专题5.3 函数的单调性（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.3 函数的单调性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断不含参函数的单调性】 2 【题型2 判断含参函数的单调性】 2 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 3 【题型4 根据函数的单调性求参数】 4 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 5 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 7 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 7 知识点1 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·湖北荆州·期中）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式1-3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【变式2-1】（24-25高二下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【变式2-2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【变式2-3】（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式3-3】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知函数. (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)若在的单调递增，求实数a的取值范围. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式5-3】（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 函数的单调性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断不含参函数的单调性】 2 【题型2 判断含参函数的单调性】 4 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 8 【题型4 根据函数的单调性求参数】 10 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 13 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 15 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 17 知识点1 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解答过程】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二下·湖北荆州·期中）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】需对每个选项中的函数求导，根据导函数在上的正负来判断函数的单调性，或者直接根据已知函数的单调区间来判断即可. 【解答过程】对于A选项，对于二次函数，对称轴为. 二次函数开口向上时，对称轴右侧为增区间，所以的增区间为. 因为不完全等同于其增区间，所以在上不是单调递增的，故A不满足题意. 对于B选项，对于函数，求导可得. 当时，，所以，即. 根据函数单调性和导数的关系，所以在上单调递减，故B不满足题意.   对于C选项，对于函数，这是对勾函数的形式，其增区间为和. 因为并不完全包含在其增区间内，所以在上不是单调递增的，故C不满足题意.   对于D选项，对于函数，对其求导可得. 当时，，所以，进而，即. 根据函数单调性和导数的关系，当导函数大于时，函数单调递增.所以在上单调递增，故D满足题意.   故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在和上单调递增. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【解答过程】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 【变式1-3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)函数在单调递减，在单调递增 (2) 【解题思路】（1）直接求导判断即可； （2）利用（1）的条件可得，然后两边取对数并作出转化得到，最后构建函数求出最大值判断即可. 【解答过程】（1）由题可知：函数的定义域为 ，令，令， 所以函数在单调递减，在单调递增. （2）因为，所以，由（1）可知函数在单调递增， 所以在恒成立，因为，所以， 令， 若；若， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以有的最大值为，所以. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解题思路】对求导并进行因式分解，根据的取值分类讨论，利用导数符号进行判断即可. 【解答过程】的定义域为， . 当时，且，可得： 时，，单调递增， 时，，单调递减. 当时，. ①当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. ②当时，，在内，，单调递增. ③当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【变式2-1】（24-25高二下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【变式2-2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间 【解题思路】（1）求出导函数，按的不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【解答过程】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【变式2-3】（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由，，求导，利用，解得； （2）求导，令，解得或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性； 【解答过程】（1）由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以，解得：； （2）依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令得或，令得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得，令得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【解题思路】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 【变式3-3】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【解题思路】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 【变式4-1】（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【解答过程】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知函数. (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)若在的单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）先根据切线斜率求出切点坐标，再由点斜式写出直线方程即可. （2）由在的单调递增，得在上恒成立，分离参数后得在上恒成立，求出在的最小值，即可求实数a的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， ，令解得， 又∵，所以切线方程为：即. （2）∵在单调递增，∴时，恒成立， 又，∴在上恒成立， ∴恒成立，即在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， ∴，∴a取值范围是. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 即恒成立，令， 则，而． 因为，所以．所以（此时），所以． 当时，． 因为，所以，即在上为减函数， 又，所以实数a的取值范围是． （2）因为，，所以． 因为在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可，而，， 所以，此时，所以． 又，所以或． 所以实数a的取值范围为． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【解答过程】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解答过程】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】原不等式等价于或，结合函数单调性及原函数的图象可得不等组的解. 【解答过程】即为或， 故或， 由图可知当时，，当时，， 故的解为；的解为， 所以的解集为. 故选：D. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【解答过程】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，则，根据单调性得出为函数的最小值，，，结合对数函数的性质解不等式，即可得出的大小关系. 【解答过程】令，则， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 所以为函数的最小值. 所以，，即： ，得，即. ，即. 所以，． 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数并利用导数判断函数单调性，结合单调性比较大小. 【解答过程】，，. 设，，则， 因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 设，，则，因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 故 故选：A. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【解答过程】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【解答过程】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令，则， 所以为奇函数，故， 因为， 所以时单调递增，则时单调递增， 又， 所以当时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $