第27章 圆（含15种题型）（知识清单）数学华东师大版九年级下册

第27章 圆 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O______________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做______________，线段OA叫做______________. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是______________，所有到定点O的距离______________定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的______________叫做弦，如右图中的弦______________. 直径：经过______________的弦叫做直径，如右图中的直径______________. 2）弧、半圆 弧：圆上任意______________的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“______________”或“______________”. 半圆：圆的任意一条______________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：______________相同，______________也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够______________的两个圆叫做等圆. 同心圆：______________相同，______________不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在______________叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在______________，且两边都和圆______________的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是______________，任何一条直径所在的直线都是圆的______________，圆有______________条对称轴.圆也是______________，圆心是它的______________.圆还具有______________不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：______________于弦的直径平分弦，并且______________弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）______________的直径垂直于弦，并且______________弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径______________于弦，并且______________弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过______________，并且平分弦所对的______________. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在______________中，相等的圆心角所对的弧______________，所对的弦也______________. 推论：在______________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______________，那么它们所对应的其余各组量都______________. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______________.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角______________. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______________；的圆周角所对的弦是______________. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形______________. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的______________. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线______________于经过切点的______________. 切线的判定定理：经过半径______________并且垂直于这条半径的______________是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长______________，这一点和圆心的连线______________两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为____________________________. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为______________. 3）周长：正n边形的周长____________________________. 4）面积：正n边形的面积____________________________. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为____________________________ 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为______________ 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为______________ 14. 弧长公式：______________ (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：______________ (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= ______________ (l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3）____________________________ （4）=____________________________ （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为____________________________ 序号 错误 易错题型 注意 1 圆的相关概念混淆 1-5 理解圆的相关概念 2 遇到平行弦问题时未分类讨论 6-7 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 3 正多边形与圆的相关计算问题 8-14 正多边形的半径、边心距、边长的一半是一个直角三角形的三边长，与正多边形有关的计算常转化为解这个直角三角形，若未给出，则需要主动构造该直角三角形. 4 圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算） 15-20 求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．面积相等的两个圆是等圆 5．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 7．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 9．（2024·北京东城·一模）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m 10．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 11．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    12．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 13．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，正方形的外接圆的半径为4，则它的内切圆的半径为 ． 14．（2024·北京东城·二模）列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 15．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 19．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 20．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 重难点01 利用垂径定理求解 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 重难点02 垂径定理的实际应用 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 8．（2024·河南信阳·一模）河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． (1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； (2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 重难点03 利用弧、弦、圆心角关系求解 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 11．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 重难点04 利用圆周角定理及其推论求解 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 15．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 重难点05 利用圆内接四边形的性质求解 16．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，． (1)求证：； (2)连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长． 18．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 19．（24-25九年级上·河北·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 重难点06 点和圆的位置关系 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 23．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 重难点07 点与圆的最值问题 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是 26．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 27．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 重难点08 直线和圆的位置关系 28．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（   ）． A． B． C．或 D．或 29．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 30．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 重难点09 切线的判定与性质综合 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 33．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)的半径为_______；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 34．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线： (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 35．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 重难点10 利用切线长定理求解 36．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 37．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 38．（2024·贵州贵阳·一模）已知：如图，在中， 与相切于点 B 和点 C ，与交于点 D ，与 交于点E ，连接． (1)若 ，则的半径为 ； (2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积； (3)求证： 重难点11 三角形内切圆与外接圆的综合 39．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 40．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 41．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 42．（2021·浙江湖州·二模）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    重难点12 尺规作图问题 43．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，猜想：当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出的长度； 44．（2025·河北保定·一模）某数学小组研究如何得到弧形桥拱所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为． (1)如图1，小明从点处测得桥拱上点处的仰角为． ①在图1中用尺规找到所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，求的长；（用含的代数式表示） (2)如图2，小亮从点处测得桥拱上点处的仰角为是所在圆的圆心，求．（参考数据：） 45．（2025·浙江温州·三模）老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线．甲同学的方法：如图1，连接，作的垂直平分线交于点M，以M为圆心，为半径画圆，交于点Q，连接，即为的切线；乙同学的方法：如图2，连接，交于点B，以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，交于点M，作直线，即为过点P所求的其中一条切线． (1)根据甲同学的作法，的依据是______； (2)根据乙同学的作法，请说明直线为切线的理由． 46．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 重难点13 直线与圆的最值问题 47．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 48．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 49．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出： （1）如图1，在中，，，半径为1，点P是上的动点．则P到的最小值为__________； 问题解决： （2）如图2是一个矩形场地，已知长，宽．园林部门想利用这个场地种植花草，设计方案为：首先修一条直道，出口G在边上；其次，修一条和直道垂直的小道（即）；然后在直道上选择一点E，使，最后再修建直道和直道； 园林部门计划在区域种植玫瑰花，广场其他区域均培植草坪，已知种植玫瑰花每平方米需要元，培植草坪每平方米需要元．请问园林部门最少花费多少元才能实现这一设计方案？（道路的宽度均忽略不计） 重难点14 计算不规则图形面积 50．（2026·江西·模拟预测）如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 51．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，求图形中阴影部分的面积． 52．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 53．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 重难点15 阿氏圆问题 54．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 55．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 56．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 圆 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 2）弧、半圆 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 14. 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 序号 错误 易错题型 注意 1 圆的相关概念混淆 1-4 理解圆的相关概念 2 遇到平行弦问题时未分类讨论 5-6 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 3 正多边形与圆的相关计算问题 7-14 正多边形的半径、边心距、边长的一半是一个直角三角形的三边长，与正多边形有关的计算常转化为解这个直角三角形，若未给出，则需要主动构造该直角三角形. 4 圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算） 15-20 求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质．根据弧，弦，圆心角的关系逐个判断即可，特别强调同圆或等圆中这一前提条件． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误； ③同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧称为等弧； 没有正确的说法， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．面积相等的两个圆是等圆 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，圆的性质，直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确，故此选项不合题意； B．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，故此选项符合题意； C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，说法正确，故此选项不合题意； D．面积相等的两个圆半径相等，它们是等圆，说法正确，故此选项不合题意； 故选：B． 5．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 7．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 9．（2024·北京东城·一模）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，根据正五边形的性质可得，的面积，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，从而设，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为， ，的面积正五边形的面积， ，， ，， 设， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 该正五边形的边长大约是， 故选：A． 10．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 【答案】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 11．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，   在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 12．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 13．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，正方形的外接圆的半径为4，则它的内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形和圆、勾股定理、正方形的性质等知识，根据题意画出图形并利用勾股定理是解答本题的关键，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接、，根据题意知， ∵是小圆的切线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形，， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：． 14．（2024·北京东城·二模）列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据4个正八边形面积黑色正方形的面积列出方程，求出和，即可得出结论 【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据题意得， ， 解得，， ∵ ∴ ∴黑色正方形地砖的面积； 则一块八边形地砖的面积， 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 15．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 16．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 17．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 18．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 19．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 20．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 重难点01 利用垂径定理求解 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，坐标与图形的性质，连接，过点作于点，根据已知可得，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接、、．根据垂径定理得点是的中点，根据折叠的性质，得点是，从而得，故；根据垂直平分求得与的数量关系，从而求得的度数，进而求出的度数，故可求得的度数；根据扇形的面积公式计算扇形的面积，再根据菱形的面积公式计算菱形的面积，从而根据求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点，交于点，连接、、． ∵， ∴点是的中点， 根据折叠的性质，得点是的中点， ∴，即，则四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、翻折变换，掌握垂径定理、折叠的性质、扇形及菱形的面积计算公式是解题的关键． 重难点02 垂径定理的实际应用 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】(1) (2)2米 (3)米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． （3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 8．（2024·河南信阳·一模）河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． (1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； (2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理．关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心． （1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线的交点； （2）连接．由题意可知，，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置； （2）如图所示，连接． 由题意可知，，则， 设的半径为，则． 在中， ， 解得 ， 所以的半径为 ． 重难点03 利用弧、弦、圆心角关系求解 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 11．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出的度数，根据等腰三角形的性质求出的度数，再由三角形外角的性质计算的度数即可； （2）延长交圆于点，在中利用勾股定理求出，设，用将表示出来，证明，根据相似三角形的性质，列出关系式并求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ，， ， ， ， ， 的度数 （2）延长交圆于点．连接， ， ，， ， 在， 设，则 四边形是圆内接四边形， 又 又 ， ， ，即 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 重难点04 利用圆周角定理及其推论求解 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 14．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，再根据切线的性质可得，最后通过平行线的判定方法即可； （）过作于点，证明四边形是矩形，又，则四边形是正方形，然后根据正方形的性质可得，，再通过三角形内角和定理，角度和差求出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：过作于点，如图所示： ∴， 由（）得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，切线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 重难点05 利用圆内接四边形的性质求解 16．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，． (1)求证：； (2)连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接三角形对角互补得出，根据平行线的性质得出，于是得出，再根据等边对对角得出，即可得证； （2）连接，先证，即可证得，根据相似三角形的性质结合已知，即可求出的长，再证得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：连接， ∵D是优弧的中点， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∵, ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理及推论，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 18．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质． （1）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可； （2）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可． 【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 在优弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·河北·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知 ，进而可得 ，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得 ， ∵， ∴ ，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 重难点06 点和圆的位置关系 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 【答案】点A在的内部 【分析】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．若的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在上；当时，点P在内；当时，点P在外．先根据勾股定理半径，与进行比较即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点A在的内部， 故答案为：点A在的内部． 23．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解： 、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 重难点07 点与圆的最值问题 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时，的面积最大，求出 、的值即可解决问题． 【详解】解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得：， 过作于，连接， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是， 面积的最大值是， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当的值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 27．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）或；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题； [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点在外，②点在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸] 取的中点，连接，，过点作，可得是的中位线，则点在为圆心，为半径的圆上运动．在中，得出，进而可得的最大值为． 【详解】解：[问题解决] 如图，点为上任意一点，连接，， 当点与点不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点与点重合时，， ∴综上可得，， ∵点为上任意一点， ∴的长是点到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为； 若点在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为； 综上所述，的半径为或． 故答案为：或 （2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离， 的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸]如图所示， 取的中点，连接，，过点作 ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上，线段取得最大值， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴的最大值为 故答案为：． 重难点08 直线和圆的位置关系 28．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系是判段点的个数的关键． 若圆心到直线的距离，圆的半径， 当时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点； 当时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点； 当时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． 【详解】解： 的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点， 故选：B． 29．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：若、是方程的两个根， ∴， 解得，， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：D ． 30．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．分两种情况讨论：①当与相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；②当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，圆的半径大于． 【详解】解：①如图，当与相切时，与射线有1个公共点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即圆的半径是4； ②如图，当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，与射线有1个公共点， 点在内， 半径， 综上可知，与射线有1个公共点，则r的取值范围是或， 故答案为：或． 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 重难点09 切线的判定与性质综合 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，由点E是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到．求得，根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵经过的半径的外端， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 33．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)的半径为_______；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2；； (3)正确，见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，求不规则图形面积等等： （1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证明是的切线； （2）证明，得到，再根据阴影部分的面积列式求解即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即的度数不变． 【详解】（1）证明：如图所示，连接．    ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； （3）解：正确，理由如下： 如图所示，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． 34．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线： (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)阴影部分面积为 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接，可证明四边形是正方形，则，，设，则，，由勾股定理得，求得，则． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 设， ，，， ，且，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 阴影部分面积为． 35．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 重难点10 利用切线长定理求解 36．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，熟知切线长定理内容是解题关键．由切线长定理可知，，，进而可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 37．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，勾股定理的应用，切线的性质； （1）先证明，再证明，，可得，从而可得结论； （2）先求解，结合切线的性质求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵在梯形中，， ∴， ∵为四边形内切圆， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 38．（2024·贵州贵阳·一模）已知：如图，在中， 与相切于点 B 和点 C ，与交于点 D ，与 交于点E ，连接． (1)若 ，则的半径为 ； (2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积； (3)求证： 【答案】(1)2 (2) (3)见解析 【分析】（1）先证明垂直平分，三线合一得到，进而求出的长即可； （2）分割法求出阴影部分的面积即可； （3）证明，得到，三线合一，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与相切于点 B 和点 C ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为2； 故答案为：2 （2）由（1）知：， ∴阴影部分的面积； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质，是解题的关键． 重难点11 三角形内切圆与外接圆的综合 39．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 40．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 41．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证： ，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 42．（2021·浙江湖州·二模）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 重难点12 尺规作图问题 43．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且，）． (1)在图中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，猜想：当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出的长度； 【答案】(1)见解析 (2)线段是定长，长度不发生变化，值为 【分析】（1）根据圆的性质，垂线的基本作图，平行线的基本作图解答即可； （2）连接，连接并延长交于E，连接，过O作于F，于N，则四边形是正方形，根据垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用解答即可． 本题考查了垂线，平行线的基本作图，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以A，B为圆心，大于长为半径画弧，交点为G， 连接，与交点为E，F，与交点为M，则， 分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，交点为N，连接，则， 以O为圆心，长为半径画弧与交点为P，则，以P为圆心，长为半径画弧，交直线于Q，以O,Q为圆心，大于长为半径画弧，交点为R，连接，则，与交点为C,D，与交点为H，即、点H即为所求； （2）解：当弦的长度发生变化时，线段的长度不变； 如图，连接，连接并延长交于E，连接，过O作于F，于N，则四边形是矩形， ∵，且， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段是定长，长度不发生变化，值为． 44．（2025·河北保定·一模）某数学小组研究如何得到弧形桥拱所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为． (1)如图1，小明从点处测得桥拱上点处的仰角为． ①在图1中用尺规找到所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； ②若，求的长；（用含的代数式表示） (2)如图2，小亮从点处测得桥拱上点处的仰角为是所在圆的圆心，求．（参考数据：） 【答案】(1)①图见解析；② (2) 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①连接，分别做出的垂直平分线交于圆心点； ②连接，证明是等边三角形，得到； （2）连接，，过点作于点，求出，在中，． 【详解】（1）解：①如图（答案不唯一，正确即可）； ②连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， ； （2）解：如图，连接，，过点作于点， ， ， ， ， 在中，， 即为． 45．（2025·浙江温州·三模）老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线．甲同学的方法：如图1，连接，作的垂直平分线交于点M，以M为圆心，为半径画圆，交于点Q，连接，即为的切线；乙同学的方法：如图2，连接，交于点B，以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，交于点M，作直线，即为过点P所求的其中一条切线． (1)根据甲同学的作法，的依据是______； (2)根据乙同学的作法，请说明直线为切线的理由． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质， （1）根据直径所对的圆周角是直角判断即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明． 【详解】（1）解：据甲同学的作法，的依据是直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直径所对的圆周角是直角． （2）解：由作图可知，， ， 是半径， 直线是切线． 46．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，即，根据切线的判定定理得到结论； （2）由（1）知，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形面积计算，掌握切线的判定是解题的关键． 重难点13 直线与圆的最值问题 47．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 48．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 49．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出： （1）如图1，在中，，，半径为1，点P是上的动点．则P到的最小值为__________； 问题解决： （2）如图2是一个矩形场地，已知长，宽．园林部门想利用这个场地种植花草，设计方案为：首先修一条直道，出口G在边上；其次，修一条和直道垂直的小道（即）；然后在直道上选择一点E，使，最后再修建直道和直道； 园林部门计划在区域种植玫瑰花，广场其他区域均培植草坪，已知种植玫瑰花每平方米需要元，培植草坪每平方米需要元．请问园林部门最少花费多少元才能实现这一设计方案？（道路的宽度均忽略不计） 【答案】1，元 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形和圆的性质，直线和圆的位置关系等知识，解答关键是根据题意构造三角形的外接圆． （1）过点O作于点M，交圆O于点，到的距离就是P到的最小值，根据题意得到由半径为1，求出即可； （2）由题意，三角形面积最小时，花费的费用最少，由，，，作的外接圆，圆心为O，易证明最短，在中，求出，进而得到的最短为，设面积为S，最少费用：元，由S的最小值为：元，则园林的最少费用即可求得． 【详解】解：（1）如图，过点O作于点M，交圆O于点， 即到的距离就是P到的最小值， ， ， ，半径为1， ， 故答案为：1； （2）在矩形中，， ， ， ， ， ，设， ， 当最小，即是最小时，园林部门花费最少， 依题意可知，点在以为弦的周上， 如图，取的中点，连接，交于M，点为与的交点， 由轴对称的性质，得分别是的中点， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ， 是的中位线， ， 的最小值为， 设面积为S，园林的最少费用：元， 的最小值， 园林部门最少花费元． 重难点14 计算不规则图形面积 50．（2026·江西·模拟预测）如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 51．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，求图形中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题重点考查平面几何图形的面积计算（扇形、等腰直角三角形），准确识别图形的组成部分并正确应用面积公式进行组合与减法是解题的关键． 根据扇形面积和三角形面积公式求解即可． 【详解】如图 因为， 所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以，，， 所以． 52．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 53．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 重难点15 阿氏圆问题 54．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 55．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），证明见解析 ； （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据已知条件易知，且，从而证得； 如图，连接，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而得到，将求最小值问题通过线段间的等量关系转化为求最小值，，在中，利用勾股定理求解即可得解； （2）先作线段的三等分点，在点右端截取，作的线段垂直平分线与相交于点，以点为圆心，长为半径作，则即为阿氏圆，圆上任意一点均满足； （3）作，交的延长线于点． 根据平分，结合 ， 进行角的等量代换，易证， 从而得到， 根据， 可得，从而得到；设，， 过作于，根据勾股定理可得 ，从而用依次可表示出、的长，进而表示出的面积，结合二次函数的最值情况，可求得面积的最大值． 【详解】解：（1）， 证明：，， ， 又， ； 如图，连接， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即， 故的最小值为； （2）作阿氏圆如图所示： （3）解：面积的最大值为， 理由如下： ， ，， 作，交的延长线于点． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，， 过作于， ， ， 即， ， ， 的面积为， 当时，即时，面积有最大值，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，线段和最值问题，三角形的面积最值问题，二次函数的最值问题，尺规作图作阿氏圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 56．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $