3.4圆心角讲义2025-2026学年 浙教版九年级数学上册

3.4圆心角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 2 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 3 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（　　） A． B．3 C．4 D． 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 【典型例题】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【举一反三1】如图中是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】图中是圆心角的是（　　） A.   B.   C.   D.   【举一反三3】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为     ． 【举一反三4】如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=          . 【举一反三5】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【举一反三6】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 【典型例题】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A. B.2 C. D. 【举一反三1】如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A. B.1 C. D. 【举一反三2】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且．若∠COD=40°，则∠ADO=____________度． 【举一反三3】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 【典型例题】如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（    ） ①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE. A.①④ B.②③ C.②③④ D.①②③④ 【举一反三1】如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）    A.AB+CD＝EF B.AB+CD＜EF C.AB+CD≤EF D.AB+CD＞EF 【举一反三3】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．         （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．         （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．        （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．        【举一反三4】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CDAB．求证：． 【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4圆心角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 3 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 6 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q，再利用垂径定理求解OQ=OH=3，再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q， ∵AB=CD=8， ∴， ∵OC=OA=5， ∴， ∴OQ=OH， ∴AB⊥CD，OQ⊥CD，OH⊥AB， ∴四边形OQEH是正方形， ∴OH=EH=3， ∴． 故选：A． 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 【典型例题】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【举一反三1】如图中是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵∠AOB是圆心角， ∴∠AOB的顶点为圆心O． 故选C． 【举一反三2】图中是圆心角的是（　　） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B. 【举一反三3】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为     ． 【答案】200° 【解析】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°． 故答案为200°. 【举一反三4】如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=          . 【答案】36° 【解析】设∠AOE=2x，则∠BOC=∠COD=∠DOE=x， ∵∠AOB是平角， ∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°， ∴x+x+x+2x=180°， ∴x=36°, ∴∠DOE=36°. 故答案为36°. 【举一反三5】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）； ∵，，， ∴. （2）∵，，，， ∴， ∴. 【举一反三6】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 【典型例题】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A. B.2 C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A. B.1 C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， , , 又， ,即， , ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且．若∠COD=40°，则∠ADO=____________度． 【答案】30 【解析】∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：30． 【举一反三3】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【答案】解：（1）连接，如图，设的半径为，则，， 平分， ，， 在中，， 解得， 即的半径为； （2）连接，如图， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即弦所对的圆心角的度数为． 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 【典型例题】如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（    ） ①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE. A.①④ B.②③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE=DE，，， ∴∠BOC=2∠A=40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC=90°，∠BOC=40°， ∴∠C=50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP=90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE， ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 【举一反三1】如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、∵点A是中点， ∴， ∴， 无法得出，故选项A错误； B、如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项正确； C、∵， ∴，故选项C错误； D、无法得出，故选项D错误． 故选：B．    【举一反三2】如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）    A.AB+CD＝EF B.AB+CD＜EF C.AB+CD≤EF D.AB+CD＞EF 【答案】D 【解析】如图，在弧EF上取一点M，使，    则， 所以AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， 所以AB+CD＞EF， 故选：D． 【举一反三3】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．         （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．         （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．        （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．        【答案】（1）真命题 （2）假命题 （3）真命题 （4）假命题 【解析】对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【举一反三4】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CDAB．求证：． 【答案】解：连接OC，OD， ∵CDAB， ∴，， ∵OC， ∴， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵， ∴，即， ∴BM＝CM． 学科网（北京）股份有限公司 $