3.4 函数的应用（一）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一次函数、二次函数、分段函数模型的实际应用，通过手机销售利润计算、矩形养鸡场面积求解等生活实例导入，衔接已学函数知识，搭建从具体问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发学习兴趣，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过“审题—建模—求解—检验”四步流程培养数学思维，结合利润、销售等实例强化数学语言表达，助力学生提升建模能力，为教师提供清晰教学路径与实用案例。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.4 函数的应用（一） 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.数学抽象：总结函数模型； 2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数； 3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值. ； 4.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。 教学内容 教学重点：运用一次函数、二次函数、分段函数的模型处理实际问题； 教学难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． 教学过程 1、 情境导入 教师展示2个生活实例： ①某手机店销售一款手机，进价为1500元，售价为2000元，若每月卖出x部，该店的月利润 y（元）如何表示？ ②某农场计划围建一个面积为150平方米的矩形养鸡场，一边靠着原有的一面墙（墙长18米），另三边用篱笆围成，篱笆总长35米，求养鸡场的长和宽。 提问学生：“这两个问题可以用我们学过的什么数学知识解决？” 引导学生发现是函数问题，进而引出课题 “函数的应用（一）”。 设计意图：通过生活中常见的利润、几何图形问题，让学生感受到函数的实用性，激发学习兴趣，同时自然衔接已学的一次函数、二次函数知识，为新课学习铺垫。 二、新知探究 1. 分析实例，抽象模型 针对导入问题①，引导学生分析数量关系：利润=每部利润×销售量，每部利润=售价-进价=2000-1500=500元，因此y=500x（x≥0，且 x 为整数），这是一次函数模型。 针对导入问题②，设养鸡场与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（35-2x）米，根据面积公式可得x(35-2x)=150，整理为2x²-35x+150=0，这是二次函数模型（或一元二次方程，本质是二次函数的应用）。 教师追问：“为什么问题②中x的取值有范围限制？” 引导学生考虑实际意义35-2x≤18（墙长限制），且35-2x>0（边长为正），因此x的取值范围是8.5≤x<17.5，x为正数。 设计意图：通过简单的具体实例，让学生学会从实际问题中提取数量关系，抽象出一次函数、二次函数模型，同时强调定义域的实际限制，突破难点。 2. 探究总结常见的函数模型 教师：那么常见的函数模型都有哪些呢？你能总结出来吗？ 学生：分组讨论，共同总结，小组展示。 教师：将结论板书到黑板上，并要求学生做笔记。 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)= + b(k,b为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); (4)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 设计意图：通过引导学生分组讨论、共同总结常见函数模型，充分发挥学生的主体作用，让学生在合作探究中梳理已学函数知识，加深对一次函数、反比例函数、二次函数及分段函数模型的表达式、本质特征的理解。教师通过板书结论并要求学生做笔记，强化知识的系统性呈现。 3. 探究总结函数应用的基本流程 教师：解决这些实际问题时步骤有哪些共性？能否梳理出一套通用的解题流程？ 学生：以小组为单位展开交流讨论， 教师：鼓励学生结合具体实例分享自己的解题思路与步骤，邀请小组代表上台分享总结的流程，其他小组补充完善，结合学生发言，逐步提炼出“审题—建模—求解—检验”的“四步走”流程。 ① 审题：分析实际问题的已知条件、未知量，明确数量关系； ② 建模：设合适的变量，将实际问题转化为数学函数模型（确定解析式和定义域）； ③ 求解：运用函数的性质（如一次函数的单调性、二次函数的最值）或方程求解； ④ 检验：将求解结果代入实际问题中检验，确保符合实际意义，最后作答。 教师板书流程，强调“建模”和“检验”是关键步骤。 设计意图：通过归纳总结，让学生形成清晰的解题思路，掌握函数应用的规范流程，提升解题的条理性。 三、例题讲解 例1 （一次函数模型）某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为 y=6x+30000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒多少套？ 教师：出示题目，分析难度，让学生独立完成。教师巡视指导，发现问题。 解析：(1)因利润z=12x-(6x+30000), 所以z=6x-30000, 由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套. 师生共同总结：利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 设计意图：通过呈现贴近生产实际的一次函数模型应用题，让学生感受函数知识在解决实际问题中的实用性，既能检验学生对一次函数模型及函数应用“四步走”流程的掌握情况，又能培养学生独立分析问题、解决问题的能力；师生共同总结解题方法，帮助学生形成解决同类问题的规范思路，提升学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。 例2 （二次函数模型）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. ①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解析：①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). ②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N). ③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元. 师生共同总结：构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 设计意图：结合实际情境，引导学生经历从实际问题中抽象二次函数模型、建立函数关系式并运用二次函数性质解决最优利润问题的完整过程，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，理解建模思想在解决实际最优问题中的应用价值。帮助学生形成 “实际问题—数学模型—求解验证—回归实际”的解题思路，提升学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 例3（分段函数模型）一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象． 解析：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km. （2） 获得路程关于时间变化的函数解析式： 图象如图： 50t+2004,0≤t＜1 80（t-1）+ 2054，1≤t＜2 S= 90（t-2）+ 2134，2≤t＜3 75（t-3）+ 2224，3≤t＜4 65（t-4）+ 2299，4≤t≤5 师生共同总结分段函数注意事项：（1）分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. （2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 设计意图：以贴近生活的实际问题为载体，深化对分段函数模型刻画多阶段变化规律的认知，帮助学生理解分段函数“分段对应且整体完整”的本质特征，突破解析式构建的难点；最后师生共同总结，提炼解题规律、规避易错点，实现“例题解析-方法提炼-知识升华”的教学闭环，为后续解决复杂分段函数问题奠定基础。 四、课堂小结 教师提问：今天我们学习了什么内容？函数应用的基本步骤是什么？需要注意什么问题？ 学生回答后，教师总结： 核心知识：一次函数、二次函数在实际问题中的应用； 解题流程：审题→建模→求解→检验； 注意事项：①准确分析数量关系，建立正确的函数模型； ②重视定义域的实际限制； ③求解结果需检验是否符合实际意义。 设计意图：通过梳理知识，帮助学生形成知识体系，深化对函数应用的理解，强化解题关键要点。 五、课后作业 1. 教科书P95练习第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $