专题3.3 垂径定理（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.3 垂径定理 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：垂径定理 1 知识点梳理02：垂径定理的拓展 2 知识点梳理03：常见辅助线做法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用垂径定理求值 3 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 5 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 8 考点4：利用垂径定理求解其他问题 11 考点5：垂径定理的推论 12 考点6：垂径定理的实际应用 15 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 24 基础夯实 24 培优拔高 32 知识点梳理01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点梳理02：垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点梳理03：常见辅助线做法 ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．2.5 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键. 延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案. 【规范解答】延长交于点，连接， ∵， ∴. ∵点是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为. 故选D． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是 ． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 【变式训练01】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 【变式训练02】（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【思路点拨】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【规范解答】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【规范解答】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【变式训练01】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【规范解答】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式训练02】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【规范解答】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 考点4：利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】此题考查了垂径定理及其推论． 根据垂径定理及其推论判断各说法的正误，注意弦为直径时的特殊情况． 【规范解答】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】由垂径定理得垂直平分，进而推导出，，，，再根据三角形外角定理判断出，从而得到射门角越来越大的结论． 【规范解答】解：∵的圆心在上， ∴线段是的直径， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵， ∴， 即， ∴射门角的变化情况是越来越大． 故选：A． 【变式训练02】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再通过垂径定理可得，从而可证． 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 考点5：垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的有（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可． 【规范解答】解：A、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则不一定垂直），故A错误，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C错误，不符合题意； D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练01】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点D在内 【思路点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【规范解答】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是； 故答案为：． （2）解：圆的半径， 线段， 所以点在内． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． (2)的半径为______． (3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 【答案】(1) (2) (3)外；90 【思路点拨】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据勾股定理即可得到圆的半径； （3）根据圆D的半径为，即可判断点与圆的位置关系；连接，，，根据勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可得 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理及其逆定理等知识，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 【规范解答】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示， 则圆心D的坐标为； 故答案为：； （2）解：由平面直角坐标系得， 的半径为； 故答案为：； （3）解：∵点到圆心的距离为， 点在圆D外； 连接，，，由平面直角坐标系得，， ， 圆D的半径为， ， ， 是直角三角形， 故答案为：外； 考点6：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 【答案】(1)圆弧所在圆的半径的长为； (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． （1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【规范解答】（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 解得； 答：圆弧所在圆的半径的长为； （2）解：连接，   ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． ， 不需要采取紧急措施． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【规范解答】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 【变式训练02】（2025九年级上·全国·专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 米． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．过作半径于点，连接，如图，根据题意得，设的半径为米，则米，米，再利用垂径定理得到米，然后根据勾股定理得到，从而解方程求出即可． 【规范解答】解：过作半径于点，连接，如图，则米， 设的半径为米，则米，米， ， 米， 在中，， 解得， 即这个圆的半径为5米． 故答案为：5． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确运用转化的思想． 延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，先在中，由勾股定理得，则，然后证明，那么，当点共线时，取得最小值为，然后可得四边形为矩形，最后对运用勾股定理求解． 【规范解答】解：延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则， ∵，，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴取得最小值为， 故答案为：． 2．（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 【答案】米 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【规范解答】解：如图：连接交于D， 由题意得：（米），， ∴（米），， 在中，（米）， 米，即点C到弦所在直线的距离是米． 故答案为米． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆的综合以及勾股定理，得出圆形纸片半径最小时是图形的外接圆是解题的关键． 作图形的对称轴交于E，交于F，作图形的外接圆，由题意可知，点O在上，垂直平分和，连接、，设，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出半径即可得到答案． 【规范解答】解：作的垂直平分线交于E，交于F，作的垂直平分线交于O，连接、， 由题意可知：，， ∴，，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴， ∴r的最小值是， 故选：D． 4．（2024·陕西渭南·中考真题）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【规范解答】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为__________； (2)的面积是__________； (3)的度数为__________； (4)点P是x轴上的一点，且的值最小，则点P坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质等知识，掌握确定三角形的外接圆的圆心的方法是解题的关键． （1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为M点； （2）利用勾股定理可求得半径的长，再利用圆的面积公式求解即可； （3）根据勾股定理的逆定理可求得； （4）作出点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所作，根据图形即可得到点P的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，分别作，的垂直平分线交于点M，则点M为所求圆心， 由图得，点M的坐标为； ；     故答案为：； （2）解：如图，连接， ∴的半径为：， ∴的面积为：； 故答案为：； （3）解：连接，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：如图，点P坐标为． 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【规范解答】解：连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 作，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点O作，交于点E，交于点C，D，连接， ∴，点C是劣弧的中点，点D是优弧的中点， ∵， 根据勾股定理，得， ∴， 所以弦所对的弧的中点到的距离是或， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【规范解答】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】12 【思路点拨】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【规范解答】解：∵，的长为， ∴， ， ∴． 故答案为：12． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【规范解答】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 【答案】10 【思路点拨】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵在中，直径弦，垂足为， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：10． 7．（2025九年级上·河北·专题练习）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)，图见解析； (2)点D在外，证明见解析． 【思路点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）求出的半径，的长即可判断． 【规范解答】（1）解：画图如下： 由图可知：圆心M的坐标为； （2）解：圆的半径, 线段， 点D在外． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【思路点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的直径，是的弦，，垂足为E，． (1)线段的长为多少？ (2)弦的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． （1）根据的直径，则的半径为，再由，即可求解； （2）连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【规范解答】（1）解：∵的直径， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴． 培优拔高 11．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径求出及的长，再根据勾股定理可求出的长，进而得出结论． 【规范解答】解：连接， ∵的直径， ， ， ， ， 故选：C． 12．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】A 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理．连结，过点作半径于点，根据垂径定理得，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连结，过点作半径于点， 故选：A． 13．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，利用弦长、距离与半径的关系列方程求解． 过圆心作的垂线，利用垂径定理得弦的一半为，结合知四边形为矩形，再通过勾股定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可． 【规范解答】如图：过点O作，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，，半径， 在中，由勾股定理得 即 ①， 在中，由勾股定理得 即 ②， 由①②可知 ， 在中，，由勾股定理得 即， ， ， 解得， ， ， ． 故选C． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 【答案】 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可判定正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上，然后根据勾股定理分别求出平移前和平移后，最小覆盖圆的圆心到F的距离，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴正方形、、组合图的最小覆盖圆的圆心在直线上， 如图，设与的交点为P，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， 根据题意，得，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即； 向左移动后，如图，此时最小覆盖圆的圆心为，连接，， ∵过点A，G，K， ∴点在的垂直平分线上， ∴点在的延长线上． 根据题意，得，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴最小面积圆的圆心经过路程是， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 16．（25-26九年级上·天津·期中）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为 ． 【答案】 2或14 【思路点拨】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【规范解答】解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），           故答案为：或14． 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，则，可得，然后根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，则， 由题意，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 18．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． （）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论； （）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴为弧的中点， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知锐角三角形内接于圆O，于点D，连接． (1)若， ①求证：； ②当时，求面积的最大值． (2)点E在线段上，，连接，设，（m，n是正数），若，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)证明见解析 【思路点拨】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2）设，则，，，，求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：①连接、， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ， ； ②∵，， ∴， ∴， ∵长度为定值， ∴面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点O时，最大，即：， ∴面积的最大值； （2）证明：如图2，连接，， 设， 则，， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 20．（2025九年级上·北京·专题练习）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽毫米． (1)求油的最大深度； (2)如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【答案】(1)100mm (2)此时油面上升了100毫米或700毫米 【思路点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解． （1）连接圆心与弦的端点，作弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理求出弦心距，再结合圆的半径求出油的最大深度． （2）分油面在圆心下方和上方两种情况，同理构造直角三角形求出弦心距，进而计算出油面上升的高度． 【规范解答】（1）解：（1）过作交于，交圆于，连接， ， 直径 由勾股定理得，， 则； （2）（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面在圆心的下方时，连接， ， ，， 则， 同理，当在圆心上方时，可得． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 垂径定理 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：垂径定理 1 知识点梳理02：垂径定理的拓展 2 知识点梳理03：常见辅助线做法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用垂径定理求值 3 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 3 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 4 考点4：利用垂径定理求解其他问题 5 考点5：垂径定理的推论 6 考点6：垂径定理的实际应用 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点梳理02：垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点梳理03：常见辅助线做法 ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．2.5 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是 ． 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为 ． 【变式训练01】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【变式训练02】（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【变式训练01】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式训练02】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 考点4：利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【变式训练02】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 考点5：垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的有（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧． 【变式训练01】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． (1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． (2)的半径为______． (3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 考点6：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【变式训练02】（2025九年级上·全国·专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 米． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 2．（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西渭南·中考真题）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为__________； (2)的面积是__________； (3)的度数为__________； (4)点P是x轴上的一点，且的值最小，则点P坐标为__________． 基础夯实 1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在中，直径弦，垂足为E，已知，，则直径 7．（2025九年级上·河北·专题练习）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的直径，是的弦，，垂足为E，． (1)线段的长为多少？ (2)弦的长为多少？ 培优拔高 11．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 12．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 13．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 14．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图是由三张大小相同的正方形、、纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方形纸片的边长是，正方形向左平移，整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是 15．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 16．（25-26九年级上·天津·期中）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为 ． 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 18．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． (1)证明：； (2)若，求的度数． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知锐角三角形内接于圆O，于点D，连接． (1)若， ①求证：； ②当时，求面积的最大值． (2)点E在线段上，，连接，设，（m，n是正数），若，求证：． 20．（2025九年级上·北京·专题练习）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽毫米． (1)求油的最大深度； (2)如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $