专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点05 用空间向量研究距离问题 考点06 用空间向量研究夹角问题 考点07 空间线段点的存在性问题 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【详解】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 5．（24-25高二上·安徽宣城·期末）设，向量，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】B 【分析】和分布求出m范围，再用充分必要条件章节知识判断即可. 【详解】，则；，则. 则推不出，但是可以推出. 故是的必要必要不充分条件. 故选：B. 6．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得. 【详解】根据题意：，， 与共线，所以， 可得，． 故选：B 7．（24-25高二上·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可. 【详解】 故选：D. 二、多选题 8．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知棱长为2的正四面体满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】选为空间内的基底向量，利用向量的线性运算，可得，即可由模长公式，结合不等式即可判断A；根据数量积的运算即可判断B；根据模长可得，即可由不等式以及一元二次不等式判断C；，结合，可求的范围，可判断D. 【详解】由正四面体，可知， 选为空间内的基底向量，， 因为， 故 ，当时，取到等号，故，故A正确； 当，， 所以,故B正确， 当时，，可得，解得，故当且仅当时，取最小值为，故C错误， ， 所以 ， 由于当，故， 因此， 由于，故，因此，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是用基底表示，再利用模的计算公式运算求得最值. 三、填空题 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【详解】 . 故答案为：. 10．（24-25高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 11．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】    设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 12．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）棱长为2的正四面体中，设，，．M，N分别是棱的中点． (1)用向量，，表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理求解即可； （2）由空间向量模长公式和数量积公式求解即可. 【详解】（1）连接，所以 ， 因为，，， 所以. （2） 因为正四面体的边长为，所以的夹角为， ，所以， . 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】以，，为空间向量的一组基底，则，利用空间向量即可计算的长度. 【详解】根据题意，以，，为空间向量的一组基底， 所以， ， 所以， 可得，所以的长度为． 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及数量积的运算律求出长. 【详解】在平行六面体中，，，， ，而， 所以 . 故选：B 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ，，，，则，故B正确. 故选：B 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用空间向量加法与减法的运算法则求解即可 【详解】， 又 ， N为 中点， ， 故选：C    5．（24-25高二上·安徽宣城·期末）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】判断各选项中的向量与 是否共面可得结果. 【详解】因为，， 两式相减得 所以与共面， 所以,不能构成空间的一个基底； 假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 同理，假设假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 故选：C. 7．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解. 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得. 故选：D. 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】如图，因为分别是的中点，，又， 所以， 得到， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平行六面体中，，,下列结论正确的是（    ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D． 【答案】ABD 【分析】设，，，将用基底表示并两边平方结合向量数量积即可求得，可判断A；将分别用基底表示，并由向量数量积计算根据结果可判断B；用基底表示，并判断其是否共面即可判断C；将与分别用基底表示即可判断D. 【详解】设，，，则为空间的一个基底， 因为，， 所以，， 对于A，，得，故A正确； 对于B，，， ，可得，故B正确； 对于C，，，， 则，所以共面，不能作为空间的一个基底，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】选项A：若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，计算即可.选项B:长度的最小值为点到平面的距离,计算即可，选项C：若，则点P在上及其内部，长度的最大值为，选项D:若，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确；    对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2），    则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3），    则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，，两边平方计算后求其模. 【详解】根据题意，取中点，连接, ， 又， 则 ， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，，均为单位向量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意将向量分解为已知向量的线性组合，结合模长、数量积的运算公式即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 地 城 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据空间两点间距离公式得出的三边长；再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽·期末）若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线、共面、基底等知识应用坐标运算确定正确答案. 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得，， 此时不能构成基底. B选项，，此时不能构成基底. C选项，设， 即， ，此方程组无解，故此时能构成基底. D选项，，此时不能构成基底. 故选：C 3．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【详解】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数z的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量共面定理及坐标表示列方程求参数. 【详解】由已知坐标，易知，不共线，故可设，， 即，从而，故. 故选：B 5．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出可判断选项C；根据三点的坐标求出向量的坐标，结合空间向量共线的运算可判断选项B；结合空间向量数量积的坐标表示可判断选项A；结合空间向量夹角的求法可判断选项D. 【详解】对于C，，，， 所以，故C错误； 对于B，因为不存在，使得，所以B错误； 对于A，因为，所以A正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知向量，其中，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A 7．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若向量，，共面，则（    ） A．6 B． C．30 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共面定理，列式求出，进而求出向量的模. 【详解】由，，共面，得存在实数，，使得，则，解得， 所以. 故选：B 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，若，，则的值是（   ） A．或1 B．3或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高二上·安徽·期末）下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．若对空间中任一点O，有则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽亳州·期末）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系的点的性质分析求解. 【详解】因为，所以点A到y轴的距离为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间中的点在坐标平面内的射影点的坐标特征易得. 【详解】点在坐标平面内的射影点的横纵坐标保持不变，竖坐标为0， 即. 故答案为：. 四、解答题 13．（21-22高二上·安徽亳州·期末）已知空间直角坐标系中，点都在平面内，求实数的值. 【答案】 【分析】方法一：根据共面，由平面向量基本定理列方程即可解出； 方法二：先求出平面的一个法向量，再根据即可求出. 【详解】方法一：， 由题意知四点共面，则存在实数，满足： ，，而. 方法二：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， ，解得. 地 城 考点04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 3．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）下列命题中正确的是（    ） A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D．已知，与方向相同的单位向量是 【答案】B 【分析】对于A，根据空间的基底概念即可判断；对于B，利用两平面的法向量垂直即得两平面的垂直；对于C，利用空间向量共面定理易得；对于D，根据与已知向量同方向的单位向量的概念计算即得. 【详解】对于A，因向量，则对于空间内任一向量都与，共面，故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，点为平面上的一点，且，则，解得，故C错误； 对于D，由，可得，则与方向相同的单位向量是，故D错误． 故选：B. 二、多选题 4．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（   ） A．若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则 B．若点，P都不在直线l上，直线l的方向向量是，若直线与l异面且垂直，则 C．若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则 D．若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点P使得成立 【答案】ABC 【分析】根据向量共线即可求解A，根据垂直关系即可求解BCD. 【详解】对于A，由于为的方向向量，， 故存在实数使得，即可，因此，故A正确， 对于B, 与垂直,则，即，故B正确， 对于C，由于为平面的法向量， ，故，即， 则，故C正确， 对于D，由于为平面的法向量，若平面外存在一点使得成立， 则与平面平行，这与点在平面内矛盾，故D错误， 故选：ABC 5．（24-25高二上·安徽·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若点与重合，则， B．若平面，则 C．存在唯一的点使得平面 D．若，，则点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】点与重合，判断A；根据题意确定平面平面，确定在直线上，判断B；建立空间直角坐标系，运用空间向量表示线面垂直，进而判断C；借助C，确定P位置，求出距离判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误. 对于B，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又面，面，所以面， 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又面，面，所以面， 又因为，所以平面平面，所以在直线上， 而，则，故B正确. 对于C，如图以为原点建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 则， 故， ，，设平面的法向量为， 则，故可设， ，若平面，则， 所以，从而，，点位置唯一确定，故C正确； 对于D，当，时，此时，由C知，此时平面， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·安徽六安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ） A．不存在点P，使平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，先建系，写出点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量垂直关系求得动点轨迹方程即可判断；对于B，利用等体积转化即可得到；对于C，利用向量数量积等于0即得动点轨迹，计算即得；对于D，依题作出并证明截面为正六边形，计算即得. 【详解】 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 若平面，则， 所以，即表示线段， 则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，A错误； 对于B，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，在选项A坐标系下，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C正确； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 设平面与交于， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关的动点轨迹，截面和体积定值问题，属于难题. 解题方法一般有以下几种： （1）建系法：通过建立空间直角坐标系，将空间中的点、线、面的关系用向量表示并求解； （2）翻转求体积法：对于三棱锥有关的体积问题，常将其翻转通过不同底面求解； （3）作截面法：对于几何体的截面问题，一般通过棱的相交或平行平面的性质作出截线得到截面. 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（    ）    A． B．// C．点的轨迹长度为 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间位置关系的向量证明，解决A,B，用解析法求出轨迹方程处理C，结合参数方程处理D即可. 【详解】    以为原点建立空间直角坐标系，故，，，， 故，， 则，，则，故A正确， 而，，显然与无倍数关系， 则//不成立，故B错误， 设，由两点间距离公式得， 化简得，又，故轨迹长度为，故C正确， 易知点的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为，，(是参数)， 故，由两点间距离公式得 ， 易知当时，取得最小值，此时，故D正确. 故选：ACD 8．（24-25高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，，，在线段上且，则（    ） A． B．四棱锥的外接球的一条直径为 C．三棱锥的外接球表面积为 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件得出，，再利用向量法对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，因为， 则， 设，得到， 所以，又，， 所以，得到，所以， 对于选项A，因为，， 所以与不垂直，所以选项A错误， 对于选项B，取的中点，易知， 因为， 所以到距离均相等，所以选项B正确， 对于选项C，设三棱锥的外接球心为，半径为， 则， 解得，所以， 得到三棱锥的外接球表面积为，所以选项C正确， 对于选项D，设三棱锥的外接球心为，半径为， 则， 解得，所以，得到， 得到三棱锥的外接球体积为，所以选项D错误， 故选：BC. 9．（24-25高二上·安徽滁州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，使得 B．若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．对于空间中的一点，若，则A，B，C，P四点共面 【答案】BD 【分析】A、C由空间向量共面定理判断；B，由线线垂直向量法判断；D由线面垂直向量法判断. 【详解】若C，A，B三点共线，点与C，A，B三点不共线时， 则不存在实数x，y，使得，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以或，故C错误； 因为，所以， 所以，所以A，B，C，P四点共面，故D正确. 故选：BD. 10（24-25高二上·安徽合肥·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】A由线面垂直的向量法判定；B由空间向量共面的推论判断；C由数量积的定义可判断；D由投影向量定义求在上的投影向量. 【详解】对于A：由，即，故，对； 对于B：在中，故P，A，B，C四点不共面，错； 对于C：当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，错； 对于D：在上的投影向量为，对. 故选：AD 11.（24-25高二上安徽淮北·期末）在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标表示，得出选项A正确，根据向量夹角余弦公式，求出异面直线所成角的取值范围判断B；将空间线段长转化为平面线段长求最值，得出C错误；求利用向量法求出圆心到平面的距离，利用垂径定理得出截面圆的半径，求出所截的圆的面积,得出D正确. 【详解】以为原点，,,所在直线方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，故，，，， 对于A选项：，，， 故，故A正确； 对于B选项：，， 故， 因为，， 故异面直线与所成角的取值范围为，故B正确. 对于C选项：，， ， 可将其看成分别到点，的距离和， 当且仅当三点共线时，此时距离最小，故C错误； 对于D选项：当M为中点时，则，外接球圆心为且 半径为， 设球心到平面的距离为 设平面的法向量为，， 则，令，则； 又，则， 由截面圆半径， 故截面圆面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12（24-25高二上·安徽铜陵·期末）正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度. 【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面的法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求得，结合点的位置即可求得其轨迹长度. 13（24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 【答案】 【分析】由法向量的定义可知，由此即可得解. 【详解】由题意，若平面经过点，且以为法向量， 则，即点的坐标满足的关系式为. 故答案为：. 四、解答题 14（24-25高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2）由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 15（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为4的菱形.，分别是棱，的中点，. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为. （i）求到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由直棱柱证，结合条件，证明平面，故得； （2）（i）以为坐标原点建系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角的公式列方程，求出，再利用点到平面的空间距离的向量公式计算即得. （ii）利用（i）已得，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角的公式计算即得两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 故平面， 又平面，所以. （2）（i）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系. 设.因，则,，故， 则 因是棱的中点，故， 于是，，. 设平面的法向量为， 由则可取，, 设与平面所成角为， 则， 解得，此时，，且, 故点到平面的距离. （ii）设平面的法向量为， 由则可取， 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点05 用空间向量研究距离问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求出平面的法向量，再求出点到平面的距离，最后求出四棱锥的体积即可. 【详解】    以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，取，得， 点到平面的距离， ， 四棱锥的体积为 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在长方体中，，则（   ） A． B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线AD与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值判断A，利用向量法求解平面的夹角判断B，利用线面角的向量公式求解判断C，利用点面距离的向量公式求解判断D. 【详解】在长方体中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 对于A，，， 则，故A错误； 对于B，为平面的法向量，设平面与底面ABCD夹角为， 则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设直线与平面所成角为 则，所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线AD与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：BD 4．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）下列说法正确的是（    ） A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 C．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；求出对称点坐标判断B；求出线面角判断C；求出点到平面距离判断D. 【详解】对于A，假定向量共面，则存在实数使得， 而不共面，则，此方程组无解，即不共面， 可构成空间的另一个基底，A正确； 对于B，点关于平面对称点为，B正确； 对于C，直线l与平面α所成的角等于，C错误； 对于D，点P到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，合理对三棱锥换底，结合点到平面的距离公式得到体积为定值判断A，利用二面角的向量求法求出二面角为定值判断B，找到符合题意的特殊情况，作出截面图形判断C，利用点到平面的距离公式求出，结合给定的线面角得到，再判断轨迹是圆，结合圆的弧长公式求解轨迹长度判断D即可. 【详解】对于A，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 在棱长为2的正方体中，则，， ，而为棱的中点，由中点坐标公式得，， 由题意得为棱上一动点，则设，且， 而，易得面的法向量为， 设到面的距离为，由点到平面的距离公式得， 则，即三棱锥的体积为定值，故A正确， 对于B，易得面的法向量为，，， 则，设，故， 因为，所以，解得，即， 得到，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到，设二面角为， 且，则，解得， 得到是定值，则二面角不可能先增大后减小，故B错误， 对于C，如图，令与重合，找中点，连接， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 由中位线性质得，由题意得四边形是平行四边形， 故，即，得到四点共面， 则面为所求截面，且由勾股定理得， 即四边形是等腰梯形，故C正确， 对于D，因为为棱的中点，所以由中点坐标公式得， 此时，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，则， 而，，则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 如图，作面，连接， 因为与平面所成角为，所以， 则，解得，而点在平面内运动， 则的轨迹为半径为的圆，由弧长公式得长度为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式得到，然后结合线面角的定义判断轨迹是圆，再结合圆的弧长公式得到所要求的轨迹长度即可． 6．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（    ） A． B．平面与平面可能平行也可能垂直 C．的取值范围是 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断AB中的位置关系，利用空间距离公式计算CD后可判断它们的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，所以， 则． 对于A，，所， 所以，故A正确； 对于B，当点与点重合时，平面平面， 当点与点重合时，平面平面，故B正确； 对于C，根据题意，可设点，其中， 则 ， 当]时，， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量为，则有 ， 故，取， 所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD. 7．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点E到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，由中位线线线平行即可判断，对于B，由可判断，对于CD，由向量法可判断； 【详解】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以 因为，所以，故A正确； 对于B，易知平面， 所以 ， 故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 ， 故C错误； 对于D，， 则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C． D．异面直线与所成角的正切值为4 【答案】ABC 【分析】利用空间向量的线性运算判断A，建立空间直角坐标系利用空间向量模的坐标求法判断C，利用投影公式结合勾股定理判断B，利用线线角的向量求法判断D即可. 【详解】依题意得，故A正确； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， 对于BC，， 所以，设， 则点到直线的距离，故BC正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用投影公式结合勾股定理得到所要求的长度即可． 三、填空题 9．（24-25高二上·安徽·期末）在棱长为4的正方体中，P是棱的中点，点M，N分别在棱上，且，则四面体的体积为 ． 【答案】12 【分析】以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求得点到平面的距离，即棱锥的一个高，再求出底面三角形的面积，然后由体积公式计算． 【详解】以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以到平面的距离为， 又由已知得，， 的边上高为， 所以， 从而， 故答案为：12． 10．（24-25高二上·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建系，写出相关点的坐标，分别求出与平面的法向量的坐标，代入点到平面距离的向量计算公式计算即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则, 于是，，, 设平面的法向量为，则， 故可取，则点到平面的距离为. 故答案为： 11．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故答案为：3 四、解答题 12．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知四棱锥的底面是梯形，底面ABCD，且，．    (1)求证：平面MBD； (2)求点C到平面MBD的距离； (3)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME,证明即可. （2）由PD，AD，CD两两垂直，则在点建立空间直角坐标系，求法向量，代入点到直线的距离公式即可； （3）用第二问的空间直角坐标系，求平面MBD的法向量，用空间向量求线面角的公式即可求解. 【详解】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，    因为，，所以，所以． 又，故，所以． 又平面MBD，平面MBD， 所以平面MBD （2）由已知得PD，AD，CD两两垂直， 以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，又， 故 由已知得，， 设平面BDM的法向量，则，， 即，取，则，，故 设点C到平面MBD的距离为h，则 （3）由（2）知平面BDM的法向量为， 故 所以直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，轨迹是半径为的圆，理由见解析； 【分析】（1）过作交于点，连接，由线面平行证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）由点在空间内轨迹为以中点为球心，为半径的球，而 中点到平面的距离为，即可求解. 【详解】（1）如图， 过作交于点，连接， 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. （2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 又，， 则， 故， 设平面的法向量， 则有，取，得到，即， 又中点，则， 则中点到平面的距离为， 由，即，故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的，此时轨迹是半径为的圆. 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面. (1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比； (2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由面面平行的性质定理得到，，进而证得分别是的中点，再根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比； （2）建立空间直角坐标系如图2，设的长为，先由面面距离利用空间向量的数量积可求得，再利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）如图1，记平面与直线的交点分别为，则面为平面， 因为面面，面面，面面， 所以，同理， 又，即，所以四边形是平行四边形，故， 又，故是的中点， 由中位线定理的推论，可知是的中点， 由条件易得，，， 由底面，得，，所以， 故平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为. . （2）由两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记的长为，则， 则，，， 设平面的法向量，则有，即，得， 取得平面的法向量， 由条件易知点到平面距离为，即，解得或（负值舍去），即， 所以， 故直线与平面所成角满足. . 【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 15．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算进行计算； （2）根据向量夹角的计算公式进行求解. 【详解】（1）. （2），， 所以 . 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以. 地 城 考点06 用空间向量研究夹角问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽·期末）如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，，过点作平面的垂线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】取中点，连接，，易知为二面角的平面角， 所以，过点作平面的垂线， 以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，. 从而，，所以. 所以直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线所成角的余弦值. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为求即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    设正方体的棱长为1，则， 所以， 所以，即异面直线与CF所成角的余弦值为. 故选：A. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】因为为半圆弧的中点，则，如图，建立空间直角坐标系， 因为，，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点， 则,， 所以， 设异面直线与所成角的角为， 则，    故选：B. 5．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（   ）    A． B． C．平面 D．异面直线与夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的线性运算判断A，由向量模的坐标表示判断B，根据数量积为0证明垂直判断C，由异面直线所成角的向量求法判断D. 【详解】因为平面平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    而，从而，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，平面的一个法向量为，故C正确； 对于D，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 三、解答题 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【分析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明； （2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且. 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，. 所以，又为的中点，所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 故所求角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 设，则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以 令， 整理得.解得. 所以线段上存在点适合题意，且. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 8．（24-25高二下·安徽宣城·期末）在四棱锥中，平面，，，，. (1)求； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在和中分别运用余弦定理列出等式即可求得值. （2）要证明线线垂直，则需证明该直线垂直于另一直线所在的平面，即证明平面. （3）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后求出向量的坐标和平面的法向量的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式即可求出直线与该平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在和中，由余弦定理得： 即， 得，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可得：， 所以，从而，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （3） 因为平面，，故以为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以，设与平面所成角为， 则. 所以与平面所成角的正弦值为. 9．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由底面，根据线面垂直的性质得到，再结合利用线面垂直的判定证得平面即可得证; （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求解； （3）当点与或重合时，可直接求的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值； 若点与点均不重合时，根据点在上，可设，求得，从而得到平面的法向量，再用表示出与平面所成角的正弦值，利用换元法转化成二次函数的值域求解即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为底面平面，所以 又平面, 所以平面. 又因为平面，所以. （2）因为底面平面，所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为.    （3）由（2）知，,， 所以,，，， 若点与重合，则平面即为平面，则为平面的一个法向量. 则， 若点与重合，则平面即为平面,则为平面的一个法向量. 则 若点与点均不重合， 由与共线，设，且. 则. 设平面的法向量为，则， 即， 取，则， 所以，（）是平面的一个法向量. 因为 所以 . 令，则，. ， 因为，所以. 综上，. 10．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，.沿BD将翻折到的位置，如图2所示，得到三棱锥，且. (1)证明：平面PAD. (2)求直线PB与平面ABD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角梯形以及等边三角形的几何性质，结合勾股定理，以及线面垂直的判定，可得答案； （2）法一：由三棱锥的体积公式，求得体高，根据线面角的定义，可得答案；法二：由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）在直角梯形ABCD中，因为， 易得为边长为2的等边三角形， 所以，则， 又，平面，则平面. （2）法一：因为， 记点到平面ABD的距离为， 由得， 记PB与平面ABD所成的角为，则. 法二： 因为平面PAD，且平面ABD，则平面平面PAD， 过点作AD的垂线，垂直足为，则平面ABD.如图建立空间直角坐标系. 在中，因为，则， 所以，则， 而平面ABD的法向量， 则， 即PB与平面ABD所成的角的正弦值为. 11．（24-25高二上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，交于点，取的中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出坐标、平面的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； （2）如图，连接，交于点，取的中点， 因为、分别为、的中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为为菱形，所以， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 12．（24-25高二上·安徽宣城·期末）如图，在多面体ABCDE中，，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，平面平面，M在直线BE上，N在直线l上，，． (1)证明：平面BCE； (2)求MN与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用面面垂直的性质定理得出线面垂直，再结合线面平行及性质定理得出线面垂直即可； （2）应用空间向量法得出线面角即可. 【详解】（1）设，则，分别取AB、AC中点G、H，则有，且， 又因为平面平面，平面平面，平面ABE，所以平面， 同理可得平面，且， 所以，即四边形为平行四边形，故， 因为G、H分别是AB，AC中点，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，所以， 因为，所以， 又因为，，BE，平面，所以平面； （2）如图所示，以G为坐标原点，GB，GC，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，且， 设平面BCE的一个法向量为，，即 令，则，． 由（1）知，为直线MN的方向向量，平面ABC的一个法向量为 ，所以MN与平面所成角的正弦值． 13．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 14．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图所示，边长为2的正方形为圆柱的轴截面，为圆上异于，的点，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，根据二面角的正弦值为，故只需算出平面和平面的法向量，由向量夹角公式得出的关系即可得解. 【详解】（1）取线段的中点，连接，，则，， 故，，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，故平面． （2）连接，因为是圆的直径，所以，过点作圆柱的母线， 则平面，所以，，互相垂直，以为原点， 建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，， 则，则，，，， 所以，． 设为平面的法向量，所以，令，解得， 所以为平面的一个法向量．易知为平面的一个法向量． 因为二面角的正弦值为，则余弦值绝对值为， 所以，化简得， 又，解得，则． 地 城 考点07 空间线段点的存在性问题 一、多选题 1．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （    ） A．不存在点F，使得 B．的最小值为 C．满足的点F的轨迹长度为 D．若平面，则线段长度的最小值为 【答案】AC 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，列出方程，可判定A正确；由点关于平面的对称点为，利用，可判定B错误；由，求得，得到点的轨迹为矩形内的线段，可判定C正确；求得平面的一个法向量，根据，列出方程，结合二次函数，可判定D不正确. 【详解】以为原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设（其中）， 对于A中，若，则， 又由，所以， 即，此时方程无解， 所以不存在点，使得，所以A正确； 对于B中，设点关于平面的对称点为，则的坐标为， 可得， 当且仅当三点共线时，取等号，所以B错误； 对于C中，由，可得， 整理得，即点的轨迹为矩形内的线段， 因为，当时，；当时，， 即满足的点的轨迹长度为，所以C正确； 对于D中，由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，即， 又由点，所以， 当时，可得的最小值为，所以D不正确. 故选：AC. 二、解答题 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，． (1)证明：平面平面PBD； (2)直线PC上是否存在一点M使得二面角为直二面角，若存在，求出M点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点M存在，且为PC的中点 【分析】（1）由已知可得，取CD的中点为Q点，可得四边形ABQD为正方形，连接AQ、BD，取AQ、BD的交点为O点，由、线面垂直的判断定理可得平面ABCD及平面PBD，再根据面面垂直的判断定理可得答案；． （2）存在，M为PC的中点，过D点作平面ABCD的垂线，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面BDM、平面CDM的法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）如图，在直角梯形ABCD中，因为， ，所以，又因为， 所以．取CD的中点为Q点，因为， 所以四边形ABQD为正方形，连接AQ、BD，取AQ、BD的交点为O点，连接PO， 因为，所以， 所以，，，平面ABCD，平面ABCD 所以平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为， 所以平面PBD，所以平面平面PBD． （2）存在，M为PC的中点．证明如下： 过D点作平面ABCD的垂线，以D为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， ，，设， 所以，， ，设平面BDM的法向量， ， 所以，设平面CDM的法向量， 平面CDM即平面CDP，所以， 所以，若二面角为直二面角， 所以，所以，所以点M存在，且为PC的中点． 3．（24-25高二上安徽·期末）等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）等边中，依题意可得，由余弦定理算出，从而得到，所以．结合题意得平面平面，利用面面垂直的性质定理，可证出平面； （2）作于点，连接、，由平面得，所以平面，可得是直线与平面所成的角，即．设，分别在△、△和△中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得，解之得，从而得到在上存在点且当时，直线与平面所成的角为． 【详解】证明：（1）因为，，． 由余弦定理得． 因为， 所以．折叠后有． 因为二面角是直二面角， 所以平面平面． 又平面平面，平面，， 所以平面． （2）假设在线段上存在点， 使直线与平面所成的角为． 如图，作于点，连结、． 由（1）有平面，而平面， 所以．又，所以平面． 所以是直线与平面所成的角． 设，则， 在中，， 所以． 在中，，． 由，得． 解得，满足，符合题意． 所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为， 此时． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 ☆7大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 考点04用空间向量研究直线，、平面的位置关系 考点05用空间向量研究距离问题 考点06用空间向量研究夹角问题 考点07空间线段点的存在性问题 目目 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1.(24-25高二上安徽六安期末)已知空间向量a,6,c满足a+万+c=0,d=1,=2,c=V7,则a与6的 夹角为() A.30° B.45 C.609 D.90° 2.(24-25高二上安微蚌埠期末)如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则向 量PC乙在BC上的投影向量为() A. C B.2BC 3 3 c. D. 3.(24-25高二上安微合肥期末)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=a,AD=b,AA,=c,线段AC与 B,D,交于点O,点P为空间中任意一点，则PO(PA+PB+PC+PD)的最小值为() A.、a2 B.-b2 C.-c2 2 D.c2 4 4.(24-25高二上·安微合肥期末)己知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点0，满足 0M=0A+0B+10C,则元=() 6 A吉 C.7 D.p 5.(24-25高二上安微宣城期末)设meR,，向量a=(m,1),b=(4,m),c=(1,2),则a/乃是a⊥c的() 1/21 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 6.(23-24高二上安徽期末)在空间直角坐标系中，己知点A(0,0,1),B(1,2,3),C(m,n,2),若向量AB与 向量BC共线，则m的值为() A.0 B. C.1 7.(24-25高二上·安徽滁州期末)三棱柱ABC-DEF中，G为棱AD的中点，若BA=ā，BC=五， BD=c,则CG=() A.-a+b-c B.二号a+b+@ C.-a -6+ D. 1 2 二、多选题 8.(24-25高二上安徽六安期末)已知棱长为2的正四面体A-BCD满足 AE=元AD,BF=uBC,EM=EF,元，u∈[0，]，则下列选项正确的是() A.EF22 B.当元=时， EF.AD=0 C.当EF=V3时，+u的最小值为) D.当EF=V5时，AM的取值范围为 31 2’2 三、填空题 9.(24-25高二上·安微期末)已知空间向量a,五，c两两夹角均为60，其模均为1，则 a+i+d=— 2/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25高二上·安微滁州期末)在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，∠A,AB=∠A,AD=∠BAD=60°， AB=AD=1,BD=10,A A= 11.(24-25高二上·安徽滁州期末)己知正四面体P-ABC的棱长为4，空间内动点M满足 MA+MB=2√2，则PM.PC的最大值为 四、解答题 12.（24-25高二上·安徽马鞍山期末)棱长为2的正四面体PABC中，设PA=a,PB=b,PC=c.M, N分别是棱AB,PC的中点. (1)用向量a,,C表示MN; (2)求1MN· 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1. (24-25高二上·安微期末)已知平行六面体ABCD-AB,C,D,满足∠BB,4,=∠BB,C1=60°， ∠A,B,C,=90°，BB,=4,A,B,=B,C1=2.若CC的中点为E,则AE的长度为() A.2 B.22 C.25 D.4 2.(24-25高二上·安徽宣城期末)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，若AB=AD=AA=2, ∠BAA,=∠DAA,=60°，∠BAD=90°，则AC的长度为() A.25 B.25 C.3 D.5 3.(24-25高二上·安微阜阳期末)如图，M是三棱锥P-ABC的底面ABC的重心.若 PM=xPA+yPB+2zPC(x,y,zeR),则x+y-z的值为(） M B 3/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.7 n.月 4.(24-25高二上安徽合肥期末)在三棱锥0-ABC中，设0A=a,OB=b,OC=c,点M在OA上， 且2OM=MA,N为BC中点，则MN=() A.a-26+c 1 2a-3b+29 B c.-a+16+l 30 a+25+2 D. 2 5.(24-25高二上·安微宣城期末)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点， 若AE=xAB+yAD+zAP,则x+y+z等于() B B.1 c D.2 6.(24-25高二上·安微六安期末)已知O,A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+0B+0C,向量 b=OA+OB-OC,则不能与a,b构成空间的一个基底的是() A.OA B.OB C.ac D.OA或OB 7.(24-25高二上安徽马鞍山期末)三棱锥0-ABC中，点P∈面ABC,且OP=1OA+kOB-0C,则实 数k=() A号 B. C.1 8.(24-25高二上安微宣城期末)在三棱柱ABC-AB,C,中，E,F分别是BC,CC,的中点，AG=2GE, 则FG=() 3 B号丽+号C+ 3 2 1 2 1 4/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 9.(24-25高二上，安徽蚌埠期末)在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，∠A,AB=∠AAD=∠BAD=60°， AB=AD=AA,=1,下列结论正确的是() A.AC= B.BD⊥AC C.{AC,AB,AD}可以作为空间的一个基底 D.4C=g+c-}0 10.(24-25高二上·安微毫州期末)已知四棱柱ABCD-A,B,C,D的底面是边长为2的菱形，A4,⊥底面 4BCD,AA=1,∠DB-,点P满足=2+D+a,其中，“，1e0.小，则下列说法正确 的是() A.若点P到点B,B,D,D,的距离相等，则元-u+t= 2 B.若元+μ+1=l,则AP长度的最小值为② C.若2+u+1=2,则AP长度的最大值为2 D.若4(22+μ2-)=1=1，则点P的轨迹的长度为 3 三、填空题 11.(24-25高二上·安徽毫州期末)在三棱柱ABC-A,B,C,中， AB⊥AC,∠A,AB=∠A,AC=60,AA,=2AB=2AC=2,D为B,C1的中点，则AD= 12.（24-25高二上·安徽期末)在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，四边形ABCD为平行四边形，若B,AD, 瓜均为单位向最，且cos<瓜，Dcos<孤，4cos<D,>月则5D- 四、解答题 13.(24-25高二上安徽合肥期末)知向量ā=(1,1,0)，b=(-1,0,2). (1)若a+kb/1(2a+b),求实数k: (2)若向量ā+kb与2ā+b所成角为锐角，求实数k的范围. 5/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1.(24-25高二上·安微滁州期末)己知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C1,-1,5,则ABC的面积为() A.75 B.75 C.7 2 D名 2.(24-25高二上·安微期末)若空间向量a=(1,-1,2),6=(0,1,-1),则下列向量可以与a,b构成空间的一个 基底的是() A.p=(1,0,1)）B.g=(1,-2,3) C.r=(1,1,1) D.s=(2,-1,3) 3.(24-25高二上，安微宣城期末)在空间直角坐标系中，己知空间向量a=(3,2,-m),b=(m,9,-3),若 ā⊥b,则m=() A.-2 B.2 C.3 D.-3 4.(24-25高二上安微期末)已知空间向量ā=(3，l,z),6=(-1,0,2),C=(0,1,1),若向量ā，6，c共面， 则实数z的值为() A.-7 B.-5 C.-3 D.-1 5.（24-25高二上，安微安庆期末)已知空间中三点A(-1,0,1,B(-1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确 的是() A.AB·AC=3 B.ABI∥AC C.BC=12 D.o. 6.(24-25高二上安徽蚌埠期末)已知向量ā∥6，其中ā=(1,1,2)，b=(2,x,4),则x=() A.2 B.1 C.6 D.-10 7.(24-25高二上安徽毫州期末)若向量a=(1,0,-1,6=(-1,2,3),c=(1,2,共面，则=() A.6 B.6 C.30 D.√30 8.(24-25高二上安徽期末)已知向量ā=(2,4，x),方=(2，y,2,若a=6,a16,则x+y的值是() A.-3或1 B.3或1 C.-3 D.1 9.(24-25高二上安微期末)己知空间向量ā=(2，-3,0,6=(m,3,-1),若a1(a+b,则实数m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6/21 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 10.(24-25高二上·安徽期末)下面四个结论中正确的是() A.点P(1,-1,2)关于xOy平面对称的点的坐标是1，-1，-2) B.若ab<0,则向量a,b的夹角是钝角 C.若对空间中任一点0，有Om=01+08+0C,则M,48,C四点共面 D.若{a,,c是空间的一个基底，则{a+i,a+i+c,c也是空间的一个基底 三、填空题 11.(24-25高二上·安微毫州期末)在空间直角坐标系中，点A(1,3,2)到y轴的距离为 12.(24-25高二上安微蚌埠期末)己知点B是点(-3,4，-5)在坐标平面0xy内的射影，则点B的坐标 为」 四、解答题 13.(21-22高二上·安徽毫州期末)已知空间直角坐标系O-z中，点P(-1y,2),A-2,1,1),B-6,-1,2), C(-1,3,-3)都在平面a内，求实数y的值 目目 考点04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题 1.(24-25高二上·安微黄山期末)己知空间向量a=(1,3,-2),b=(m,2,m+1)分别是平面a,B的法向量， 且a⊥B,则m的值为() A.6 B.-4 C.4 D.6 2.(24-25高二上安徽期末)已知向量ā=(a,a,a,),万=(b,b,b,),{,j,是空间中的一个单位正交 a b 行列式计算表示为 =ad-bc,所得向量a×b垂直于向量a,所确定的平面.利用向量积可以计算由两 个不共线向量确定的平面的法向量.若向量AB=(1,1,2),AC=(3,2,1,则平面ABC的法向量为() 7/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.（-3,5,-1B.4,-10,3 C.(1,5,-3 D.（3,-2,3 3.（24-25高二上：安徽马鞍山期末)下列命题中正确的是（) A.己知向量ā/b,则存在向量可以与ā，6构成空间的一个基底 B.若两个不同平面0，阝的法向量分别是i,,且u=1,2,-2),v=(2,1,2),则Q⊥B C.已知三棱锥0-ABC,点P为平面ABC上的一点，且OP=OA+mOB-nOC,(m,n∈R),则 m-n=1 D.己知A0,1,0),B(1,2,0)与4B方向相同的单位向量是(1,1,0) 二、多选题 4.(24-25高二上安徽期末)在空间直角坐标系中，已知向量u=(1,2,-1),点P(3,1,4),设点P(x,y,z), 下面结论正确的是() A.若直线1经过点B,且以为方向向量，P是直线1上的任意一点，则x-3='=4-: 2 B.若点B,P都不在直线1上，直线1的方向向量是，若直线PR与1异面且垂直，则 (x-3)+2(y-1-(z-4)=0 C.若平面α经过点B,且以为法向量，P是平面a内的任意一点，则(x-3)+2(y-)-(z-4)=0 D.若平面o经过点B,且为平面a的法向量，则平面a外存在一点P使得PP⊥w成立 5.(24-25高二上·安徽期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点O为BD的中点，且点P 满足BP=1BC+uBB,则下列说法正确的是() D C D A.若点P与C重合，则1=2,4=2 B.若DP∥平面A,BD,则入+u=1 C.存在唯一的点P使得OP⊥平面A,BD 8/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若元=1，M=2,则点P到平面4BD的距离为5 6.(24-25高二上·安微六安期末)如图，己知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1，P为底面ABCD内（包 括边界)的动点，则下列结论正确的是() D C A B C B A.不存在点P,使DPI1平面A,BC B.三棱锥B,-CDP的体积为定值 C.若D,P⊥B,D,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为√2 D.若点P是AD的中点，点Q是BB的中点，过P,Q作平面a⊥平面ACC4,则平面a截正方体 ABCD-AB,CD,的截面面积为3V 4 7.(24-25高二上安徽蚌埠期末)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，点M,N分别是棱AD, CD的中点，点P在四边形ABCD内，若PM=√5，则下列结论正确的有() D M A B D C P B A.MN⊥BD B.MN∥A,B C.点P的轨迹长度为刀 D.PN的最小值是√2-1 8.(24-25高二上，安微期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AC⊥BC,AA=AC=CB=2,E在 线段A,B上且AE⊥A,B,则() 9/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B A Ln B A.AE⊥AC B.四棱锥A-BB,CC的外接球的一条直径为A,B C.三棱锥E-AA,C的外接球表面积为12π D.三棱锥E-ABC的外接球体积为4V3π 9.（24-25高二上·安徽滁州期末)下列说法正确的是() A.若P,A,B,C四点共面，则存在实数x,y,使得CP=xCA+yCB B.若直线1的方向向量为=(2，-1，-3)，直线m的方向向量为b=1,5,-1),则11m C.若直线1的方向向量为a=(0,2,-l),平面a的法向量为i=(2,-1,-2),则111a D.对于空间中的一点0，若OP=OA+OB+OC,则4，B,C,P四点共面 10(24-25高二上·安徽合肥·期末)关于空间向量，以下说法正确的是() A.若直线1的方向向量为m=(2,4,-2),平面a的一个法向量为i=(-1,-2,1),则11a B.若空间中任意一点0，有OP-0O1-。OB+0C,则n、A、R、C四点共面 C.若空间向量a,6满足ā.b<0,则ā与b夹角为钝角 D.若空间向最=Q小，6=Ql-小，则在让的报影向最为Q-5》 11.(24-25高二上安徽淮北期末)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC,=2,M为线 段BC(不含端点)上的动点，则下列结论中正确的是() A C B M 10/21