第1章 二次函数 单元测试 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

湘教版九年级下册 第1章 二次函数 单元测试 一、选择题 1.某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了80名居民的信息进行调查，将抽取年龄按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为20人、20人、28人、12人．若该社区共有3000人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（　　）人． A.1500 B.1600 C.1700 D.1800 2.某科研小组，为了考查某水库野生鱼的数量，从中捕捞100条，作上标记后，放回水库，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该水库中有野生鱼（　　） A.8000条 B.4000条 C.2000条 D.1000条 3.把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A.y＝﹣（x+3）2+1 B.y＝﹣（x+1）2+3 C.y＝﹣（x﹣1）2+4 D.y＝﹣（x+1）2+4 4.一个口袋中有4枚黑棋子和若干枚白棋子（它们除颜色不同外，其余均相同），在不允许将棋子倒出来的前提下，小明为估计其中的白棋子的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一枚棋子，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一枚棋子，记下颜色…，不断重复上述过程．小明共摸了200次，其中50次摸到黑棋子．根据上述数据，小明估计口袋中的白棋子大约有（　　） A.16个 B.14个 C.12个 D.10个 5.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　） A.x＜0 B.x＜﹣1或x＞3 C.0＜x＜2 D.x＜0或x＞2 6.小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y＝x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10＝0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（　　） A.﹣4.12 B.﹣4.23 C.﹣4.32 D.﹣4.43 7.抛物线y＝2（x﹣1）2+5与y轴交点的坐标是（　　） A.（0，5） B.（0，） C.（0，7） D.（1，5） 8.用配方法将二次函数化为顶点式的形式为　　 A. B. C. D. 9.已知二次函数y＝a（x﹣2）2+k（a＜0）经过点（5，0），下列结论正确的是（　　） A.当x＞2时，y随x的增大而增大 B.二次函数图象与y轴交于点（0，k） C.4a+k＜0 D.当x＞5或x＜﹣1时，y＜0 10.若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则y=与y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11.y＝﹣（x+1）2的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度．你认为小郑的4种方法中正确的个数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜x1，其中正确的结论个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 13.小鸡孵化场孵化出一批小鸡，工人在其中50只小鸡上做记号后让这批小鸡充分跑散，后来再任意抓出100只小鸡，其中有记号的有10只，则这批小鸡大约有________只． 14.为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示： 以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 ________人． 15.将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 　       ． 16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足表达式y＝﹣0.02x2+0.24x+a．已知球网与O点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距O点的水平距离为18米．若排球不碰球网且不出界，则a的取值范围是 　      　.（排球落在边界线上时为界内） 17.如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为 　  　． 三、解答题 18.求二次函数y＝x2﹣3x+10的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值． 19.在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小刚每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2000次重复摸球试验后，共摸出黑球1200次．请估计袋中黑球的个数． 20.孔雀鱼凭借其华丽的外观，皮实易养的特性，得到了鱼友们的广泛好评．同时，孔雀鱼是卵胎生鱼，号称“百万鱼”，又说明了其容易繁殖且繁殖率高．但初生的孔雀鱼小鱼苗，体质差，抵抗力差，对水温、水质的变化极为敏感，因此，极易因水环境动荡生病，或是受到外界寄生虫、病菌的侵扰而患病．从孔雀鱼的出生到成年，需要三个月左右，成年后即可出售．下表记录的是在相同的条件下初生的小鱼苗的数量与饲养三个月后存活的可出售的成年鱼数量： 若饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，请估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量． 21.2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，学校对七年级500名学生进行了一次航空航天知识竞赛，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分，但两班均无满分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（用x表示成绩：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x＜50） 乙班成绩在D组的具体分数是： 42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45． 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m，n的值，m＝_______，n＝_______． （2）悠悠这次测试成绩是44分，在班上排名属中游略偏上，悠悠是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校七年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数． 22.已知抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c）． ①求直线l所对应的函数表达式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：y＝（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，试探究直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 湘教版九年级下册 第1章 二次函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了80名居民的信息进行调查，将抽取年龄按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为20人、20人、28人、12人．若该社区共有3000人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（　　）人． A.1500 B.1600 C.1700 D.1800 【答案】D 【解析】30001800（人）， 答：估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为1800人． 故选：D． 2.某科研小组，为了考查某水库野生鱼的数量，从中捕捞100条，作上标记后，放回水库，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该水库中有野生鱼（　　） A.8000条 B.4000条 C.2000条 D.1000条 【答案】C 【解析】根据题意，估计该水库中有野生鱼1002000（条）， 故选：C． 3.把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A.y＝﹣（x+3）2+1 B.y＝﹣（x+1）2+3 C.y＝﹣（x﹣1）2+4 D.y＝﹣（x+1）2+4 【答案】D 【解析】抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1； 然后向上平移3个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1+3， 即y＝﹣（x+1）2+4. 故选：D． 4.一个口袋中有4枚黑棋子和若干枚白棋子（它们除颜色不同外，其余均相同），在不允许将棋子倒出来的前提下，小明为估计其中的白棋子的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一枚棋子，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一枚棋子，记下颜色…，不断重复上述过程．小明共摸了200次，其中50次摸到黑棋子．根据上述数据，小明估计口袋中的白棋子大约有（　　） A.16个 B.14个 C.12个 D.10个 【答案】C 【解析】∵小明共摸了200次，其中50次摸到黑棋子，则有150次摸到白棋子， ∴白棋子与黑棋子的数量之比为3：1， ∵黑棋子有4个， ∴白棋子有3×4＝12（个）． 故选：C． 5.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　） A.x＜0 B.x＜﹣1或x＞3 C.0＜x＜2 D.x＜0或x＞2 【答案】D 【解析】由抛物线和y轴的交点为（0，3），对称轴为直线x＝1， 故当x＝0或x＝2时，y＝3， 故不等式ax2+bx+c＜3的解集为：x＜0或x＞2． 故选：D． 6.小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y＝x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10＝0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（　　） A.﹣4.12 B.﹣4.23 C.﹣4.32 D.﹣4.43 【答案】C 【解析】当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x＝﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x＝﹣4.3时的y值比x＝﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3． 故选：C． 7.抛物线y＝2（x﹣1）2+5与y轴交点的坐标是（　　） A.（0，5） B.（0，） C.（0，7） D.（1，5） 【答案】C 【解析】当x＝0时，y＝2（x﹣1）2+5＝2×（0﹣1）2+5＝7， ∴抛物线y＝2（x﹣1）2+5图象与y轴交点的坐标是（0，7）． 故选：C． 8.用配方法将二次函数化为顶点式的形式为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 故选：B． 9.已知二次函数y＝a（x﹣2）2+k（a＜0）经过点（5，0），下列结论正确的是（　　） A.当x＞2时，y随x的增大而增大 B.二次函数图象与y轴交于点（0，k） C.4a+k＜0 D.当x＞5或x＜﹣1时，y＜0 【答案】D 【解析】因为二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，且a＜0， 所以抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向下， 所以当x＞2时，y随x的增大而减小， 故A选项不符合题意； 当x＝0时，y＝4a+k， 所以二次函数图象与y轴交于点（0，4a+k）， 故B选项不符合题意； 因为抛物线对称轴为直线x＝2，经过点（5，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， 因为抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大， 因为0＞﹣1， 所以4a+k＞0， 故C选项不符合题意； 因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（5，0），且开口向下， 所以当x＞5或x＜﹣1时，y＜0， 故D选项符合题意． 故选：D． 10.若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则y=与y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵a+b+c＝0，且a＜b＜c， ∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定）， ∴ac＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴函数y=的图象在二、四象限，y＝ax2+bx+c的图象开口向下，交y轴的正半轴，与x轴有两个交点，其中一个交点为（1，0）， 当a＜b＜0时，﹣＜0. 故选：C． 11.y＝﹣（x+1）2的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度．你认为小郑的4种方法中正确的个数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】y＝﹣（x+1）2向右平移1个单位长度，得y＝﹣（x+1﹣1）2＝﹣x2，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故①是正确的； y＝﹣（x+1）2向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得y＝﹣（x+1﹣3）2+4＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故②是正确的； y＝﹣（x+1）2向上平移1个单位长度，得y＝﹣（x+1）2+1，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故③是正确的； y＝﹣（x+1）2沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，得y＝（x+1）2﹣1，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故④是正确的； ∴小郑的4种方法中正确的个数有4个． 故选：A． 12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜x1，其中正确的结论个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确； ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误； ∵抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a﹣， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2a﹣+c＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴③正确； 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c， 由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1， 故④错误． 故选：B． 二、填空题 13.小鸡孵化场孵化出一批小鸡，工人在其中50只小鸡上做记号后让这批小鸡充分跑散，后来再任意抓出100只小鸡，其中有记号的有10只，则这批小鸡大约有________只． 【答案】500 【解析】根据题意，这批小鸡的只数大约为50500（只）， 故答案为：500． 14.为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示： 以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 ________人． 【答案】240 【解析】估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500240（人）， 故答案为：240． 15.将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 　       ． 【答案】y＝2（x﹣1）2﹣2 【解析】将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣2． 故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2． 16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足表达式y＝﹣0.02x2+0.24x+a．已知球网与O点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距O点的水平距离为18米．若排球不碰球网且不出界，则a的取值范围是 　      　.（排球落在边界线上时为界内） 【答案】1.89＜a≤2.16 【解析】根据题意得：当x＝9时，y＝﹣0.02×92+0.24×9+a＝0.54+a＞2.43， 解得a＞1.89； 当x＝18时，y＝﹣0.02×182+0.24×18+a＝﹣2.16+a≤0， 解得a≤2.16； ∴排球不碰球网且不出界，则a的取值范围是1.89＜a≤2.16. 故答案为：1.89＜a≤2.16． 17.如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为 　  　． 【答案】16 【解析】设， 四边形周长， 当时，四边形周长有最大值，最大值为16． 故答案为：16． 三、解答题 18.求二次函数y＝x2﹣3x+10的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值． 【答案】解：∵y＝x2﹣3x+10＝（x﹣）2+， ∴该抛物线的顶点坐标为（，），且开口方向向上， ∴当x＝时，y取得最小值，最小值为． 19.在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小刚每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2000次重复摸球试验后，共摸出黑球1200次．请估计袋中黑球的个数． 【答案】解：通过2000次重复摸球试验后，共摸出黑球1200次， 设有x个黑球，根据题意得：， 解得：x＝6， 答：估计袋中黑球的个数为6个． 20.孔雀鱼凭借其华丽的外观，皮实易养的特性，得到了鱼友们的广泛好评．同时，孔雀鱼是卵胎生鱼，号称“百万鱼”，又说明了其容易繁殖且繁殖率高．但初生的孔雀鱼小鱼苗，体质差，抵抗力差，对水温、水质的变化极为敏感，因此，极易因水环境动荡生病，或是受到外界寄生虫、病菌的侵扰而患病．从孔雀鱼的出生到成年，需要三个月左右，成年后即可出售．下表记录的是在相同的条件下初生的小鱼苗的数量与饲养三个月后存活的可出售的成年鱼数量： 若饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，请估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量． 【答案】解：饲养三个月后小鱼苗的存活率为100%≈0.45， 9000×0.45＝4050（尾）． 故可估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量约为4050尾． 21.2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，学校对七年级500名学生进行了一次航空航天知识竞赛，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分，但两班均无满分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（用x表示成绩：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x＜50） 乙班成绩在D组的具体分数是： 42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45． 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m，n的值，m＝_______，n＝_______． （2）悠悠这次测试成绩是44分，在班上排名属中游略偏上，悠悠是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校七年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数． 【答案】解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42， 甲班的中位数一定落在D组，而甲班每组人数为：A组2人，B组2人，C组10人，D组24人，E组12人， 甲班的中位数是44.5，而D组：42≤x＜46整数，因此排序后处在第25、26位的两个数分别是44，45， 于是，可得甲班得45分的学生数为2+2+10+24﹣25＝13（人），是出现次数最多的， 所以，甲班成绩的众数是45，即m＝45， 故答案为：m＝45，n＝42； （2）∵悠悠的成绩为44分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42， ∴悠悠是乙班级学生； （3）甲班得45分及45分以上的有：13+12＝25（人），而乙班有：2+20＝22（人）， 两个班的整体优秀率为：47%， ∴500×47%＝235（人）， 即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为235人． 22.已知抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c）． ①求直线l所对应的函数表达式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：y＝（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，试探究直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2. （2）①当x＝1时，y＝x2＝1，即点C（1，1）， 则直线l的表达式为：y＝k（x﹣1）+1＝kx﹣k+1， ∵直线l与抛物线有且只有一个公共点， 则联立上述两个函数表达式得：x2＝kx﹣k+1， 则Δ＝k2﹣4k+4＝0， 解得：k＝2， 则直线l的表达式为：y＝2x﹣1. ②直线DE是否过定点（1，3），理由： 直线l向下平移2个单位得到直线l′，则直线l′为：y＝2x﹣3， 联立直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的表达式得：（r﹣1）x+r＝x2， 即x2﹣（r﹣1）x﹣r＝0， 而x1x2＝﹣r，xA＝﹣1＝x1， 则x2＝r＝xD， 即点D（r，r2）， 同理可得，点S（s，s2）， 联立直线m、n的表达式得：（r﹣1）x+r＝（s+2）x﹣2s， 解得：xP＝， 则点P的坐标为： ∵点P在直线y＝2x﹣3上， 则+r＝2×﹣3， 整理得：﹣sr+s+r＝3， 设直线DE的表达式为：y＝ax+b， 则，解得：， 则直线DE的表达式y＝（s+r）（x﹣1）+3， 当x＝1时，y＝3， 即直线DE过顶点（1，3）． 学科网（北京）股份有限公司 $