专题01 二次函数中的最值问题5大题型（高效培优专项训练）数学苏科版九年级下册

专题01 二次函数中的最值问题 题型一：求线段的最值问题 题型二：求线段和的最值问题 题型三：求线段差的最值问题 题型四：求周长的最值问题 题型五：求面积的最值问题 题型一：求线段的最值问题 1．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，． 、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， 四边形和四边形都是菱形， ， ， 、分别是对角线，的中点， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当时，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理，二次函数的性质等；能用二次函数的性质求出线段的最值是解题的关键． 3．如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】 【详解】（1）解： 抛物线的顶点坐标为， 解得． ∴， 由，得． ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ． 当时，． 点的坐标为． 又， 设直线的解析式为 ， 解得， 可得直线的解析式为． 轴， 点的坐标为． 点在直线的上方， ． 则， ∵， ∴开口向下， 当时，的最大值为． 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)线段的最大值为及此时点的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，解得， 当时，，解得， ，． 抛物线经过点，， 将点，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）解：设点的坐标为， 轴交直线于点， 点的坐标为， ， 将整理成顶点式可得 该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 将代入抛物线解析式得， 点的坐标为． 5．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)当m时，PD是最大值 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为， ∴将A、B两点代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令，则， ∴． （2）解：∵点P在直线上方， ∴， 由题知，， ∴， ∵， ∴当时，是最大值． 7．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型二：求线段和的最值问题 8．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    【答案】 【分析】 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2)详见解析； (3)作图见解析，，的最小值为 【分析】 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）解：如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）解：当时，， 点为， 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 12．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 13．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点)，点在y轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，点P出发的同时，点Q从点O以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 14．已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 题型三：求线段差的最值问题 15．如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为 ． 【答案】5 【详解】解：由题意可知：A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4） 设P点坐标为（0，p） 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PB-PC＜BC, ∴当P、C、B在同一条直线上，PB-PC=BC,即此时PB-PC有最大值BC ∴BC= 故答案为5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 16．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A(−1，0)、点B(0，3)． （1）该二次函数的顶点是 ； （2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是 ． （3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标． 【答案】（1）（1，4），（2）-1＜x＜2．（3）（1，6）； 【分析】 【详解】解：（1）∵y＝-x2+2x+3＝-（x﹣1）2+4， ∴二次函数的顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）， （2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3）， 点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称， ∴点C（2，3）， 由图象可知， 不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1＜x＜2． 故答案为：-1＜x＜2． （3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示， |AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB， 连接AB与对称轴交于点M，此时|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|＝AB， ∴|AM﹣MC|的最大值为AB； 设直线AB解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点， ∴，得， ∴直线AB解析式为y＝3x+3， 把x＝1代入得，y＝3×1+3=6， ∴M的坐标为（1，6）； 【点睛】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，已知点A(3，0)，点C(0，﹣3)． （1）求抛物线解析式及点B的坐标； （2）点D为抛物线的对称轴上一点，求的最大值及此时点D的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，是否存在点P使得∠PCA＝15°，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值为，此时；（3）存在，或 【分析】 【详解】（1）把点A(3，0)，点C(0，﹣3)分别代入y＝+bx+c，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 令y=0， 得， 解得x=-1或x=3， ∴点B（-1，0）； （2）如图，构造点C关于对称轴的对称点E，作直线AE与对称轴交于点D，则点D为所求， ∵点C（0，-3），抛物线的对称轴为直线x==1, ∴点E的坐标为（2，-3）， 设直线AE的解析式为y=kx+b， ∴, 解得， ∴直线AE的解析式为y=3x-9， 当x=1时，y= -6, ∴点D的坐标为（1，-6）； 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， 则EF=3，AF=3-2=1， ∴AE=； 的最大值为： （3）如图，过点C作CM∥x轴，∵A（3，0），C（0，-3）， ∴OA=0C， ∴∠OCA=∠ACM=45°， 构造∠OCP=30°，交抛物线于点，则=15°， 过点作⊥y轴，垂足为N，设点（x，）， ∴N=x，NC=-（-3）=， ∵∠OCP=30°， ∴tan30°=， 解得x=0，x=2+， 经检验x=0是原方程的增根， ∴原方程的根为x=2+， ∴点P的横坐标为2+； 构造∠MCP=30°，交抛物线于点，则∠CA=15°， 过点作M⊥CM，垂足为M，设点（x，）， ∴CM=x，M=-（-3）=， ∵∠MCP=30°， ∴tan30°=， 解得x=0，x=， 经检验x=0是原方程的增根， ∴原方程的根为x=， ∴点P的横坐标为； ∴点P的横坐标为2+或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称轴，两点之间线段最短，特殊角的三角函数值，勾股定理，准确理解题意，熟练构造最大值的几何模型，构造３０°角，活用分类思想和特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型四：求周长的最值问题 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接，P为抛物线对称轴上动点，则当的周长取最小值时，点P坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线，当时，， 当时，则， 解得，， ∴，，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点L，连接， ∵点A与点B关于直线对称， ∴当点P与点L重合时，的周长，此时的周长的值最小， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴当的周长的值最小时，点P的坐标为， 故选：B 19．已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为；的周长最小值为． 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与y轴交于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴顶点B的坐标为； （2）解：由（1）得顶点B的坐标为， 如图，      ∵是定值，的周长要最小， ∴最小， 作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P， 即：点P为所求作的点； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得 则， ∴点P的坐标为； ∵，，， 则， ∴， ∴． 20．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 21．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 22．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 23．定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的图，称为该二次函数的坐标圆． (1)二次函数； ①求该二.次函数与、坐标轴的交点、、的坐标； ②已知点，以为圆心，为半径作图，请判断是不是该二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为，交轴于点，二次函数的坐标圆的圆心在函数对称轴上，求周长最小值． 【答案】(1)①；②是二次函数的坐标圆，理由见解析 (2)6 【分析】 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 解得， ∴点、、的坐标分别为； ②是二次函数的坐标圆，理由为： ∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； （2）解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 题型五：求面积的最值问题 25．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，，即， 将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立得， 解得， 当时，，即， 如图，假设，则，过点作轴，交直线于点，则， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合题意， ∴当时，， ∴面积的最大值为． 26．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为1 【分析】 【详解】（1）解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得， ∴． （2）解：的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 27．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数解析式； (3)若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为4， 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴，解得， ∴函数表达式为； （2）解：对于，当时，则， 解得或 ∴, 设直线， 则，解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：过点作轴交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值为4， 此时． 28．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 29．如图，正方形的边长为4，为边上一点，连接、，以为边向右侧作正方形． （1）若，则正方形的面积为 ； （2）连接、，则面积的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4，以为边向右侧作正方形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：20． （2）解：如图，连接、．设， 则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴有最小值， 故当时，的面积最小，且最小值为6． 30．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 31．平面直角坐标系中，已知抛物线，点在抛物线上，过点A的直线l与抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B． (1)求直线l的解析式； (2)如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若，求点C的横坐标； (3)如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点的直线与抛物线交于M，N两点（M在N左侧），过点N且平行于的直线与直线交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)点C的横坐标为 (3)面积的最小值为 【分析】 【详解】（1）解：∵直线l过点， 设直线l的解析式为，将点代入得： ， ∴直线l的方程为：， 由题意知，联立抛物线与直线l得：， ∵直线l与抛物线有唯一公共点， ∴有两个相等的实数根，即， 解得：， ∴直线l的解析式为． （2）解：如图，过点O作关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，连接，并过点A作交x轴于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵直线l的解析式经过点、B，B是直线l与x轴交点， ∴点B坐标为，，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， 过点O作交线段于点E，过点C作轴于点D， ∵点C位于第二象限的抛物线上，设点C坐标为， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：，解得：，， ∵，即， ∴，即， ∴点C的横坐标为． （3）解：如图： ∵直线l与y轴交点D， ∴当时，则，即点D的坐标为， ∵，， ∴设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，， ∴， ∵直线过点，且与抛物线交于M，N两点， ∴设直线的解析式为，过点，则，即， 联立抛物线解析式，得， 设点，， ∴由根与系数的关系可得：（记①式）， 设直线的解析式为， ∵，点N为直线与抛物线交点， 此时可设点N的坐标为， ∴直线的解析式为，抛物线解析式表示为， 联立两个解析式可得：， 整理得：，即（记②式）， 设直线的解析式为， ∵点M为直线与抛物线的交点，点D的坐标为， ∴此时可设点M的坐标为， ∴直线的解析式为，抛物线解析式表示为， 联立两个解析式可得：， 整理得：，即（记③式）， ∵点Q为直线与的交点， ∴联立②③式可得：， 整理得：，即（记④式）， 由①式，，代入可得：， 即（记⑤式）， 设，则，故：（记⑥式）， 将⑥式代入④式分子分母得： 分母：， 分子：， 再代入④式得： ∴， 令，，则， 代入③式可得：， 由⑥式：，则， 故， ∴点Q的坐标为， 过点Q作x轴垂线，垂足为，过点A作x轴垂线，垂足为， ∴， ∴ ， ，， ， 此时的面积为一个关于t的二次函数，开口向上，化为顶点式为：， ∴当时，， 即面积的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，勾股定理的应用，综合性强，难度大，对逻辑思维能力要求高． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数中的最值问题 题型一：求线段的最值问题 题型二：求线段和的最值问题 题型三：求线段差的最值问题 题型四：求周长的最值问题 题型五：求面积的最值问题 题型一：求线段的最值问题 1．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 2．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，． 、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最小值为 ． 3．如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 5．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 7．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 题型二：求线段和的最值问题 8．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 12．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点)，点在y轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，点P出发的同时，点Q从点O以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求的最小值． 14．已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 题型三：求线段差的最值问题 15．如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为 ． 16．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A(−1，0)、点B(0，3)． （1）该二次函数的顶点是 ； （2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是 ． （3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标． 17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，已知点A(3，0)，点C(0，﹣3)． （1）求抛物线解析式及点B的坐标； （2）点D为抛物线的对称轴上一点，求的最大值及此时点D的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，是否存在点P使得∠PCA＝15°，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由． 题型四：求周长的最值问题 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接，P为抛物线对称轴上动点，则当的周长取最小值时，点P坐标是（    ）． A． B． C． D． 19．已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B．    (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 20．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 21．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 23．定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的图，称为该二次函数的坐标圆． (1)二次函数； ①求该二.次函数与、坐标轴的交点、、的坐标； ②已知点，以为圆心，为半径作图，请判断是不是该二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为，交轴于点，二次函数的坐标圆的圆心在函数对称轴上，求周长最小值． 24．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 题型五：求面积的最值问题 25．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 26．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 27．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数解析式； (3)若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 28．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 29．如图，正方形的边长为4，为边上一点，连接、，以为边向右侧作正方形． （1）若，则正方形的面积为 ； （2）连接、，则面积的最小值为 ． 30．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 31．平面直角坐标系中，已知抛物线，点在抛物线上，过点A的直线l与抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B． (1)求直线l的解析式； (2)如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若，求点C的横坐标； (3)如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点的直线与抛物线交于M，N两点（M在N左侧），过点N且平行于的直线与直线交于点Q，求面积的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $