专题07 随机变量及其分布（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

专题07 随机变量及其分布 7大高频考点概览 考点01 独立事件的乘法公式 考点02 条件概率和全概率公式 考点03 分布列 考点04 二项分布和超几何分布 考点05 正态分布 考点06 独立性检验 考点07 回归方程 地 城 考点01 独立事件的乘法公式 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A．0.441 B．0.63 C．0.819 D．0.9 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)现有2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为0.9，且互不影响，则2台机床都不需要照看的概率为（    ） A．0.81 B．0.9 C．0.1 D．0.09 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 二、多选题 5．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知，，则与 ．（填“独立”或“不独立”） 四、解答题 7．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 8．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 地 城 考点02 条件概率和全概率公式 1、 单选题 1．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二·辽宁名校联盟·)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 5．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·期末)此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 二、多选题 6．(24-25高三上·四川仁寿第一中学校（北校区）·期中)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 地 城 考点03 分布列 一、单选题 1．(23-24高二上·辽宁县级重点高中协作体·期末)设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 地 城 考点04 二项分布和超几何分布 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 1 2 3 4 3．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. X 0 1 2 3 P 4．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 0 1 2 3 产量 0 设备运行概率 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 地 城 考点05 排列数和组合数的计算 1、 多选题 1．(24-25高二·辽宁名校联盟·)下列命题中真命题是（    ） A．的展开式中含项的系数为 B．随机变量，若方差，则 C．若随机变量，且，则 D．甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 三、解答题 3．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 4．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 地 城 考点06 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二·辽宁名校联盟·)针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．54 B．48 C．42 D．36 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名消费者中中老年人的人数为300，青年人的人数为500，其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍． 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 中老年人 合计 (1)请将上面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关； (2)按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 400 100 500 中老年人 200 100 300 合计 600 200 800 2 3 4 地 城 考点06 回归方程 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)某手机商城统计的2024年5个月手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（    ） A． B．与正相关 C．当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 随机变量及其分布 7大高频考点概览 考点01 独立事件的乘法公式 考点02 条件概率和全概率公式 考点03 分布列 考点04 二项分布和超几何分布 考点05 正态分布 考点06 独立性检验 考点07 回归方程 地 城 考点01 独立事件的乘法公式 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A．0.441 B．0.63 C．0.819 D．0.9 【答案】C 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】先分析出系统能正常工作的情况，根据互斥事件、独立事件等条件，求出概率. 【详解】用A，B，C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作． 由题意知，系统能正常工作时，可分为三个互斥事件： 甲、乙、丙都正常工作，即；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即； 甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即．因此． 因为甲、乙、丙互不影响，所以A，B，C相互独立，而且． 由互斥事件概率的加法公式以及独立事件的概率公式可知 ． 故选：C. 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为． 设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件， 所以甲获得冠军的概率为， 比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为, 故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为． 故选：A 3．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)现有2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为0.9，且互不影响，则2台机床都不需要照看的概率为（    ） A．0.81 B．0.9 C．0.1 D．0.09 【答案】A 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求出. 【详解】2台机床都不需要照看的概率为， 故选：A. 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 【答案】C 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC，根据独立事件概率乘法公式求解判断B，利用概率的基本性质求解判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于选项A，因为，， 所以，错误； 对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立， 所以A与相互独立，所以，正确； 对于选项C，因为，所以，正确； 对于选项D， ，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知，，则与 ．（填“独立”或“不独立”） 【答案】不独立 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据相互独立事件的概率公式，结合条件概率公式即可判断. 【详解】与独立的充要条件为， 又因为， 所以与独立的充要条件是， 根据已知条件：，所以与不独立． 故答案为：不独立 四、解答题 7．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案； （2）①先明确甲投了第3次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比赛，说明乙比甲多投中2次，按照轮次情况，分类求解概率即可. 【详解】（1）甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为． 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为． （2）①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为． 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为， 故所求概率为． ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率， 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率， 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率． 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为． 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为． 所求概率为． 8．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 地 城 考点02 条件概率和全概率公式 1、 单选题 1．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得 ， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 2．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据题意结合古典概型求，进而可得条件概率. 【详解】由题意可得：，， 所以． 故选：B. 3．(24-25高二·辽宁名校联盟·)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 4．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【答案】B 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为． 故选：B. 5．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】高三数学综合原创基础小卷03 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 6．(24-25高二上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·期末)此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（   ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】应用全概率公式求答对题目的概率. 【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 二、多选题 6．(24-25高三上·四川仁寿第一中学校（北校区）·期中)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】ACD 【来源】四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件， ，，， ，故A正确； ， ，故事件与事件B不独立，故B错误，D正确； ，故C正确； 故选：ACD. 地 城 考点03 分布列 一、单选题 1．(23-24高二上·辽宁县级重点高中协作体·期末)设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 2．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则 ，解得， 则 . 故选：C. 地 城 考点04 二项分布和超几何分布 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 二、解答题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 【答案】(1)14 (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）分一轮，二轮，三轮，四轮分别计算可得总场数； （2）（i）随机变量的取值为，分别计算可得其分布列，进而可求数学期望；（ii）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场， 第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛； （2）（i）随机变量的取值为， 当，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ； （ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件，一号队获得冠军为事件， 则， 由（i）知，， 则， 即一号队在的条件下获得冠军的概率为. 3．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”,根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，则，，， 则.. （2）合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为， ； ； ； . 则分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 4．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分第原系统中至少有4个元件正常工作；原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，求得，通过作差判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解， ，是解题的难点与关键. 地 城 考点05 排列数和组合数的计算 1、 多选题 1．(24-25高二·辽宁名校联盟·)下列命题中真命题是（    ） A．的展开式中含项的系数为 B．随机变量，若方差，则 C．若随机变量，且，则 D．甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 【答案】ABC 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】利用二项式展开式的通项公式可求得含项的系数判断A：利用二项分布的方差计算公式可求得 ，进而计算可判断B；利用正态分布的性质计算可判断C；求得恰有一项工作无人参加的方法数可判断D. 【详解】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，， 所以 展开式中含项的系数为，故A项正确； 对于B项，，解得 ，则，故B项正确； 对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 由，得， 所以，故C项正确； 若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故D项错误. 故选：ABC. 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 【答案】900 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 三、解答题 3．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 4．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【来源】2025届四川省内江市高三一模考试数学试题 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 地 城 考点06 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二·辽宁名校联盟·)针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．54 B．48 C．42 D．36 【答案】D 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】设男生人数为，结合卡方计算可得，即，进而可判断. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则 ，因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以A，B，C项正确，D项错误. 故选：D 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名消费者中中老年人的人数为300，青年人的人数为500，其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍． 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 中老年人 合计 (1)请将上面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关； (2)按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有 (2)分布列见解析， 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）由独立性检验的知识补全列联表求出卡方判断即可； （2）从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，可知服从超几何分布，计算概率求得分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）根据题意可得列联表如下： 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 400 100 500 中老年人 200 100 300 合计 600 200 800 ， 所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关． （2）根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中，4人是青年人，2人是中老年人， 再从这6人中随机抽取4人，则的可能取值为2，3，4． ，，， 所以的分布列为 2 3 4 则，即随机变量的期望为． 地 城 考点06 回归方程 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)某手机商城统计的2024年5个月手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（    ） A． B．与正相关 C．当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部 【答案】AB 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据回归直线方程过样本中心点求出判断A，利用回归直线方程的性质和概念判断BCD. 【详解】由表中数据，计算得，所以， 则，解得，A说法正确； 由回归直线方程中的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，B说法正确； 当月份编号增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误； 2025年2月份对应的月份编号，，D说法错误； 故选：AB 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $