专题3.2 图形的旋转（知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.2 图形的旋转 （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转的概念 2 知识点梳理02：旋转的性质 2 知识点梳理03：旋转的作图 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断生活中的旋转现象 3 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 3 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 4 考点4：求旋转中心的个数 6 考点5：旋转中的规律性问题 7 考点6：根据旋转的性质求解 8 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 9 考点8：旋转的性质及辨析 11 考点9：画旋转图形 15 考点10：利用旋转设计图案 18 考点11：旋转对称图形的识别 20 考点12：求旋转对称图形的旋转角度 21 考点13：求绕原点旋转90度的点的坐标 22 考点14：求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 23 考点15：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 24 考点16：坐标与旋转规律问题 25 考点17：线段问题(旋转综合题) 27 考点18：面积问题(旋转综合题) 30 考点19：角度问题(旋转综合题) 32 考点20：其他问题(旋转综合题) 34 考点21：坐标系中的旋转 39 中考真题 实战演练 41 难度分层 拔尖冲刺 46 基础夯实 46 培优拔高 53 知识点梳理01：旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 知识点梳理02：旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点梳理03：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 考点1：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【思路点拨】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是 ． 【答案】旋转和平移 【思路点拨】本题考查生活中的平移和旋转，根据旋转和平移的定义，进行判断即可． 【规范解答】解：“坐地日行八万里只考虑地球自转”蕴含的是图形的旋转， “飞流直下三千尺”蕴含的是图形的平移， 故答案为：旋转和平移． 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．利用旋转的性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：根据旋转的意义，字母按顺时针方向旋转，即两个字母成中心对称， 从而可确定为D选项， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，由旋转性质逐个分析即可得到答案．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【规范解答】解：A、该图形无法通过旋转得到，不符合题意； B、该图形可以由一个蜡烛连续旋转得到，符合题意； C、该图形可以由一个菱形连续旋转得到，不符合题意； D、该图形可以由一朵花儿连续旋转得到，不符合题意； 故选：B． 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【规范解答】解：∵将绕点A旋转得到， ∴旋转角是或． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． (1)旋转中心是点 ，旋转角度是 ； (2)求的长． 【答案】(1)C， (2) 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质： （1）根据旋转的性质解答即可； （2）根据直角三角形的性质可得，再由旋转的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：旋转中心是点C，旋转角度是； 故答案为：C；120 （2）解：∵， ∴，． 由旋转的性质可得：， ∴． 考点4：求旋转中心的个数 【典例精讲】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【规范解答】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【规范解答】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图形的旋转和周期问题．找到机器狗运动的周期规律是解题的关键． 先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【规范解答】解：由题可知，机器狗1分钟转动， 则机器狗转动一周所需时间为分钟， 所以经过分钟，机器狗走的周期数为， 所以机器狗的位置为， 从P点（O点正北方），逆时针转动，此时机器狗的位置与选项D中图形一致， 故选D． 【变式训练】（2024九年级上·湖南益阳·竞赛）如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【规范解答】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 考点6：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（   ）平方厘米． A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查旋转对称图形，根据图示，将不规则图形面积转化是解题的关键． 根据旋转可得一个叶片的总面积，进而可得答案. 【规范解答】解：∵三个叶片的总面积为， ∴一个叶片的面积为8平方厘米， ∵， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积即8平方厘米， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【规范解答】解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【规范解答】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 【变式训练】（2025·广东·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】将绕点D顺时针旋转，得到，连接，证明，得出相等的边和角，利用勾股定理求出，，作于点K，最后利用勾股定理和线段的和差即可求解． 【规范解答】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 将绕点D顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， 作于点K，则， ∴， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 故答案为：． 考点8：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 根据平移和旋转的性质逐项求解判断即可． 【规范解答】解：选项A中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项B中图形通过平移可以得到，不符合题意． 选项C中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项D中图形通过旋转无法得到，故选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是正方形 (2)①，理由见解析；② 【思路点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键． （1）由旋转的性质得出, ,证出，由平行四边形的判定可得出结论． （2）①过点M作交于点E，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，则可得结论． ②分两种情况，当点M在射线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线上时，同理． 【规范解答】（1）证明：将线段绕点M逆时针旋转，当点M与点A重合， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． （2）解：①．证明如下： 如图，过点M作交于点E，连接，则． ，， ． ， ． ． 将线段绕点M逆时针旋转得到， ，． ． ． ． 在和中， ． ，． ． ． ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ． ②设的中点为O， 当点M在射线上时， 由①得： ， ．， 为等腰直角三角形，， ， ； 点M在射线上时，过点M作交于点E， 连接，则． ，， ． ， ． ． 将线段绕点M逆时针旋转得到， ，． ． ． ． 在和中， ． ，， ，， ， ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ， ， ． 考点9：画旋转图形 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)点的坐标是_____；点的坐标是_____； (3)线段的长是_____． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【思路点拨】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O顺次连接即可； （2）根据图形写出点的坐标即可； （3）根据勾股定理即可得出的长． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：此时的坐标为，的坐标为； 故答案为：，； （3）解：． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)画出关于轴的对称图形； (3)在（2）中，的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了坐标与图形变化中旋转和轴对称，旋转变换绕原点逆时针旋转时，点的坐标变为，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，在直角坐标系中得到各点旋转或对称点的坐标，连接这些点，可得到所求作图形．三角形的面积此题采用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差．此题中掌握图形旋转和轴对称变换的特点是解决问题的关键． （1）直接利用旋转的性质依次得到旋转后的点，围绕原点逆时针旋转得到，围绕原点逆时针旋转得到，围绕原点逆时针旋转得到，连接三个点，画出图形即得到； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点,，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，连接三个点，画出图形即可得到； （3）的面积为所在长方形的面积减去其余三个三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：， 答：的面积为． 考点10：利用旋转设计图案 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【规范解答】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 【答案】16 【思路点拨】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论． 【规范解答】解：延长AT交BC于点P， ∵AP⊥BC， ∴•BC•AP=12， ∴×6×AP=12， ∴AP=4（cm）， 由题意，AT=PT=2（cm）， ∴BE=CD=PT=2（cm）， ∵DE=BC=6cm， ∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）． 故答案为：16． 考点11：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键是掌握旋转对称图形的定义． 根据旋转对称图形的定义逐项进行判断即可，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形． 【规范解答】解：A.该图形旋转一定角度后，不能与其自身重合，符合题意； B.该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； C. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； D. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】③④ 【思路点拨】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可. 【规范解答】根据图形的特殊性可以得出，内层图案是按轴对称设计的，外层图案是按旋转设计的，说法①②错误，说法③④正确． 故答案为：③④. 考点12：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林白山·期中）把如图所示的图形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则这个旋转角至少是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了旋转的概念，通过计算除以图案的对称部分数量来确定最小旋转度数是解题的关键． 通过图案可知对称部分的数量为3，利用除以即可得解； 【规范解答】， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是； 故答案是：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·期中）物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（   ） A．22.5 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【思路点拨】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【规范解答】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即． 故选：C． 考点13：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化．先根据把点向右平移6个单位得到点，可得点的坐标为，然后分两种情况，即可求解 【规范解答】解：∵把点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标为：， 如图所示： 将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：， 将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：， 故符合题意的点的坐标为：或． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·四川德阳·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数图象的平移和旋转．先通过平移变换得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【规范解答】解：把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，解析式为； ∵绕原点旋转，顶点变为，开口方向由向上变为向下， ∴旋转后的解析式为． 故选：A． 考点14：求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·期中）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； (2)点的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【思路点拨】本题考查了图形的旋转及旋转后点的坐标确定． （1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点按顺时针方向旋转，然后连接各对应点得到旋转后的； （2）在画出旋转后的图象后，通过观察图象确定点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由（1）中的图象可知，此时点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 过点作轴于点D，证明，再利用全等三角形的对应边相等求解． 【规范解答】解：∵点， ∴， 过点作轴于点D，则 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点15：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）以原点为中心，将点逆时针方向旋转，得到的点处标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形变化一旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．旋转180°相当于关于原点对称，坐标取反．根据旋转的性质，点绕原点旋转180°后，坐标变为原坐标的相反数． 【规范解答】解：点绕原点逆时针旋转， 新点的坐标为． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质．根据题意求得点的坐标为，，再根据旋转的性质求解即可． 【规范解答】解：由题意得点C的坐标为，且， 将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点的坐标为，即，且，， 将所得图形绕原点顺时针旋转，得到点的坐标为， 故答案为：． 考点16：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能根据旋转的性质依次求出点对应点的坐标并发现规律是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：∵点坐标为，点坐标为， ， 在 中，， 由旋转可知，， ， 则点的坐标为． 又 ∵， ∴点的坐标为． 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 由此可见，点的纵坐标按 0，4 循环出现，且横坐标比的横坐标大 12 （为正整数）， 因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了坐标与旋转规律问题及旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质，利用数形结合的思想，找出图形的运动规律：每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限． 【规范解答】解：∵，， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限， ∴点D的坐标为． 故选：B． 考点17：线段问题(旋转综合题) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于，首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小，然后证明当时，四边形是矩形，结合等腰三角形的性质，分别求得和即可解答． 【规范解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 设，则， 作轴于点，如下图， ∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，BQ有最小值，最小值为． 故选：A． 考点18：面积问题(旋转综合题) 【典例精讲】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【规范解答】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在， , ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 【变式训练】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【规范解答】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积 的面积 的面积 考点19：角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质． 根据旋转的性质，可得知，，利用垂直的定义以及直角三角形两锐角互余求得的度数，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵绕点C顺时针旋转后得到了， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：53． 【变式训练】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【规范解答】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 考点20：其他问题(旋转综合题) 【典例精讲】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，为斜边的中点，，， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于， ∴，，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【思路点拨】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线后，之前；时；后，讨论即可． 【规范解答】解：∵绕点A逆时针旋转得到，线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ，，， ，， ①当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时， ， ， 又， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ②当B、D、E三点共线且D在B、E之间， ，， ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； ③当逐渐变大，B、D、E三点共线之后， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ④当时， ， 又， ， ， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 当后时， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 当的度数从逐渐增大到的过程中，四边形的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形． 故选：D． 考点21：坐标系中的旋转 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形全等的性质和判定，图形与坐标，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作轴于点 C，可证明，则，则题目可求． 【规范解答】解：如图，过点 作轴于点 C， ∵， ， ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】分为点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解即可． 本题考查了菱形的对称性、坐标与图形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是要分情况讨论． 【规范解答】解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到x轴正半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． 同理：当点D旋转到x轴负半轴时，点C的坐标为． ∴点C的坐标为或． 故选：D． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，的顶点坐标依次为，将绕点C逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了根据旋转的性质求解，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，判断三边能否构成直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据旋转的性质得出，进而根据、的坐标求出点的纵坐标为6，再利用勾股定理的逆定理证明，从而可求得点的横坐标，由此可得点的坐标． 【规范解答】解：将绕点C逆时针旋转，如图， 则， ，， ， 点的纵坐标为6， ， ，， ， ， 点在直线上， 点的横坐标为2， 点的坐标， 故选：D． 2．（2024·安徽淮南·中考真题）如图，菱形的对角线交于原点，，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标即可求解． 【规范解答】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ，， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：A． 3．（2024·福建福州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． 在图中画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标____． 【答案】；图见解析． 【思路点拨】本题考查了画旋转图形，求点的坐标． 根据要求画旋转图形，进而根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【规范解答】如图，即为所求，可知点的坐标． 故答案为：． 4．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】根据旋转的性质得到，，结合等边对等角得出，根据平行线的性质和平角的定义求出，根据等边三角形的判定和性质得出，结合三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上， 故，， ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 5．（2024·全国·中考真题）如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值（或配方法求最值），解题的关键是通过旋转构造全等三角形，将的面积转化为可求的形式，再结合勾股定理和二次函数最值求解． 将绕点旋转得到，证明，从而将转化为；设，，利用勾股定理得到与的关系，再将表示为关于的函数，最后通过配方法（或二次函数性质）求出最小值． 【规范解答】解：如图，将绕点顺时针旋转90°得到， 由旋转的性质得，，， ，， ， ， 在和中， （SAS）， ， ． 设，，则，，，， 在中，， ， 化简得：， ， 当时，， 的最小值为． 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，然后问题可求解． 【规范解答】解：由旋转的性质可知， ∵， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式． 【规范解答】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键．分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标． 【规范解答】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为 度． 【答案】108 【思路点拨】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据邻补角的定义即可求解． 【规范解答】解：由旋转得， ∴， ∴， 故答案为：108． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查旋转的性质，根据旋转得到，结合即可得到答案； 【规范解答】解：∵以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 °． 【答案】52 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【规范解答】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为52． 7．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转．根据旋转的性质可得答案． 【规范解答】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴对应点的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． 画出绕点B顺时针旋转得到的图形，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，． 【思路点拨】本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 根据旋转变换画出图形，然后读出点的坐标即可． 【规范解答】解：如图所示，即为所求， ∴． 9．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)如图1，请画出关于原点对称的图形，并直接写出各顶点的坐标，___________，___________，___________； (2)如图2，若将点绕点顺时针旋转得到点，请在图中画出点，并直接写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析， 【思路点拨】本题考查了坐标平面内图形的变换：中心对称，旋转： （1）作出点A，B，C关于原点对称的对应点，即可求解； （2）根据旋转的性质作出点，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； ； 故答案为： （2）解：如图，即为所求， ∵将点绕点顺时针旋转得到点，， ∴． 故答案为： 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 培优拔高 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先根据三角形内角和定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后计算即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 12．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（   ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【思路点拨】根据题中所给的信息逐一分析每个说法并进行判断选择正确的说法即可． 【规范解答】解：如图，连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，， ∵是的中点，是的中点， ∴根据中位线定理：且，且， 同理，且，且， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵绕点A旋转α， 根据旋转的对称性可知，设与的夹角为θ，则与的夹角也为θ， ∵，， ∴， 同理，，，故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴一定是等边三角形，故说法②正确，说法①可能是直角三角形错误； ∵的边长为b，若与它全等，则， 由中位线的性质可知，的长度取决于和的位置关系， 当旋转至且方向相同时，， 若，则， ∵， ∴最大为，即两个三角形无法全等，故③错误； 根据三角形三边关系，对于，有，， ∴，即,故④正确； 综上所述，说法正确的有②④． 故选：D． 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及三角形面积公式，解题的关键在于熟知正方形的性质、旋转的性质．过点作于点，过点作交延长线于点，连接交弧于点，利用旋转的性质得到和，进而证得，再结合正方形的性质，求出的底和高，进而求出其面积． 【规范解答】如图，过点作于点，过点作交延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【规范解答】解：连接，如图所示： 由旋转的性质可知：，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查对坐标与图形变换-旋转，全等三角形的性质和判定，过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出，即可． 【规范解答】解：过A作轴于C，过作轴于D， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴的坐标是， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于 ． 【答案】/ 【思路点拨】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【规范解答】解：由旋转得， 连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，已知的顶点均在网格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)作出关于原点O对称的图形，点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，并顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：作图如图，为所作的图形． （2）解：作图如图，为所作的图形．的坐标为． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【答案】(1)①见解析  ②，理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可； ②在上截取，连接， 根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可； （2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可． 【规范解答】（1）①证明：由旋转可得：，， ∴是等边三角形； ②，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长到点N，使得，连接，，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点D作于点P，过点N作于点Q， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位：     (1)请在图中作出以为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； (2)若点的坐标为，请在图中画出直角坐标系；（不用写结论）则点坐标为____________，关于点对称的点坐标为__________________． 【答案】(1)见解析 (2)建立坐标系见解析，点A的坐标为；点关于点对称的点坐标为 【思路点拨】本题考查旋转作图，建立平面直角坐标系，写出点的坐标； （1）根据旋转的性质，在图中画出以D为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形即可； （2）根据点的坐标，在图中建立直角坐标系，然后写出点A，，D的坐标，然后根据中心对称的点的坐标特征得到关于点对称的点坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：建立平面直角坐标系如图所示： 如图，点A的坐标为； ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点关于点对称的点坐标为， 故答案为：；． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 图形的旋转 （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转的概念 2 知识点梳理02：旋转的性质 2 知识点梳理03：旋转的作图 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断生活中的旋转现象 3 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 3 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 4 考点4：求旋转中心的个数 4 考点5：旋转中的规律性问题 5 考点6：根据旋转的性质求解 6 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 6 考点8：旋转的性质及辨析 7 考点9：画旋转图形 8 考点10：利用旋转设计图案 9 考点11：旋转对称图形的识别 9 考点12：求旋转对称图形的旋转角度 9 考点13：求绕原点旋转90度的点的坐标 10 考点14：求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 10 考点15：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 11 考点16：坐标与旋转规律问题 11 考点17：线段问题(旋转综合题) 12 考点18：面积问题(旋转综合题) 12 考点19：角度问题(旋转综合题) 13 考点20：其他问题(旋转综合题) 14 考点21：坐标系中的旋转 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 20 知识点梳理01：旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 知识点梳理02：旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点梳理03：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 考点1：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【变式训练】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是 ． 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． (1)旋转中心是点 ，旋转角度是 ； (2)求的长． 考点4：求旋转中心的个数 【典例精讲】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式训练】（24-25九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024九年级上·湖南益阳·竞赛）如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 考点6：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（   ）平方厘米． A．14 B．12 C．10 D．8 【变式训练】（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是 ． 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·广东·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 考点8：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 考点9：画旋转图形 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)点的坐标是_____；点的坐标是_____； (3)线段的长是_____． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)画出关于轴的对称图形； (3)在（2）中，的面积为 ． 考点10：利用旋转设计图案 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 考点11：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是 （填序号）． 考点12：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林白山·期中）把如图所示的图形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则这个旋转角至少是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·期中）物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（   ） A．22.5 B．30 C．45 D．60 考点13：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26九年级上·四川德阳·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　  　） A． B． C． D． 考点14：求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·期中）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； (2)点的坐标为______． 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 考点15：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）以原点为中心，将点逆时针方向旋转，得到的点处标为（　　）． A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为 ． 考点16：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点17：线段问题(旋转综合题) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 考点18：面积问题(旋转综合题) 【典例精讲】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 考点19：角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为 ． 【变式训练】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 考点20：其他问题(旋转综合题) 【典例精讲】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为 ． 【变式训练】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 考点21：坐标系中的旋转 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，的顶点坐标依次为，将绕点C逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮南·中考真题）如图，菱形的对角线交于原点，，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． 在图中画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标____． 4．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为 ． 5．（2024·全国·中考真题）如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为 ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为 度． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，若，则 ． 6．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 °． 7．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为 ． 8．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． 画出绕点B顺时针旋转得到的图形，并写出点的坐标． 9．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)如图1，请画出关于原点对称的图形，并直接写出各顶点的坐标，___________，___________，___________； (2)如图2，若将点绕点顺时针旋转得到点，请在图中画出点，并直接写出点的坐标为___________． 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 培优拔高 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（   ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是 ． 15．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，若，则 ． 16．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 17．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于 ． 18．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，已知的顶点均在网格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)作出关于原点O对称的图形，点的坐标为 ． 19．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 20．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位：     (1)请在图中作出以为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； (2)若点的坐标为，请在图中画出直角坐标系；（不用写结论）则点坐标为____________，关于点对称的点坐标为__________________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $