专题01 集合与常用逻辑用语 8大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语 ☆8大高频考点概览 考点01集合的概念与表示 考点02集合间的关系 考点03集合的基本运算 考点04集合新定义与容斥定理的应用 考点05充分、必要条件的判断 考点06充分、必要条件的关系求参数 考点07全称量词与存在量词的判断与否定 考点08全称量词与存在量词求参数 考点01 集合的概念与表示 一、 单选题 1.(24-25高一上浙江·期末)已知集合A={-1,0,1,2,集合B={yyx,x∈A4,则B=() A.{- B.{1,2 C.{0,l2 D.{-1,0,1,2 2.(24-25高一上浙江台州期末)已知集合A={xx2-2x=0},则() A.{0}∈A B.2g4 C.{2∈A D.0∈A 3.(24-25高一下·浙江宁波期末)已知集合M={x∈N|x=8-m},m∈N,则集合M中的元素的个数为 () A.7 B.8 C.9 D.10 4.(24-25高一上浙江·期末)已知集合M={xx20x=0,则() A.{0∈M B.0∈M C.-1gM D.-1EM 5.(24-25高一浙江期末)已知集合A={x∈N1<0<k},集合A中至少有3个元素，则() A.k>3 B.k≥3 C.k>4 D.k≥4 6.(24-25高一上浙江衢州期末)已知集合A=(-1,1),下列选项正确的是() A.0∈A B.-1∈A C.0∈A D.1∈A 二、多选题 7.(24-25高一上浙江温州期末)己知整数集A={a,42,…,an},B={xx0a+b或 1/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=a-b,a≠b,a∈A,b∈A,若存在meB,使得m=ck,c∈Z,k∈N,则称集合A具有性质M(k),则 () A.若A=1,2,则A具有性质M(2)B.若A={1,2,3,则A具有性质M(3 C.若n=4,则A一定具有性质M(5)D.若n=7,则A一定具有性质M(10) 8.(24-25高一上浙江金华期末)若集合A={xx=m2+n2,m,n∈Z,则（) A.1EA B.2∈A C.3∈A D.4∈A 9.(24-25高一浙江期末)设集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4eA,则a=() A.-1 B.0 C.1 D.3 三、填空题 10.(24-25高一上浙江杭州期中)已知集合M=1,m+2,m2+4,且5∈M,则m的值为 11.(24-25高一…浙江杭州期末)己知集合A={(x,y)ax4y=1},B={(x,y)x0ay=1}, C={(x,y)x29y2=1,若(AUB)∩C有两个元素，则a的取值为；若(AUB)∩C有三个元素，则a 的取值为一 12.(24-25高一浙江杭州期末)若2∈{1，a2},则实数a= 13.（2425高一上浙江嘉兴期末)设非空集合S=红m≤≤对任意的xE,都有xE,若m=分，则 1的取值范围一 目目 考点02 集合间的关系 一、单选题 1.(24-25高一下浙江衢州期末)己知集合A={1,2，则集合A的子集有() A.7个 B.6个 C.4个 D.3个 2.(24-25高一浙江期末)集合A=1,2,则A的子集的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(24-25高一下·浙江金华期末)己知集合A={-1,1，下列选项正确的是() 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1∈A B.{-1∈A C.EA D.0eA 4.（24-25高一下·浙江·期末)下列表述正确的是() A.x≤{x,y B.{x∈{x,y C.{x,y≤{，x D.0∈b 5.(24-25高一上浙江金华期末)设集合A={m,n,则集合A的子集个数为() A.1 B.2 C.4 D.6 6.(24-25高一上·浙江金华期末)已知集合A={0,集合B={xx<,若A三B,则实数a的取值范围 是() A.a≤0 B.a20 C.a<0 D.a>0 7.(24-25高一上浙江湖州期中)设集合A={xx291=0,则() A.OEA B.1∈A C.{-l}∈A D.{-l,1}∈A 二、多选题 8.（24-25高一上·浙江杭州期末)下列说法正确的是() A.2EQ B.若AUB=AOB,则A=B C.若A∩B=B,则B∈A D.若a∈A,a∈B,则a∈A∩B 9.(24-25高一上·浙江湖州期末)设全集U=R,若集合M三N,则下列结论正确的是() A.MO N=M B.MUN=N C.UME UN D.(MONCN 10.(24-25高一浙江杭州期末)（多选题）若集合M={-2,3头，N={xmx=1},且N三M,则m的值可 能为() 1 A.0 B.2 C.3 D.任意实数 三、填空题 11.(24-25高一上·浙江丽水期末)己知集合A={x|x2+ax+b=0},B=3},若A=B,则实数a+b= 12.（24-25高一浙江·期末)己知集合A={1,2,3},则A的真子集的个数为 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25高一上浙江期末)若集合A={0,1},B={1,a,则A=B时，a= 四、解答题 14.(24-25高一上浙江金华期末)已知集合4=1,2，，n-,集合B。=x-m∈乙、m∈，B,表 n 示集合B,元素的个数 (1)若n=5,求B,B2; (2)若n=97 ①求Bm的最大值： ②证明：B,+B2+…+Bn-≥96. 15.(24-25高一上浙江期末)已知集合A={xx≤-3或x≥-1}，B={x2m<x<m-1},且AUB=A, 求m的取值范围 162425商一院州期末已加车合4-c0小9-经2小， C={x2x20mx-1≤0 (I)若(A⌒B)SC,求m的取值范围. (IⅡ)若CS(AUB),求m的取值范围， 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1.(24-25高一下浙江金华期末)设集合A={-2,0,2,4,6,B={x0<x≤4，则A∩B=() A.{-2,0,2,4 B.{0,2,4} C.{2,4y D.(0,4] 2.(24-25高一下浙江衢州期末)已知集合A={-1,0,1},B={x0≤x≤3}，则4∩B=() A.{0 B.{0,1 C.{0,1,2,3 D.{-1,0,1,2,3} 3.(24-25高一上浙江杭州期末)集合A={1,2,3,4,B={2,4,6,8,则A∩B为() A.{1,3 B.{2,4 C.{1,2,3,4,6,8} D. 4.(24-25高一上浙江丽水期末)已知集合A={1,2,3,B=3,4,5,6},则4∩B=（) 4/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{3 B.{3,4 C.{1,2,3 D.{1,2,3,4,5,6 5.(24-25高一上浙江温州期末)己知集合A={x1<0<5},B={3,4,5},则A∩B=() A.{2,3,4,5 B.{2,3,4 C.{3,4,5 D.{3,4 6.(24-25高一上浙江杭州期末)设全集为U={1,2,3,4,5,6,A={1,4,6,B={1,3,4}，则B∩0A= () A.{1,4 B.{2,5 c.{6 D.{1,3,4,6 7.(24-25高一上·浙江嘉兴期末)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,B={3,4,5,6,则Venn图中的阴 影部分（如图）表示的集合是() U A.{1,2 B.{3,4 C.{5,6 D.{1,2,5,6 8.(24-25高一上浙江湖州期末)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z),B={xx=4k+1,k∈Z,则下列结 论正确的是() A.A0B=A B.A0B=B C.AnB=☑ D.A=B 9.(24-25高一上浙江金华期末)已知集合A={x0<x<3},集合B={-1,0,l,2,则A∩B=() A.{-1,1 B.0,1 C.{1,2 D.{0,l,2 10.(24-25高一上浙江绍兴期末)已知集合A={x-1<x<1,则RA=() A.{xx≤-l B.{xx≥ C.{xx≤-1或x≥} D.{xx<-1或x> 11.(24-25高一上浙江衢州期末)己知集合A={1,2,3,B={0,2,4,则A∩B=() A.{0 B.{2 C.{1,2 D.{0,1,2,3,4 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 12.(24-25高一上浙江杭州期末)己知集合A={x-3≤x<4,B={x2m-1≤x≤m+1} (1)当m=1时，求AnRB); (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围 B.(2425高一上浙江杭州期末)已知集合A=xx-s,B=x3-2m≤x≤2m+理 (1)当m=1时，求AUB; (2)若AUB=A,求实数m的取值范围， 14.(24-25高一上浙江绍兴期末)已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},B={x∈Nx2-11x+24≤0，记 A∩B=S,AUB=T. (1)求集合S,T; (2)对于只含有四个正整数X,x2,x,七的集合P,若xx2-x,的最小值是k,则称集合P是k阶积差 四元集” (i)若k=1,求“1阶积差四元集”C,且满足C三S; (ⅱ)若k=2,是否存在“2阶积差四元集”M,N,使得MUN=T？若存在，求出所有集合M,N;若不 存在，说明理由 15.（24-25高一上·浙江杭州期末)已知集合A={x-2<x≤7，B={xm+1≤x≤2m+3} (1)当m=1时，求AUB,A∩(RB): (2)若AUB=A,求m的取值范围. 目目 考点04 集合新定义与容斥定理的应用 一、单选题 1. (24-25高一浙江杭州期末)A={1,2,3},B={2,4,定义运算A⑧B={xx∈A,且x∈B,则 A⑧B=() A.{2,4 B.{1,3 C.{1,2,4 D.{2 2.(24-25高一浙江期末)设[)为不超过x的最大整数，记函数f(x)=[x[x],x∈[n,n+1),n∈N的值 域为A,集合B是集合A的非空子集，对于任意元素k∈B,如果k-1EB,且k+1EB,那么k是集合B的 6/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一个“孤立元素”，若集合A的所有子集B中，只有一个“孤立元素”的集合B恰好有6个，则正整数的可能 值为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25高一上·浙江台州期末)某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和携 手共进”.数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手 共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为() A.36 B.35 C.34 D.33 4.(24-25高一·浙江·期末)“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”.某中学为了解 本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有 80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过 共享单车的学生人数为() A.65 B.55 C.45 D.35 二、多选题 5.（24-25高一上·浙江台州期末)设n是正整数，集合 A={aa=x,x2,…,xn)0x,∈{-1,1，i=1,2,…,n.对于集合A中任意元素阝=(，y2,…,yn)和 Y=（3,22,…,n),记P(B,Y）=y1+y222+…+y2m, M(B)=++国-动+%++-++++-.则（) A.当n=3时，若B=(1,1,1,y=1,-1,-1,则M(B,y)=2 B.当n=3时，P(B,r)的最小值为-3 C.当n=6时，M(B,Y)≥P(B,Y恒成立 D.当n=6时，若集合BsA,任取B中2个不同的元素B,y,P(B,Y22,则集合B中元素至多7个 6.(24-25高一·浙江杭州期末)（多选）若非空实数集M满足任意x,y∈M,都有x+yeM,x-yeM, 则称M为“优集”，已知A,B是优集，则下列命题中正确的是() A.AnB是优集 B.AUB是优集 C.若AUB是优集，则A三B或B三AD.若AUB是优集，则AOB是优集 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 7.(24-25高一浙江期末)若有限集合A={a1,a2,a,…a,},定义集合B={a,+a,1≤i<j≤n,i,j∈N}中的 元素个数为集合A的“容量”，记为L(4),现已知A={x∈N1≤x≤m,且L(A)=4039,则正整数m的值 是」 8.(24-25高一浙江杭州期末)某班共30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两 项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 9.(24-25高一浙江杭州期末)学校举办运动会时，高一(2)班共有28名同学参加比赛，有15人参加 游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参 加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛同时参加田径和球类比赛的同学有」 人 10.(24-25高一上浙江杭州期中)设全集U=Z,A=1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5,则下图中阴影部分表 示的集合是 C 11.(24-25高一上浙江宁波·期末)·某班有学生55人，其中音乐爱好者35人，体育爱好者45人，还有4人 既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有一人 目目 考点05 充分、必要条件的判断 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州期末)a=b是a2=b2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(24-25高一上浙江杭州期末)设a∈R,则“a≥2”是“a>2”的()条件 A.充分非必要B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 3.(24-25高一上浙江宁波期未)已知a,b为非零实数，则0<4<1"是“a<的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一上浙江宁波期末)“a>1”是“函数fx)=ax2-2xaeR在(L,+o)上单调递增的() 8/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(24-25高一上浙江杭州期末)“0<x<2”是“x2-x-6<0的() A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2425高-上浙江金华期末)命题P:a>1,命题9：<1（其中aeR）,那么P是9的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(24-25高一上浙江台州期末)设a,b∈R,则“a>1,b>1是“a+b<ab”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高一上浙江·期中)实数a,b,“a>b”是“a>b的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 9.(24-25高二下·浙江杭州期末)已知x∈R,则“x>2021”是“x>2020”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(24-25高三上浙江嘉兴期末)已知x,y∈R,则x+y>0”是“x>0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 11.(24-25高一上浙江温州期末)已知a,b,c是实数，且a≠0，则x∈R,ax2+bx+c<0”是 “b2-4ac<0”的() A,充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必 要条件 二、多选题 12.(24-25高一上浙江宁波期末)已知a、b均为实数，则“a>b”成立的必要条件可以是() A.a>b B.-a<1-b C.a'>b D.1< a b 9/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 13.(24-25高一上浙江宁波期末)设全集U=R,集合A={x1≤≤4}，集合B={xa02≤x≤a+10}, 其中aeR. (I)若A∩B=,求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围. 14.(24-25高一上浙江宁波期末)已知集合4=xX-4>0y,集合B={x1a-2≤x≤2a+}. x+3 (1)当a=3时，求A和RAUB; (2)若x∈A是xeB的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 目目 考点06 充分、必要条件的关系求参数 一、单选题 1. （24-25高一上浙江温州·期末)“a≥-3”是“a≥-2”的() A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.(24-25高一上浙江杭州期末)“x<2”是“|xk2”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高一上浙江期末)若a,b∈R,则ab>2”是“a>√2且b>√2”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一下·浙江·期末)已知条件px+1>2,条件9：x>a,且一P是一9的充分不必要条件，则a的 取值范围是() A.a≤1 B.a21 C.a2-1 D.a≤-3 5.(24-25高一上浙江温州期末)己知A={x,x2,…,x},B={乃，y2,…,ym},则x,∈A,3y,∈B使得 X,=y,”是“A三B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 10/14 专题01 集合与常用逻辑用语 8大高频考点概览 考点01 集合的概念与表示 考点02 集合间的关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合新定义与容斥定理的应用 考点05 充分、必要条件的判断 考点06 充分、必要条件的关系求参数 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 考点08 全称量词与存在量词求参数 地 城 考点01 集合的概念与表示 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知集合，，则集合中的元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题知以，即，故，进而得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即 所以， 故，即集合中的元素的个数为个. 故选：C 4．（24-25高一上·浙江·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项. 【详解】因为集合，所以， 故选：D. 5．（24-25高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合中至少有3个元素，即可得到的取值范围. 【详解】解：且集合A中至少有3个元素， . 故选：C. 6．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知集合，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据元素与集合的关系，即可得到答案. 【详解】因为，且，所以. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 二、多选题 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 8．（24-25高一上·浙江金华·期末）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】分别令等于，判断是否为整数即可求解. 【详解】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确； 对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确； 对于选项C：由，可得，， 若则可得， ，不成立； 若则可得， ，不成立； 若，可得，此时， ，不成立； 同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确； 对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确， 故选：ABD. 9．（24-25高一·浙江·期末）设集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【解析】根据题中条件，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【详解】因为集合，， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，符合题意. 故选：CD. 三、填空题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】或 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 11．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知集合，，，若有两个元素，则的取值为 ；若有三个元素，则a的取值为 ． 【答案】 或 【解析】（1）作出集合A，B的图像，利用为两个元素的集合，说明①直线和与圆各有一个交点且不重合，②直线和重合，且与圆有两个不同的交点，求实数即可； （2）有三个元素的集合，，，直线和与圆必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆上，且两直线与圆还各有一个交点，利用对称性求出实数即可 【详解】解：（1）为两个元素的集合， ①直线和与圆各有一个交点且不重合，则满足条件，此时，如图（1）所示， ②直线和重合，且与圆有两个不同的交点，则满足条件，此时，，如图（2）所示， 综上，或时，有两个元素， （2）有三个元素的集合，显然，， 直线和与圆必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆上，且两直线与圆还各有一个交点， 因为直线和直线关于直线对称， 所以三个交点为或， 如图（3），（4）所示，此时 故答案为：或， 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查集合的运算，解题的关键是数形结合，利用直线和直线关于直线对称，找出交点，属于中档题 12．（24-25高一·浙江杭州·期末）若，则实数 ． 【答案】 【解析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围 ． 【答案】 【分析】由m的范围求得m2∈S，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围． 【详解】解：由m时，得m2∈S，则， 解得. ∴l的范围是. 故答案为： 地 城 考点02 集合间的关系 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合的子集有共个. 故选：C. 2．（24-25高一·浙江·期末）集合，则A的子集的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据集合，列举出其子集求解. 【详解】因为集合， 所以A的子集是， 所以A的子集的个数为4， 故选：A 3．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知集合，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误. 【详解】因为，则，，，，A选项正确，BCD选项错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江·期末）下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可； 【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故满足，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：C 5．（24-25高一上·浙江金华·期末）设集合，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】对于集合的子集个数，由于中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有个元素，则子集的个数为，进行求解． 【详解】集合中元素的个数为2，故子集的个数为 个， 分别为，，和． 故选：C． 【点睛】本题考查知识点：若集合中有个元素，则子集的个数为，非空子集有个，非空真子集有个． 6．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由即可求实数a的取值范围. 【详解】因为集合，集合， 若，则， 故选：D. 7．（24-25高一上·浙江湖州·期中）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据属于的定义，结合子集的定义，进行判断即可 【详解】集合，则，选项A错误，，选项B正确；，，选项C，D错误． 故选：B 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为是无理数，为有理数集，故A错误； 若，则必有，故B正确； 若，则有，故C正确； 如果有一个元素既属于集合又属于集合，则这个元素一定属于，故D正确； 故选：BCD 9．（24-25高一上·浙江湖州·期末）设全集，若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】首先画出韦恩图，由图判断选项. 【详解】如图所示，当时，，，故AB正确；，故C不正确；，故D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一·浙江杭州·期末）（多选题）若集合，且，则m的值可能为（    ） A．0 B． C．3 D．任意实数 【答案】AB 【解析】分，两种情况分类讨论，时，，时，由求解. 【详解】因为， 所以当时符合题意，此时无解，所以， 当时，有解，可得， 故或， 解得或， 综上m的值为， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了子集的概念，方程的求解，分类讨论的思想，属于中档题. 三、填空题 11．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知集合，，若，则实数 【答案】 【分析】由题知方程有且只有一个实数根，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为， 所以方程有且只有一个实数根， 所以，解得. 所以 故答案为： 12．（24-25高一·浙江·期末）已知集合，则的真子集的个数为 . 【答案】7 【分析】若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为. 【详解】解：因为集合中有3个元素，所以集合的真子集的个数为. 故答案为：7. 13．（24-25高一上·浙江·期末）若集合，则时， ． 【答案】0 【分析】由集合相等的定义得出结论． 【详解】因为，所以． 故答案为：0． 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知集合，集合，表示集合元素的个数. (1)若，求， (2)若 ①求的最大值； ②证明： 【答案】(1)， (2)①最大值为2；②证明见解析 【分析】（1）根据新定义集合的规则分别求集合，即可； （2）①当时，推理可得1，，即存在非空集合，且，可推得，且，假设还有，经推理分析，得，或，故得的最大值为2；②设得到，先证m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等， 即满足条件的非空集合至少48个，结合①的结论得到每个集合有2个元素，故得证. 【详解】（1）当时，， 则；. （2）① 当时，，因， 则由，，可得1，， 即存在非空，取非空集合，且，即， 由，可得，因，故 假设还存在，即，则， 又，，且97为质数，则必有，或， 即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在. 综上所述，的最大值为2. ② 因，可设则，即m表示除以n所得余数， 下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等. 任取，则， 因为，则，，均不是质数97的倍数， 所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个， 由①知，每个集合有2个元素，所以 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合的新定义问题，属于难题. 求解集合新定义的问题，必须充分了解新定义的内涵，根据其规则分析、思考、演算，逐步推理，兼顾待求或待证的结果，找到彼此的切入点，有时还需关注前面小题已得的结论，多方考虑才能完成. 15．（24-25高一上·浙江·期末）已知集合或，，且，求m的取值范围． 【答案】或 【分析】因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集. 【详解】解：因为，所以， 当时，，解得：； 当时，或解得：或 所以或. 16．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知集合，. （Ⅰ）若，求的取值范围. （Ⅱ）若，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）首先求出集合，及，再根据，得到不等式组，解得即可； （Ⅱ）首先求出，根据，则方程的小根大于，大根小于或等于，令，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为 因，即，即解得或 所以 表示的解集； （Ⅰ）因为，由题意知 所以方程的小根小于或等于，大根大于或等于，令 当则，不等式组无解， 当则，解得， 当则，解得 由此得． （Ⅱ） 由 所以方程的小根大于，大根小于或等于，令 所以解得 地 城 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】因为， 所以， 故选：B． 4．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以， 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设全集为，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据补集的定义求出，，再由集合交集的定义求解即可. 【详解】因为全集 ， ，， 所以，， 所以 故选： 7．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果. 【详解】集合，集合， 易知图中阴影部分表示的集合是， 故选：A 8．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断得，再结合各选项分析即可 【详解】， 得，故. 故选：B. 9．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 10．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意，根据补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，或. 故选：C 11．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：B 二、解答题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 地 城 考点04 集合新定义与容斥定理的应用 一、单选题 1．（24-25高一·浙江杭州·期末），，定义运算，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合新定义可得结果. 【详解】因为集合，， 所以 故选：D 2．（24-25高一·浙江·期末）设为不超过的最大整数，记函数，，的值域为，集合是集合的非空子集，对于任意元素，如果，且，那么是集合的一个“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一个“孤立元素”的集合恰好有6个，则正整数的可能值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先明确集合的所有非空子集是什么，利用函数，，分别代入的值，得到函数的值域，利用已知条件得到满足条件的集合，逐一判断选项即可. 【详解】当时，，， 由为不超过的最大整数， 得函数的值域， 又集合是集合的非空子集， 集合的所有子集中， 满足只有一个“孤立元素”的集合， 则，； 不满足题意，故选项A不正确； 当时，，， 由为不超过的最大整数， 得函数的值域， 又集合是集合的非空子集， 集合的所有子集中， 满足只有一个“孤立元素”的集合， 则，，； 不满足题意，故选项B不正确； 当时，，， 由为不超过的最大整数， 得函数的值域， 又集合是集合的非空子集， 集合的所有子集中， 满足只有一个“孤立元素”的集合， 则，，，， ，， 满足题意，故选项C正确； 当时，，， 由为不超过的最大整数， 得函数的值域， 又集合是集合的非空子集， 集合的所有子集中， 满足只有一个“孤立元素”的集合， 则，，，， ，，， ， ，， ，，， 共个满足条件的集合， 不满足题意，故选项D不正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查的是集合知识和新定义的问题，在解答过程中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数，子集构成的规律. 3．（24-25高一上·浙江台州·期末）某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（    ） A．36 B．35 C．34 D．33 【答案】B 【分析】利用韦恩图运算即可. 【详解】   如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B， 则数学组共有人，显然人. 故选：B 4．（24-25高一·浙江·期末）“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（    ） A．65 B．55 C．45 D．35 【答案】C 【解析】用集合表示使用过共享单车的人，集合表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果． 【详解】参数调查的所有人组成全集，使用过共享单车的人组成集合，使用过扫码支付的人组成集合，表示集合中的元素， 由题意，，， ∴，∴． 故选：C． 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江台州·期末）设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ， . 则（    ） A．当时，若，则 B．当时，的最小值为 C．当时， 恒成立 D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个 【答案】BD 【分析】根据的计算公式即可求解AB，举反例即可求解C，根据所给定义，即可求解D. 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，，而，故当时， 此时取最小值， 比如时，，故B正确， 对于C，时，， , ,不符合，故C错误， 对于D，不妨设中一个元素， 由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同， 若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设此时， 那么与相同位置中有一对的数字互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同的元素有 此时，其中，， 而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足， 若与相同位置中有2对的数字互为相反数， 那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合， 因此此时中满足条件的元素有7个， 若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设， 此时与元素重复， 综上可知中元素最多7个，D正确， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 6．（24-25高一·浙江杭州·期末）（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ） A．是优集 B．是优集 C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集 【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A中，任取， 因为集合是优集，则，则 ， ，则，所以A正确； 对于B中，取， 则或， 令，则，所以B不正确； 对于C中，任取，可得， 因为是优集，则， 若，则，此时 ； 若，则，此时 ， 所以C正确； 对于D中，是优集，可得，则为优集； 或，则为优集，所以是优集，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 三、填空题 7．（24-25高一·浙江·期末）若有限集合，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为，现已知，且，则正整数m的值是 ． 【答案】 【解析】根据集合的新定义可得，再由正整数个数即可求解. 【详解】集合中的元素有：， ， 从到共有个整数， 即，解得. 故答案为： 8．（24-25高一·浙江杭州·期末）某班共30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【答案】12 【解析】先求出喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为5人，找出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可． 【详解】解：根据题意得：（人， 喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为5人， 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了集合之间的关系，解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题，属于基础题． 9．（24-25高一·浙江杭州·期末）学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有 人. 【答案】3 【解析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分， 即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次 所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设全集，，，则下图中阴影部分表示的集合是 . 【答案】 【分析】先判断阴影部分表示的集合为，再计算得到答案. 【详解】集，， 阴影部分表示的集合为： 故答案为 【点睛】本题考查了韦恩图的识别，将图像转化为集合的运算是解题的关键. 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）．某班有学生55人,其中音乐爱好者35人,体育爱好者45人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有 人. 【答案】29 【详解】依题意可得，班级中爱好体育和爱好音乐的学生有55-=51人，这其中包括只爱好音乐，只爱好体育和既爱好体育又爱好音乐的学生．而音乐爱好者有35人，体育爱好者有45人，所以既爱好体育又爱好音乐的学生有35+45-51=29人 地 城 考点05 充分、必要条件的判断 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】因为不能推出，所以“”不是“”的充分条件； 因为能推出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要条件非充分条件， 故选：B． 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，同号且非零，则，所以. 当时，如，则，无法得到. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案. 【详解】对称为轴， 若，又开口向上，在上单调递增， 又，故在上单调递增成立； 若函数在上单调递增， 单调递减，不成立， 则得， 不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析两个集合和的关系，从而推出命题之间的关系 【详解】解不等式，得 而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件 故选：B 6．（24-25高一上·浙江金华·期末）命题：，命题：（其中），那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可. 【详解】当时，，所以由能推出， 当时，显然当时，满足，但是不成立， 因此是的充分不必要条件， 故选：A 7．（24-25高一上·浙江台州·期末）设，则“是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由不能推出，例如，，故充分性不成立； 由不能推出，例如，故必要性不成立； 则“是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 8．（24-25高一上·浙江·期中）实数，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分、必要性的定义，判断题设条件间的推出关系，即可确定它们的充分、必要关系. 【详解】当时，必有，但不一定，如：显然不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充要条件的判定方法即可得出结论． 【详解】解：由“” “”，反之不成立． “”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 10．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时满足，但不满足，所以由推不出 由可以推出 所以“”是“”的必要而不充分条件 故选：B 11．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知a，b，c是实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，然后可选出答案. 【详解】若，则 所以“”是“”的充分不必要条件 故选：A 二、多选题 12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知、均为实数，则“”成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，由绝对值的性质可知，若，则，A选项合乎要求； 对于B选项，若，则，B选项合乎要求； 对于C选项，若，则、不同时为零， 可得，则，C选项合乎要求； 对于D选项，若，取，则，D选项不合乎要求. 故选：ABC. 三、解答题 13．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据交集为空集列不等式求解即可. （2）由题意，利用集合间的关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为集合，集合，且， 所以或，即. （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 集合，集合， 所以，解得，即. 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，；（2）或. 【解析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出； (2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当时，则， 或， 则， 所以. （2）由题可知，是的必要不充分条件，则， 当时，，解得：； 当时，或， 解得：或； 综上所得：或. 【点睛】结论点睛： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含． 地 城 考点06 充分、必要条件的关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末） “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据⫋，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得， 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 3．（24-25高一上·浙江·期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 4．（24-25高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，则“使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系. 【详解】若使得，则有成立； 若，则有使得成立. 则“使得”是“”的充要条件 故选：C 6．（24-25高一·浙江·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再用集合法判断. 【详解】由解得： 记 ∵,∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； (3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； (4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含． 7．（24-25高一下·浙江衢州·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用为增函数，分别判断充分性和必要性. 【详解】充分性：∵为增函数，∴时有，故充分性满足； 必要性：∵为增函数，∴时可以得到，故必要性满足； ∴“”是“”的充要条件. 故选：C 【点睛】判断充要条件的四种方法： （1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法. 8．（24-25高一上·浙江金华·期末）命题 ，命题（其中），那么p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断得出正确选项. 【详解】若，则，所以命题可以得出命题成立， 若则，即，所以命题可以得出命题成立， 所以p是q的充要条件， 故选：C 9．（24-25高一·浙江·期末）已知、，若“是“”的充要条件，则下列条件必须满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用作差法得出，结合可得出结果. 【详解】，则，由可得，. 故选：A. 10．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】从充分性和必要性两个方面，分和讨论，分别求解证明即可. 【详解】解：当 ，时，此时成立， 当，时，此时成立， 即可以推出， 反之，若，则中至少有一个负数， 若均为负数，必然有， 若，则， 因为，则必有， 所以可以推出， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查学生分类讨论的思想，是中档题. 二、多选题 11．（24-25高一·浙江杭州·期末）对任意实数a、b，给出下列命题，其中真命题有（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是无理数”是“b是无理数”的充要条件 【答案】BD 【解析】根据是的必要不充分条件判断A；利用不等式的性质与特殊值判断BC；根据根据充分条件与必要条件的定义判断D； 【详解】推不出，（a，b有可能小于零），， 是的必要不充分条件，A为假命题； ，充分性成立，是推不出（如），必要性不成立，是的充分不必要条件，B是真命题； 可以推出，但推不出的（如），是的充分不必要条件，C为假命题； 是无理数，可以直接推出b就是无理数，b是无理数也可以推出是无理数，是无理数是是无理数的充要条件，D是真命题. 故选：BD 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 三、填空题 12．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解. 【详解】若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 【点睛】本题考查充要条件与集合的关系，属于基础题. 四、解答题 13．（24-25高一·浙江·期末）已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 【答案】证明见详解. 【解析】利用充要条件的定义，分别证出充分性、必要性即可求解. 【详解】充分性：若“”，则，充分性满足； 必要性：若“”，则， 所以 ， 所以是方程的一个解， 所以“”，必要性满足. 地 城 考点07 全称量词与存在量词的判断与否定 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断. 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 由可得均为无理数，故D错误， 故选:C. 2．（24-25高一下·浙江衢州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接用特称（存在）量词写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3．（24-25高一·浙江·期末）命题为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的否定即可求解. 【详解】命题“”的否定是：， 故选：C 6．（24-25高一上·浙江金华·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出结果. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C 7．（24-25高一上·浙江宁波·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由命题的否定方法直接得解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意可知，命题“，成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，由此可得结果. 【详解】由题意可知，命题“，成立”， 所以，，可得， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以，. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 9．（24-25高一·浙江杭州·期末）若函数，则下列命题错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【解析】求出的值域，然后根据值域判断各选项． 【详解】，即函数值域为，当且仅当时，． 时也有的值域是， 因此BD正确，AC错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题考查含有量词的命题的真假判断，求出的值域，确定最值点是关键，在含有量词的命题中，要注意全称量词与存在量词的区别．说明它们真假的方法不相同．如全称命题为真需证明，特称命题为真只要有一例为真即可，反之说明全称命题为假，只要举一例即可，而说明特称为假，则需证明． 10．（24-25高一·浙江杭州·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】把命题“，”是真命题，转化为在上恒成立，求得， 结合选项，即可求解. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 即在上恒成立，即在上恒成立， 又由，即， 结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C、D. 故选：CD. 【点睛】充分、必要条件求解参数的取值范围问题的方法及注意点： 1、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解； 2、要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解得现象. 11．（24-25高一·浙江·期末）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，；当时，. 所以，，，A选项正确； 对于B选项，取，则，B选项正确 对于C选项，取，则，C选项错误； 对于D选项，取，则，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江·期末）命题“”为真，则实数a的范围是 【答案】 【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围. 【详解】由题意知：不等式对恒成立， 当时，可得，恒成立满足； 当时，若不等式恒成立则需，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路： （1）先分析的情况； （2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围； （3）综合（1）（2）求解出最终结果. 13．（24-25高一·浙江·期末）已知命题p：，使得．若是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得出，然后分和讨论即可得结果. 【详解】解：由于，则， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得， 综上可知：实数a的取值范围是. 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）命题“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是：，. 故答案为：， 地 城 考点08 全称量词与存在量词求参数 一、单选题 1．（24-25·浙江·高一期末）已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（24-25高一上·浙江·期末）下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（    ） A．，均有假命题 B．，均有真命题 C．，有假命题 D．，有真命题 【答案】B 【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可. 【详解】命题“，使得”的否定是，均有， 对，又，故该命题为真命题. 故选：B 二、填空题 3．（24-25浙江省新东方高一期末）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 ， 【答案】 【分析】原命题等价于命题“，”是真命题 【详解】由题意得若命题“”是假命题， 则命题“，”是真命题， 则需,故本题正确答案为． 【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 4．（24-25高一上·浙江省八校联盟高一期末）设集合，，.则实数 . 【答案】 【分析】由可得，从而得到，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 显然，所以，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 三、解答题 5．（24-25高一下·浙江杭州·期末）设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出集合、，由可得出关于的等式，进而可求得实数的值； （2）求得集合，由可得出实数所满足的不等式组，进而可解得实数的取值范围. 【详解】（1），， ，且， 所以，，解得； （2），，则或. 又，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $