专题3.1 圆（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.1 圆 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的定义 2 知识点梳理02：弦、弧、圆心角 2 知识点梳理03：点和圆的位置关系 3 知识点梳理04：过已知点作圆 4 知识点梳理05：三角形的外接圆 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：圆的基本概念辨析 5 考点2：求圆中弦的条数 5 考点3：求过圆内一点的最长弦 6 考点4：圆的周长和面积问题 6 考点5：判断点与圆的位置关系 6 考点6：利用点与圆的位置关系求半径 7 考点7：已知半径和圆上两点作圆 7 考点8：三角形外接圆的概念辨析 7 考点9：求三角形外心坐标 8 考点10：求特殊三角形外接圆的半径 8 考点11：已知外心的位置判断三角形的形状 8 考点12：判断三角形外接圆的圆心位置 9 考点13：判断确定圆的条件 9 考点14：确定圆心(尺规作图) 9 考点15：求能确定的圆的个数 10 考点16：点与圆上一点的最值问题 11 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 15 知识点梳理01：圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点梳理02：弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点梳理03：点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 知识点梳理04：过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点梳理05：三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 考点1：圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 考点2：求圆中弦的条数 【典例精讲】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 考点3：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 考点4：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【变式训练】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点5：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到圆心的距离为cm，则点与的位置关系是（   ） A．内 B．上 C．外 D．以上都有可能 考点6：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 考点7：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 考点8：三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 考点9：求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 考点10：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）内接于，若，，，则的半径是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为 ． 考点11：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【变式训练】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 考点12：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【变式训练】（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 考点13：判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个命题，其中正确的是（    ） A．弦是直径 B．经过三个点一定可以作圆 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D．两个半圆是等弧 【变式训练】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 考点14：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 考点15：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知 ，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式训练】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 考点16：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【变式训练】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 1．（2024·全国·中考真题）如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，的对角线相交于点，是以为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接，点为的中点，连接，若，则的最大值为 ． 4．（2024·天津南开·中考真题）如图，是的弦，C是上一点，且，，则的度数是 ，的半径为 ． 5．（2024·福建福州·中考真题）如图，C，D，G分别是半圆O的直径上的点，点E，F，N在上，点M在上，且四边形和四边形都是正方形． (1)求证：； (2)求证：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列说法中正确的是（   ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半径是弦 4．（2025九年级·全国·专题练习）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 5．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的 ． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则 ． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 10．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 培优拔高 11．（2025九年级上·山东·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 12．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点F到线段的最短距离是 ． 16．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中得出的．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、 AC 为半径的弧与AD延长线的交点，称 的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为 ． 17．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，），最大值为，那么把的值称为点与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点，，． ①_____； ②若点M在线段EF上，直接写出的取值范围是_____； (2)若点在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出的最小值和最大值． 19．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的定义 2 知识点梳理02：弦、弧、圆心角 2 知识点梳理03：点和圆的位置关系 3 知识点梳理04：过已知点作圆 4 知识点梳理05：三角形的外接圆 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：圆的基本概念辨析 5 考点2：求圆中弦的条数 6 考点3：求过圆内一点的最长弦 7 考点4：圆的周长和面积问题 8 考点5：判断点与圆的位置关系 10 考点6：利用点与圆的位置关系求半径 10 考点7：已知半径和圆上两点作圆 11 考点8：三角形外接圆的概念辨析 12 考点9：求三角形外心坐标 13 考点10：求特殊三角形外接圆的半径 15 考点11：已知外心的位置判断三角形的形状 16 考点12：判断三角形外接圆的圆心位置 17 考点13：判断确定圆的条件 19 考点14：确定圆心(尺规作图) 20 考点15：求能确定的圆的个数 21 考点16：点与圆上一点的最值问题 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 34 知识点梳理01：圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点梳理02：弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点梳理03：点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 知识点梳理04：过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点梳理05：三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 考点1：圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【思路点拨】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【规范解答】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【思路点拨】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【规范解答】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 考点2：求圆中弦的条数 【典例精讲】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【规范解答】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式训练】（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【规范解答】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 考点3：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【规范解答】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【规范解答】解： 的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 考点4：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【规范解答】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 【变式训练】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【规范解答】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 考点5：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【规范解答】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到圆心的距离为cm，则点与的位置关系是（   ） A．内 B．上 C．外 D．以上都有可能 【答案】C 【思路点拨】本题考查判断点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径大小即可判断. 【规范解答】解：∵ 圆的半径，点P到圆心O的距离 ，且， ∴， ∴点P在外； 故选：C． 考点6：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【规范解答】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 【答案】4或5/5或4 【思路点拨】本题考查圆与坐标轴的位置关系，掌握根据圆心到坐标轴的距离及圆的半径，分析公共点数量是解题的关键． 分析圆心到坐标轴的距离，分圆与轴相切、圆经过原点两种情况，判断圆与坐标轴的公共点数量，从而确定半径． 【规范解答】解：圆心到轴距离为4，到轴距离为3，到原点距离为． 当圆与轴相切时，半径，此时圆与轴相交于两点，公共点共个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与轴、轴各有一个除原点外的交点，公共点共个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与轴相切，有个交点，与轴无交点，公共点数为； 当时，与轴有两个交点，与轴无交点，公共点数为； 当或时，与轴和轴各有两个交点，公共点数为； 故半径为或时，圆与坐标轴有且只有个公共点． 故答案为：或． 考点7：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【规范解答】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据点与圆的位置关系计算即可； 【规范解答】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 考点8：三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【规范解答】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了三角形的外心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．根据三角形的外心的概念作出回答，结合选项得出结果． 【规范解答】解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心． 故选：B． 考点9：求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【规范解答】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 【答案】． 【思路点拨】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【规范解答】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 考点10：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）内接于，若，，，则的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为 ． 【答案】12.5 【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理、圆周角定理的推论，根据勾股定理逆定理可得这个三角形是直角三角形，再根据圆周角定理的推论可得这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，进而求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∵这个三角形的直角是它的外接圆的圆周角， ∴这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径， ∴它的外接圆半径为， 故答案为：12.5． 考点11：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【规范解答】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【变式训练】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【规范解答】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 考点12：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·河北·期末）三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键． 先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解． 【规范解答】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 【变式训练】（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由，，都在上，得点P在y轴上，设，根据两点间的距离即可求出b的值，则圆心，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解． 【规范解答】解：是的外接圆， 点在、、垂直平分线的交点上，， ，， 点在轴上， 设， ， ， 圆心的坐标为， 是其外接圆上任意一点， ， ， 设，则， ， 整理得， 为实数， ， 解得， 的最大值为． 故答案为：． 考点13：判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个命题，其中正确的是（    ） A．弦是直径 B．经过三个点一定可以作圆 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D．两个半圆是等弧 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的有关概念，弦，弧，圆的确定，外心等知识点． 根据弦、等弧的概念以及外心的性质，圆的确定条件判断各选项即可． 【规范解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； B、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确，符合题意； D、能够互相重合的弧是等弧，由于两个半圆的半径不一定相等，故两个半圆不一定能重合，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【规范解答】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 考点14：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查圆的确定，中垂线的判定，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法，是解题的关键： （1）分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心； （2）连接交于点，连接，推出垂直平分，勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． （2）解：连接交于点，连接，则：， ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【规范解答】解：圆心O如图． 考点15：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知 ，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【规范解答】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【规范解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 考点16：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，    则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【思路点拨】当三点在一条直线上时，线段的长取得最值，由此用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点， ． ， ． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为． 故答案为：8；18． 1．（2024·全国·中考真题）如图，为锐角三角形ABC的外接圆，有下列结论：①；②若，则；③若，则直线．其中错误的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了三角形的外接圆和等腰三角形的性质，熟练掌握相对应的知识点是解答本题的关键． 通过分析每个结论的正确性来判断错误结论的数量即可． 【规范解答】解：∵为锐角的外接圆， ∴ 当时，，故结论①②正确，不符合题意； 若，则直线，直线不一定垂直于，故结论③错误，符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【规范解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 3．（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，的对角线相交于点，是以为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接，点为的中点，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质，圆的基本概念等知识点，得到点P的轨迹是解题的关键． 连接，根据平行四边形对角线互相平分知、，由点P为中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴、， ∵点P为中点， ∴，且， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆， ∴当与交于点P时，最大，为． 故答案为：5． 4．（2024·天津南开·中考真题）如图，是的弦，C是上一点，且，，则的度数是 ，的半径为 ． 【答案】 /30度 【思路点拨】本题考查了圆的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据30度角的性质求出，从而利用勾股定理求出半径． 【规范解答】解：连接． ， ． ， ． ． ， ． ，即． ． ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·福建福州·中考真题）如图，C，D，G分别是半圆O的直径上的点，点E，F，N在上，点M在上，且四边形和四边形都是正方形． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】（1）连接，证明，即可解答． （2）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，列出方程得出，即可证明． 【规范解答】（1）证明：连接，则， ∵四边形为正方形， ， ∴在和中： ， ， ． （2）证明：连接，设正方形的边长为，正方形的边长为． 则． 在中，． 在中，， ， 整理得，则， ∴或， 解得：或（不合题意，舍去）． ， ， ∵， ∴． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系， 点A在圆外，因此点A到圆心的距离大于圆的半径，据此确定半径的取值范围即可得到答案． 【规范解答】∵点A在圆O外， ∴的长大于圆O的半径， ∵， ∴圆O的半径小于4， ∴圆O的半径可能是3， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外；已知的半径，所以当点在圆外时，． 【规范解答】解：∵点在外，的半径为， ∴ 故选C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列说法中正确的是（   ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半径是弦 【答案】C 【思路点拨】掌握圆的基本概念是解题的关键，注意区分弦、直径、弧和半径的定义． 根据圆的基本概念，弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦且是圆中最长的弦；弧是圆上两点间的部分，不一定是半圆；半径不是弦． 【规范解答】∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径； ∴ A错误． ∵ 弧是圆上两点间的部分，半圆是弧的一种，但弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆； ∴ B错误． ∵ 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，因为任何其他弦的长度都小于直径； ∴ C正确． ∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，而弦需要两个端点都在圆上； ∴ D错误． 故选：C． 4．（2025九年级·全国·专题练习）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【规范解答】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的 ． 【答案】外心 【思路点拨】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【规范解答】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求得的度数，根据 ，等边对等角得到的度数． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，先根据勾股定理算出，再结合点与圆的位置关系进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内， ∴， 即， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【思路点拨】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 10．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴． 培优拔高 11．（2025九年级上·山东·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【规范解答】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围． 【规范解答】解：如图，连接，，取的中点，连接，， ，， ，， ， ， ， 的半径为5， ， ,分别为，的中点，， 为的中位线， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， ， ， 的取值范围为． 故选C． 13．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【规范解答】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 【答案】57 【思路点拨】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【规范解答】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点F到线段的最短距离是 ． 【答案】 / 2 【思路点拨】如图：连接，作于，由可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，再由勾股定理可得，然后求出的最小值；然后证明四边形是矩形可得，进而求得点到线段的最短距离． 【规范解答】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， 连接，作于，连接， 由翻折得， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 在中，由勾股定理得，， ∵，即， ∴当点共线，且点在线段上时，的最小值为， ， 四边形是矩形， ， 点在上时，点到线段的距离最短，即为， 故答案为：，2． 16．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中得出的．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、 AC 为半径的弧与AD延长线的交点，称 的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，正方形的性质，以及圆的知识，运用勾股定理求值是解题的关键． 根据以及勾股定理即可求解． 【规范解答】解：由题意知：， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 故答案为 ． 17．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【规范解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，），最大值为，那么把的值称为点与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点，，． ①_____； ②若点M在线段EF上，直接写出的取值范围是_____； (2)若点在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)①4；② (2) (3)的最小值为，最大值为 【思路点拨】此题考查了圆的性质和新定义、勾股定理、一次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想方法，寻找特殊位置解决数学问题． （1）①根据到的距离的最小值，最大值，即可求解； ②当M在点E处，，当M在点F处，，即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，再根据点与直线的位置关系求出和的取值范围，最后计算“美好距离”的取值范围． （3）根据“美好距离”的定义求出点到圆心的距离的取值范围，再结合正方形的性质，利用数形结合的方法，即可求出的最小值和最大值． 【规范解答】（1）解：①到的距离的最小值，最大值， ， 故答案为：4； ②当在点处，到的距离的最小值，最大值， ∴， 当在点处，到的距离的最小值，最大值， ∴， ； 故答案为：； （2）解：设， ，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，交轴于点，如图1， 则时，；时，， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， ∴， 当时，最小， ，即， ， 无最大值， ； （3）解：如图2， 的最小值为2，最大值为6， 两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的半径为6， ①当点P在小正方形的边上运动时，m取得最小值， ， ∴，即， 的最小值是； ②当点P在大正方形的边上运动时，m取得最大值， 在中，，，， ， 解得：舍去负值）； 的最小值为，最大值为. 19．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 【规范解答】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)内 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【规范解答】（1）解：如图，圆心的坐标为； ； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 即的半径为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点在内． 故答案为：内． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $