第5章 二次函数单元复习（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

第5章 二次函数单元复习 教学目标 1．理解二次函数的定义（含判断条件），掌握一般式、顶点式、交点式三种解析式形式，能根据已知条件用待定系数法求解析式。 2．熟记二次函数的图象特征（开口、对称轴、顶点）与性质（增减性、最值），掌握图象平移规律，能运用性质分析函数变化。 3．了解二次函数与一元二次方程的联系（交点与根的关系），会用图象判断方程根的情况，能解决销售利润、抛物线型等简单实际问题。 教学重难点 1．重点：二次函数的概念与三种解析式的转化；二次函数的图象特征、性质及平移规律的应用；用待定系数法求解析式。 2．难点：二次函数与一元二次方程（判别式、根的分布）的综合运用；实际问题中如何建立二次函数模型并结合自变量取值范围求最值。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，_______）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的_______、_______、_______． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是_______。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是_______；②化简后自变量的_______是2；③二次项系数_______． 【即学即练】 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 知识点02 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 _______ _______ 当时,随的增大而_______， 当时,随的增大而_______; _______ _______ 当时，随的增大而_______， 当时,随的增大而_______. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的_______ 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 _______ _______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当时，随的增大而_______﹔ 当时随的增大而_______ 当时随的增大而_______， 当时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 3y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 _______ _______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线_______ 直线_______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线_______ 直线_______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 【即学即练】 3．抛物线的对称轴是 ． 4．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A．图象的对称轴为直线 B．图象顶点的坐标为 C．图象与轴有两个交点 D．图象与轴交点坐标为 5．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点_______，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线_______，顶点坐标是_______． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：_______. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出_______和_______，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与_______的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 【即学即练】 6．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 7．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 6．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 7．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 知识点04 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:_______）（口诀:_______）； ②（口诀:_______）（口诀:_______）； 【即学即练】 8．将抛物线平移，使它平移后顶点为，则需将该抛物线（   ） A．向右平移1个单位，向上平移5个单位 B．向右平移1个单位，向下平移5个单位 C．向左平移1个单位，向上平移5个单位 D．向左平移1个单位，向下平移5个单位 9．将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为 知识点05 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意_______个点坐标求解。 顶点式：_______（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的_______坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数_______时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的_______）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选_______，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选_______，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选_______。 【即学即练】 10．已知二次函数经过点和点，求二次函数的解析式和最值． 11．一条抛物线与二次函数的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为，则此抛物线的函数表达式为 ． 知识点06 二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有_______的实数根 有_______的实数根 _______ 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是_______ 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有_______； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有_______； ③当方程组无解时两函数图象_______． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的_______的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用_______的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近_______的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【即学即练】 12．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 13．已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件_______×销售量，或总利润=总售价一_______，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量_______;②降价要保证单件利润_______. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的_______或_______ 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的_______； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的_______或_______ 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的_______及_______公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的_______或_______; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的_______来确定 【即学即练】 14．小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（   ） A． B． C． D． 15．国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 题型01 二次函数的概念 例1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 变式1-1．下列函数中，为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 题型02 二次函数的定义求参数 例2．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 变式2-1．若函数为二次函数，则实数 ． 变式2-2．若是关于的二次函数，则 ． 变式2-3．若二次函数的开口向下，求的值． 题型03 把y=ax²+bx+c化成顶点式 例3．抛物线的顶点坐标是 ． 变式3-1．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．用配方法把二次函数化为的形式，并写出这个二次函数的顶点坐标． 题型04 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值 例4．已知点在抛物线上，则的值为 ． 变式4-1．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是 . 变式4-2．若点在抛物线上，则的值为 变式4-3．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 题型05 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例5．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 变式5-3．如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 题型06 利用二次函数的性质比较大小 例6．已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知二次函数的图象经过点．若，则之间的大小关系是（） A． B． C． D． 变式6-3．已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 题型07 已知二次函数上对称的两点求对称轴 例7．若点与点是关于抛物线对称轴的对称点，则的坐标是 ． 变式7-1．如图，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（   ） A．恒大于0 B．a，b同号 C．恒小于0 D．a，b异号 变式7-2．已知点，在二次函数的图象上，求m的值． 变式7-3．如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是 ． 题型08 根据二次函数的增减性求最值 例8．已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为 ． 变式8-1．当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 变式8-2．已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标 ； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为 ． 题型09 二次函数的平移 例9．将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 变式9-1．若将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，则此抛物线的表达式为 ． 变式9-2．函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为 （写成顶点式）． 变式9-3．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型10 求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 例10．抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 变式10-1．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 变式10-2．已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 变式10-3．已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，．对于下列结论：；②方程的根是，；③；④当时，随着的增大而增大． 其中正确的结论个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 例11．已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 (1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； (2)当时，的取值范围为__________； (3)当时，的取值范围为__________， (4)当时，的取值范围为__________． 变式11-1．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-2．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 变式11-3．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式： (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 题型12 求二次函数的表达式 例12．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 变式12-1．已知抛物线过点，，与轴正半轴交于点，且，则这条抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 变式12-2．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 变式12-3．已知二次函数图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)指出图象的对称轴和顶点坐标． 题型13 二次函数与x轴的截线长 例13．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式13-1．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 变式13-2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 变式13-3．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 题型14 用二次函数解决实际问题 例14．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式． (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 变式14-1．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 变式14-2．某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． (1)填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； (2)求与之间的函数关系式； (3)填空：若，则的值为______； (4)当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 变式14-3．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 一、单选题 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 5．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 ． 10．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是 ． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是 12．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 13．已知点在抛物线上，则，，的大小关系是 ． 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ． 三、解答题 15．已知二次函数（a为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求a的值． (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 16．已知如图：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是顶点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)连接、，求的面积． 17．信阳毛尖又称豫毛峰，是十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．因其成品紧密而坚固，故称为毛尖．某茶庄经销一种盒装毛尖，原价每盒64元，连续两次降价后每盒49元． (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该毛尖每盒盈利10元，每天可售出500盒．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，茶庄决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少40盒．现茶庄要保证销售该毛尖每天盈利4500元，那么每盒最多可以涨价多少元？ 18．如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数单元复习 教学目标 1．理解二次函数的定义（含判断条件），掌握一般式、顶点式、交点式三种解析式形式，能根据已知条件用待定系数法求解析式。 2．熟记二次函数的图象特征（开口、对称轴、顶点）与性质（增减性、最值），掌握图象平移规律，能运用性质分析函数变化。 3．了解二次函数与一元二次方程的联系（交点与根的关系），会用图象判断方程根的情况，能解决销售利润、抛物线型等简单实际问题。 教学重难点 1．重点：二次函数的概念与三种解析式的转化；二次函数的图象特征、性质及平移规律的应用；用待定系数法求解析式。 2．难点：二次函数与一元二次方程（判别式、根的分布）的综合运用；实际问题中如何建立二次函数模型并结合自变量取值范围求最值。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 【即学即练】 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．为一次函数，不符合题意； B．分母有未知数，不是整式，不符合题意； C． 分母有未知数，不是整式，不符合题意； D．中，，，均为常数，且为整式，符合二次函数定义，符合题意． 故选：D． 2．若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 知识点02 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 3y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 【即学即练】 3．抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】 【详解】解：∵ ， 抛物线对称轴为直线 ． 故答案为：直线 ． 4．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A．图象的对称轴为直线 B．图象顶点的坐标为 C．图象与轴有两个交点 D．图象与轴交点坐标为 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据题意得，二次函数是顶点式， 则对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴为，说法正确； 选项B：顶点坐标应为，而非，说法错误； 选项C：令，则，即， ∴，无实数根，故与轴无交点，说法错误； 选项D：令，则，则与轴交点为，而非，说法错误； 故选：A． 5．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：五点定形法. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 【即学即练】 6．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 7．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 【分析】 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 6．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 7．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 【分析】 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 知识点04 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 【即学即练】 8．将抛物线平移，使它平移后顶点为，则需将该抛物线（   ） A．向右平移1个单位，向上平移5个单位 B．向右平移1个单位，向下平移5个单位 C．向左平移1个单位，向上平移5个单位 D．向左平移1个单位，向下平移5个单位 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线平移，使它平移后顶点为， ， 需将原抛物线向左平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位， 故选：C． 9．将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为 【答案】 【详解】解：∵将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即得到新抛物线为， 故答案为： 知识点05 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意三个点坐标求解。 顶点式：（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的顶点坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数最值时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的横坐标）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选顶点式，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选交点式，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选一般式。 【即学即练】 10．已知二次函数经过点和点，求二次函数的解析式和最值． 【答案】，最小值，无最大值 【详解】解：将，代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵，， ∴当时，二次函数有最小值，无最大值． 11．一条抛物线与二次函数的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为，则此抛物线的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线解析式与函数的图象形状相同， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 知识点06 二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【即学即练】 12．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 13．已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 【答案】2 【分析】 【详解】令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2．nn 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 【即学即练】 14．小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，且， ∴， 整理得：， ∴或， ∵水平距离， ∴． 故选：D． 15．国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元． 题型01 二次函数的概念 例1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 变式1-1．下列函数中，为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意； B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意； C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意； D、中，不是整式，故不是二次函数，此选项不符合题意； 故选：C ． 变式1-2．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：二次函数需满足， A、含根号，不是二次函数，不符合题意； B、未说明故不一定为二次函数，不符合题意； C、，为一次函数，不符合题意； D：是二次函数，符合题意； 故选：D． 变式1-3．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 题型02 二次函数的定义求参数 例2．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 变式2-1．若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【详解】解：∵函数 是二次函数， ∴ ． 故答案为2． 变式2-2．若是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数， 指数必须满足，且二次项系数， 即，且， 解得，且， ， 故答案为：． 变式2-3．若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 题型03 把y=ax²+bx+c化成顶点式 例3．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 变式3-1．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 变式3-2．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：， 所以； 故选：C． 变式3-3．用配方法把二次函数化为的形式，并写出这个二次函数的顶点坐标． 【答案】 ，顶点坐标为 【分析】 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 . 题型04 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值 例4．已知点在抛物线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 故答案为：． 变式4-1．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是 . 【答案】 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 变式4-2．若点在抛物线上，则的值为 【答案】2025 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2025． 变式4-3．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 题型05 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例5．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 变式5-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 变式5-2．已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】(1)1；0；1；4；见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： （2）解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 变式5-3．如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 画出函数图象如图所示： （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 题型06 利用二次函数的性质比较大小 例6．已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴处函数值最大，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴． 故选：A． 变式6-1．已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 又∵离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴故选：D． 变式6-2．已知二次函数的图象经过点．若，则之间的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为． ∵，且函数在时随的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； ∴． 综上，，即． 故选：C． 变式6-3．已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴． 故答案为：． 题型07 已知二次函数上对称的两点求对称轴 例7．若点与点是关于抛物线对称轴的对称点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为， ∵点与点是关于抛物线对称轴的对称点， ∴的坐标是， 故答案为：． 变式7-1．如图，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（   ） A．恒大于0 B．a，b同号 C．恒小于0 D．a，b异号 【答案】D 【分析】 【详解】解：由图可知，对称轴直线在轴右侧，即对称轴． ∵, ∴． ∴、异号． A、仅根据对称轴位置不能确定恒大于，∵的符号不确定，∴无法确定的符号，不符合题意； B、由上述分析可知、异号，并非同号，不符合题意； C、同理，不能确定恒小于，不符合题意； D、、异号，符合题意． 故选：D． 变式7-2．已知点，在二次函数的图象上，求m的值． 【答案】 【详解】解：由得，二次函数的对称轴为直线， ∵A、B两点的纵坐标相同， ∴A、B两点关于直线对称， ， 解得：． 变式7-3．如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为． 故答案为：． 题型08 根据二次函数的增减性求最值 例8．已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， 抛物线开口向上，在对称轴上有最小值， 则在区间内，最小值在处，而最大值为端点函数值较大者， 当时，； 当时，； ， 当自变量满足时，函数的最大值为， 故答案为：． 变式8-1．当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：函数为二次函数且有最大值， ，即． 又一次项系数为， 顶点横坐标，最大值． 关于的二次函数的最大值为时， 则， 即， 解得， 或． 但且确保为二次函数， ． 故选：B． 变式8-2．已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，函数值y的最大值， ∵函数值y的最大值为， ∴，解得：． 故选B． 变式8-3．已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标 ； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）， ∴函数与x轴的交点为，， ∴函数必过点； 故答案为：； （2）∵函数与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得， ∴， 解得， ∵，即， ∴， ∴m的范围为． 故答案为：． 题型09 二次函数的平移 例9．将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵将二次函数的图象向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数为， 将点代入，得 ， 即， ， ∴， 因此m的值为6． 故选B． 变式9-1．若将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵ 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到 ∴ 反向平移时，先将向下平移2个单位，得；再向左平移1个单位，将替换为，得 故答案为： 变式9-2．函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为 （写成顶点式）． 【答案】 【详解】解：函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为，即为． 故答案为：． 变式9-3．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 题型10 求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 例10．抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 变式10-1．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 变式10-2．已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】6 【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，解得， ∴， ∵m为整数， ∴m可取1、2、3， ∴满足条件的整数m的值之和为， 故答案为：6． 变式10-3．已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，．对于下列结论：；②方程的根是，；③；④当时，随着的增大而增大． 其中正确的结论个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 【详解】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴， ，，， ，故①错误； 抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，． 方程的根是，，故②正确； 当时，， ，故③正确； 抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，随着的增大而增大，故④正确； 故选：C 题型11 图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 例11．已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 (1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； (2)当时，的取值范围为__________； (3)当时，的取值范围为__________， (4)当时，的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向上， ∴随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同，即当时，， ∵函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或； 故答案为：或； （4）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵，都在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 变式11-1．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 变式11-2．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 变式11-3．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式： (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）解：的图象经过点， ∴，解得， ∴该函数的解析式为； （2）解：， 该函数的顶点坐标是，开口向下，过点，该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围或． 题型12 求二次函数的表达式 例12．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】(1) (2)在这条抛物线的图象上 【分析】 【详解】（1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 变式12-1．已知抛物线过点，，与轴正半轴交于点，且，则这条抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设抛物线解析式为 ∵抛物线过点， ∴代入，得． ∵抛物线过点， ∴代入得：，即， 化简得：， ① ∵抛物线过点， ∴代入得：，即， 化简得：， ② 由①－②得：， ∴． 代入②得：， ∴． ∴抛物线解析式为． 故选：B． 变式12-2．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 【答案】（或） 【详解】解：由表可知，二次函数顶点坐标为，设解析式为（）， 将点代入得： ， ， ， 解得， 故二次函数解析式为， 验证其他点均符合表格数据， 故答案为：（或）． 变式12-3．已知二次函数图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)指出图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】 【详解】（1）解：将点和点代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）， 对称轴为直线，顶点坐标为． 题型13 二次函数与x轴的截线长 例13．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 变式13-1．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 【答案】③ 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 变式13-2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 变式13-3．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 题型14 用二次函数解决实际问题 例14．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式． (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润为800元 【分析】 【详解】（1）解：设书店一天可获利润y元，每套书降价x元时， 则， ∴． （2）解：， ∵， ∴当时，y有最大值为800， 即当每套书降价10元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为800元． 变式14-1．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 变式14-2．某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． (1)填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； (2)求与之间的函数关系式； (3)填空：若，则的值为______； (4)当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) (3)60或80 (4)当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 【分析】 【详解】（1）解：①根据题意得：每月的销售量是千克，即千克， 故答案为：； ②∵月销售量为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为： （2）由题意可得，， 即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是； （3）根据题意得：令， 解得， ∴的值为60或80 ， 故答案为：60或80； （4）∵， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 变式14-3．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)不能，见解析． 【分析】 【详解】（1）解：如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙． 一、单选题 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】详解】解：∵二次函数， ∴在二次函数解析式的顶点式中，，， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为． A：开口向下，错误； B：当时y随x增大而减小，但包含了，此时y随x增大而增大，错误； C：对称轴为，正确； D：顶点坐标为，不是，错误； 故选：C． 2．如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是， 则表达式为的抛物线，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式为，即， 故选：C． 3．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 5．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 6．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除D； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 8．二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，则，即， ∴，②正确； 由图象得，当时，，即，当，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，③正确； 由图象时，y取得最大值，即， ∴（m为实数），④正确． 综上所述，正确的个数为4． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 10．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】详解】∵抛物线与x轴交于点和， ∴关于的方程的解为或． 故答案为：或． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是 【答案】 【分析】详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 12．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【答案】 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 13．已知点在抛物线上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：将点的横坐标分别代入 得， ， ， ， 因此，，， 故答案为：． 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ． 【答案】②④ 【分析】详解】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 三、解答题 15．已知二次函数（a为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求a的值． (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数为； （2）解：由二次函数 ∴当时，y随x的增大而增大． 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 16．已知如图：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是顶点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)顶点坐标为， (2) 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为， 令得， 的坐标为， 令得， 解得，， ，， 设直线解析式为，得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：过点作轴的垂线交线段于点， 当时， 的坐标为， ， ． 17．信阳毛尖又称豫毛峰，是十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．因其成品紧密而坚固，故称为毛尖．某茶庄经销一种盒装毛尖，原价每盒64元，连续两次降价后每盒49元． (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该毛尖每盒盈利10元，每天可售出500盒．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，茶庄决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少40盒．现茶庄要保证销售该毛尖每天盈利4500元，那么每盒最多可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每盒应涨价x元， 由题意，得：， 整理，得， 令，解得：或， ∵中，，与轴交点横坐标是，， ∴解得． ∵， ∴，最大为5． 答：每盒最多可以涨价5元． 18．如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， 代入得：， 解得：， ∴， 对称轴：． （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，连接，交对称轴于点，此时最短， ， ∵点和点关于对称轴为对称，， ∴，，， ∴，点的横坐标为2， ∵点在抛物线的轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $