正方形个数是2个，直角三角形个数是4个，每增加一个正方形，直角三角形个数新增加4个，那么直角三角形的个数＝（正方形个数一1）×4。据此解答。 【详解】（4－1）×4 ＝3×4 ＝12（个） （10－1）×4 ＝9×4 ＝36（个） 即画4个正方形能得到12个直角三角形，画10个正方形能得到36个直角三角形。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 15．（22-23六年级上·山东菏泽·期末）( )。 【答案】 【分析】观察下图可知：一个连加算式，第一个加数是，之后每个加数都是前一个加数的一半，这个算式的结果就是1减去最后一个加数所得的差。即 的和等于1减去最后一个分数。据此先将利用减法的性质化为，再根据以上规律先算括号里面的，再算括号外面的。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】明确的计算方法是解决此题的关键。可借助图示法理解的计算方法。 16．（22-23六年级上·山东菏泽·期末）如图，观察图形的规律，第10个图形一共由 个小三角形组成。 【答案】100 【分析】观察可知，第一个图中有1个三角形，可以写成12；第二个图形有1＋3＝4个三角形，可以写成22；第三个图形有1＋3＋5＝9个三角形，可以写成32；由此可知，第几个图形小三角形的个数就是几的平方。 【详解】102＝10×10＝100（个） 第10个图形一共由100个小三角形组成。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 17．（22-23六年级上·山东济宁·期末）按规律填数：1，9，25，49，( )，121。 【答案】81 【分析】第1个数是1，1＝12＝（2×1－1）2； 第2个数是9，9＝32＝（2×2－1）2； 第3个数是25，25＝52＝（2×3－1）2； 第4个数是49，49＝72＝（2×4－1）2； …… 第n个数是（2n－1）2，按此规律解答。 【详解】根据分析可知：第n个数是（2n－1）2； 当n＝5时 （2×5－1）2 ＝（10－1）2 ＝92 ＝81 当n＝6时 （2×6－1）2 ＝（12－1）2 ＝112 ＝121 所以，第5个数是81，第6个数是121； 即1，9，25，49，81，121。 【点睛】本题考查找规律，观察给出的数列，找到数的排列规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 18．（22-23六年级上·山东临沂·期末）1－＝，1－－＝，1－－－＝，则1－－－－＝( )。 【答案】 【分析】根据图形与算式的特点，1连续减去一些分数，（相邻的两个分母，后一个是前一个的2倍；分子都是1），减出来的差等于最后一个减数，据此解答。 【详解】 则 【点睛】本题主要考查式子的规律，发现式子中的规律是解本题的关键。 19．（22-23六年级上·山东济南·期末）（如图），这是用火柴摆成的1个、2个、3个正方形……按这种规律摆下去，第6个图形有( )个正方形，摆第11个图形需要( )根火柴。 【答案】 6/六 34 【分析】观察可知，第几个图形就有几个正方形，火柴根数＝正方形数量×3＋1，据此分析。 【详解】11×3＋1 ＝33＋1 ＝34（根） 第6个图形有6个正方形，摆第11个图形需要34根火柴。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 20．（22-23六年级上·山东青岛·期末）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示。 请你根据图示，探索发现求绳子长度的方法，并完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） ( ) ( ) ( ) 【答案】 31.4 51.4 71.4 【分析】如图，把绳子的长度分解： 观察可知，绳子的长度由两部分组成，一部分是捆扎圆柱管左右两边的圆弧部分的长度，圆弧部分的长度刚好等于一个整圆的周长；另一部分是捆扎圆柱管上下部分的直径总长度，上下部分绳子的长度＝（圆的个数－1）×直径长度×2，圆弧部分与上下部分所有直径之和就是绳子的总长度；据此可得：n个圆柱管需要绳子的总长度：3.14×10＋（n－1）×10×2＝20（n－1）＋31.4。 【详解】根据分析可知， 捆扎1个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＝31.4（厘米） 捆扎2个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＋（2－1）×10×2 ＝3.14×10＋1×10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 捆扎3个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＋（3－1）×10×2 ＝3.14×10＋2×10×2 ＝31.4＋40 ＝71.4（厘米） 填空如下： 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 【点睛】分析图表可知，绳子的长度由两部分组成，一部分是捆扎圆柱管左右两边的圆弧部分的长度，圆弧部分的长度刚好等于一个整圆的周长，另一部分是捆扎圆柱管上下部分的直径总长度，是解答本题的关键。 21．（22-23六年级上·山东济南·期末）照下面的样子用小棒摆正六边形，摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒。 【答案】 21 51 【分析】观察给出的图形可知，摆1个正六边形时，需要小棒1×5＋1＝6（根）；摆2个正六边形时，需要小棒2×5＋1＝11（根）；摆3个正六边形时，需要小棒3×5＋1＝16（根）。则小棒的根数＝六边形的数量×5＋1，据此求出摆4个正六边形和摆10个正六边形各需要多少根小棒。 【详解】根据分析得，小棒的根数＝六边形的数量×5＋1， 4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 即摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒。 【点睛】本题主要考查数形结合，根据给出的图形，找出小棒的根数与正六边形的个数之间的关系是解题的关键。 22．（21-22六年级上·山东济南·期末）玲玲用面积为1平方厘米的灰色小正方形拼摆图形，如下图所示。 (1)像这样拼下去，第9个图形要用( )个小正方形。 (2)如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要( )厘米的彩带。（接头处忽略不计） 【答案】(1)24 (2)208 【分析】（1）观察图形发现：每个图形中最左列有3个灰色小正方形，最右列有3个灰色小正方形，中间的每一列都有2个灰色小正方形。图①中灰色小正方形有3＋3＋2＝6＋2＝8（个）；图②中灰色小正方形有3＋3＋2×2＝6＋4＝10（个）；图③中灰色小正方形有3＋3＋2×3＝6＋6＝12（个）；……。由此可知第n个图中灰色小正方形的个数有（6＋2n）个。 （2）因为灰色小正方形的面积是1平方厘米，所以灰色小正方形的边长是1厘米。图①的长是3厘米，图②的长是4厘米，图③的长是5厘米，……。由此可知第n个图形的长是（n＋2）厘米；每个图形的宽都是3厘米。根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可求出在图形外围围一圈所用的彩带的长。 【详解】（1）当n＝9时，6＋2n＝6＋2×9＝6＋18＝24（个）。 所以像这样拼下去，第9个图形要用24个小正方形。 （2）第99个图形的长：99＋2＝101（厘米） 宽：3厘米 周长：（101＋3）×2 ＝104×2 ＝208（厘米） 所以如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要208厘米的彩带。 【点睛】运用数形结合的方法可以探究数学规律，借此解决问题。 23．（21-22六年级上·山东济南·期末）观察图的排列规律，照这样排下去，第（8）个图要画( )个圆。 【答案】36 【分析】观察可得，第（1）个图形是1个圆，第（2）个图形是（1＋2）个圆，第（3）个图形是（1＋2＋3）个，……第（8）个图形是（1＋2＋3＋…＋8）个，据此解答即可。 【详解】1＋2＋3＋…＋8 ＝（1＋8）×8÷2 ＝9×8÷2 ＝72÷2 ＝36（个） 则第（8）个图要画36个圆。 【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。 24．（21-22六年级上·山东临沂·期末）用火柴棒摆出图形。摆第1个图形要4根火柴棒。那么摆第15个图形要( )根火柴棒。 【答案】46 【分析】根据火柴棒的摆设规律可知，多摆一个正方形就需要加三根火柴棒。 第1个图形需要4根火柴棒； 第2个图形需要4＋3×1＝4＋3＝7（根）火柴棒； 第3个图形需要4＋3×2＝4＋6＝10（根）火柴棒； 摆n个图形需要4＋3×（n−1）（根）火柴棒； 据此，将当n＝15，代入上式，计算出数量即可，据此解答。 【详解】根据火柴棒的摆设规律可知： 多摆一个正方形就需要加三根火柴棒，那么第15个图形所需要的火柴即需要： 4＋3×（15－1） ＝4＋3×14 ＝4＋42 ＝46（根） 【点睛】解答此题的关键，根据给出火柴的摆放，找到后面火柴摆放的规律。 25．（21-22六年级上·山东临沂·期末）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )。 【答案】121 【分析】观察算式，每相邻两个加数都相差2，发现： 2个加数的和：1＋3＝4＝22； 3个加数的和：1＋3＋5＝9＝32； 4个加数的和：1＋3＋5＋7＝16＝42 …… 规律：n个加数的和＝n2； 据此规律解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 ＝112 ＝121 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 26．（22-23六年级上·山东青岛·期末）如图是由火柴棒搭成的几何图案，第1个图案中有4根火柴棒，第2个图案中有12根火柴棒，第3个图案中有 根火柴棒，……，依此规律，第20个图案中有 根火柴棒。 【答案】 24 840 【分析】通过数一数可以发现，第3个图案中有24根火柴棒。 第1个图案中火柴棒有2排，每排1根火柴棒，有2列，每列也是1根火柴棒，则火柴棒的总根数是1×2＋1×2＝4（根）；第2个图案中火柴棒有3排，每排2根，有3列，每列也是2根，则火柴棒的总根数是2×3＋2×3＝12（根）；第3个图案中火柴棒有4排，每排3根，有4列，每列也是3根，则火柴棒的总根数是3×4＋3×4＝24（根）……据此可知，第n个图案中火柴棒的根数是： n×（n＋1）＋n（n＋1）＝n×（n＋1）×2＝2n（n＋1）。据此解答。 【详解】第3个图案中有24根火柴棒； 第n个图案中火柴棒的根数是2n（n＋1）根。 20×（20＋1）×2 ＝20×21×2 ＝840（根） 则第20个图案中有840根火柴棒。 【点睛】本题考查数形结合问题。通过观察、分析，发现图案的序数和火柴棒的根数之间的关系是解题的关键。 三、作图题 27．（20-21六年级上·山东日照·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学。数形结合是我们学习数学的一种重要的数学思想方法。我国著名的数学家华罗庚在论述数形结合的重要性时曾强调：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非……” 运用数形结合的思想方法可以让数学学习变得更简单更有趣。快来试一试，在下面的长方形中分一分、涂一涂表示出的计算过程和结果。 【答案】见详解 【分析】把长方形看作单位“1”，先把单位“1”平均分成3份，其中的2份涂色，表示出分数；再把涂色部分平均分成5份，其中的4份涂为深色阴影，表示分数，即图形表示求的是多少，。 【详解】 如图，。 【点睛】掌握分数乘法的意义是解答题目的关键。 四、解答题 28．（22-23六年级上·山东济南·期末）回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 【答案】48个 【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）； 第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）； 第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）； …… 第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2； 【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11， 132－112 ＝169－121 ＝48（个） 答：第6个图形最外圈有48个小正方形。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。 29．（21-22六年级上·山东菏泽·期末）通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。 （1）大正方形的边长可表示出为：（    ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（    ）   ； （2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？ （3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？ 【答案】（1）a＋b；（a＋b）2； （2）这四个图形的面积和是a2＋b2＋2ab； （3）我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 【分析】（1）由图可知大正方形的边长为（a＋b），根据正方形的面积公式S＝a²，即可用字母表示出大正方形的面积； （2）根据长方形的面积公式S＝a×b，正方形的面积公式S＝a²，分别求出两个小长方形①和②的面积，两个小正方形③和④的面积，再将这四个图形的面积相加即可解答； （3）通过观察图形，可知大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，用字母表示出来即可。 【详解】（1）大正方形的边长为（a＋b）；用字母表示大正方形的面积是：（a＋b）²。 （2）①的面积a×b＝ab ②的面积a×b＝ab ③的面积a×a＝a² ④的面积b×b＝b² ab＋ab＋a²＋b²＝a²＋b²＋2ab 答：两个长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是a²＋b²＋2ab。 （3）答：我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论： （a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 【点睛】本题主要考查用字母表示数和探索图形的规律。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数与形 一、选择题 1．（22-23六年级上·山东临沂·期末）仔细分析，摆第5个图形需要用（    ）根小棒。              A．20 B．30 C．26 2．（22-23六年级上·山东济南·期末）与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（    ）。 A． B． C． D． 3．（21-22六年级上·山东临沂·期末）如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（    ）根小棒。 A．41 B．51 C．61 4．（20-21六年级上·山东临沂·期末）仔细分析，第7个图形一共有（    ）个小三角形。 A．25 B．49 C．64 5．（20-21六年级上·山东临沂·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用（    ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 6．（20-21六年级上·山东菏泽·期末）观察下面点阵图找规律，第8个点阵图中有（    ）个点。 A．27 B．25 C．28 D．26 7．（20-21六年级上·山东临沂·期末）拼一个三角形用3根小棒，想一想，第8个图形需要用（    ）根小棒。 A．24 B．17 C．20 8．（20-21六年级上·山东临沂·期末）用灰、白两种六边形瓷砖按如图所示的规律拼成图案，继续拼下去，第10个图案中有（    ）块白色瓷砖。 第1个         第2个             第3个 A．10 B．40 C．42 D．60 二、填空题 9．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 10．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）活动课上，同学们合作用白色和灰色的圆片按照下面的方法摆图形。照这样摆下去，第6个图形中，一共有( )个圆片；当一个图形中有8个灰色圆片时，白色圆片有( )个。 11．（23-24六年级上·山东济宁·期末）3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝( )。 12．（23-24六年级上·山东济南·期末）如图：用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭8个正方形需要( )根小棒，……如果搭n个正方形需要( )根小棒。 13．（23-24六年级上·山东济南·期末）找找规律，并确定表中的A分别是几。 (1) 2 5 6 7 11 8 10 A 4 18 6 10 12 9 20 规律是：( )。 A是：( )。 (2) 2 13 5 6 4 11 5 7 7 A 4 10 7 11 1 12 规律是：( )。 A是：( )。 14．（22-23六年级上·山东临沂·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到( )个直角三角形，画10个正方形能得到( )个直角三角形。 15．（22-23六年级上·山东菏泽·期末）( )。 16．（22-23六年级上·山东菏泽·期末）如图，观察图形的规律，第10个图形一共由 个小三角形组成。 17．（22-23六年级上·山东济宁·期末）按规律填数：1，9，25，49，( )，121。 18．（22-23六年级上·山东临沂·期末）1－＝，1－－＝，1－－－＝，则1－－－－＝( )。 19．（22-23六年级上·山东济南·期末）（如图），这是用火柴摆成的1个、2个、3个正方形……按这种规律摆下去，第6个图形有( )个正方形，摆第11个图形需要( )根火柴。 20．（22-23六年级上·山东青岛·期末）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示。 请你根据图示，探索发现求绳子长度的方法，并完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） ( ) ( ) ( ) 21．（22-23六年级上·山东济南·期末）照下面的样子用小棒摆正六边形，摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒。 22．（21-22六年级上·山东济南·期末）玲玲用面积为1平方厘米的灰色小正方形拼摆图形，如下图所示。 (1)像这样拼下去，第9个图形要用( )个小正方形。 (2)如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要( )厘米的彩带。（接头处忽略不计） 23．（21-22六年级上·山东济南·期末）观察图的排列规律，照这样排下去，第（8）个图要画( )个圆。 24．（21-22六年级上·山东临沂·期末）用火柴棒摆出图形。摆第1个图形要4根火柴棒。那么摆第15个图形要( )根火柴棒。 25．（21-22六年级上·山东临沂·期末）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )。 26．（22-23六年级上·山东青岛·期末）如图是由火柴棒搭成的几何图案，第1个图案中有4根火柴棒，第2个图案中有12根火柴棒，第3个图案中有 根火柴棒，……，依此规律，第20个图案中有 根火柴棒。 三、作图题 27．（20-21六年级上·山东日照·期末）数学是研究数量关系和空间形式的科学。数形结合是我们学习数学的一种重要的数学思想方法。我国著名的数学家华罗庚在论述数形结合的重要性时曾强调：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非……” 运用数形结合的思想方法可以让数学学习变得更简单更有趣。快来试一试，在下面的长方形中分一分、涂一涂表示出的计算过程和结果。 四、解答题 28．（22-23六年级上·山东济南·期末）回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 29．（21-22六年级上·山东菏泽·期末）通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。 （1）大正方形的边长可表示出为：（    ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（    ）   ； （2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？ （3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $