专题01 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题（期末复习专项训练，8大题型）九年级数学上学期苏科版

专题01 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题 题型1 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型2 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型3 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型4 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型5 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型6 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型7 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型8 利用二次函数解决定值问题 题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： (3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，二次函数（，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于，两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线于点D． (1)求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标； (2)设点C坐标为，线段的长为s，求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值； (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标． 2．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 3．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 4．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 4．（24-25九年级上·湖北荆门·月考）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 5．（23-24九年级下·宁夏银川·月考）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 4．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图1，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线 (1)根据题目信息填空：__________，的面积＝__________； (2)直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标； (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 2．（24-25九年级下·四川巴中·月考）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标； (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值． 4．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 5．（24-25九年级下·广西南宁·月考）如图，抛物线与y轴交于，且对称轴，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形的周长为C： ①当周长C最大时，求点P的坐标； ②如图2，当周长C最大时，点P，D的位置分别记为，将抛物线平移，使其顶点始终在直线，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求m的值． 题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上． ①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标； ②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标． 4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与直线交于点，点在轴上．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)如图1，过点作交抛物线于点，连接，当四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．连接，求四边形面积的最大值． 5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题（共小4题） 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 2.（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． (1)求n和b的值； (2)为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题（共1小题） 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 题型八 利用二次函数解决定值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，是直线上方抛物线上一点，作轴交抛物线于点，过点作轴交于，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，已知点直线过点且与抛物线交于点，，直线、与轴分别交于，两点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 【答案】(1) 2．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N．求的最大值和此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 4．（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·云南临沧·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题 题型1 利用二次函数解决单线段的最值问题 题型2 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 题型3 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 题型4 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 题型5 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 题型6 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 题型7 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 题型8 利用二次函数解决定值问题 题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： (3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得直线的函数解析式为，设与直线平行的直线的函数解析式为，由题意，当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点．联立方程组得，由根的判别式列方程求得，进而求得方程的解即可； （3）将点代入直线解析式，进而得出直线，联立抛物线与直线，利用一元二次方程根和系数的关系，得到，进而得到的中点的横坐标，从而得到点，同理可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得到直线必经过定点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； （3）证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数和直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等知识，题目较难，计算量大，利用数形结合的思想解决问题是关键． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，二次函数（，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于，两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线于点D． (1)求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标； (2)设点C坐标为，线段的长为s，求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值． 【答案】(1)，顶点为 (2)，最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）用待定系数法可求出俄日阐述解析式，化为顶点式可求出它的顶点坐标； （2）先求出直线的表达式，表示出点P和点D的坐标，即可求出求出s与t的函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得 ． 解得． ∴二次函数的关系式为， ∴顶点为． （2）解：设直线的表达式为（）， 将点，代入，得． 解得， ∴直线的表达式为． ∵，PC⊥x轴，交直线于点D， ∴点P的坐标为，点D的坐标为． ∴ ． ∵，且， ∴当时，s有最大值，最大值为． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值； (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）把点的坐标，抛物线对称轴直线代入计算即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，结合轴，轴，可得，设，求出，则，根据二次函数最值的计算方法即可求解； （3）求出新抛物线的解析式为，设点，根据坐标两点间的距离公式求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由（1）可得抛物线解析式为， ∴令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点是抛物线上一线，且在直线下方， ∴设， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，有最大值，最大值为：； （3）解：将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线， 则， 设点， ， ， ， 整理得：，即， 解得：， M点横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次含最值的计算方法，勾股定理，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键． 2．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 3．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设，则，然后求出，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，然后过点B作，使，连接，，则有，则可得到当，G，C三点共线时，取得最小值，然后解题即可． 【详解】（1）解： 抛物线过点， 解得． ． （2）解：设，则， 由，得， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 点在直线上， ， ． 将代入， 解得（不合适的值已舍去）， ． （3）解：如图，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，． 过点作，使，连接， ． ， ． 要使的值最小，则的值最小， 当三点共线时，取得最小值． 又， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； （3）解：如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】(1)，； (2)，最大面积为； (3),． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； （3）解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用两点式写出函数解析式，再把代入，求解即可； （2）根据，得到当三点共线时，的值最大，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， ∴直线与对称轴的交点即为点， 设直线得解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， ∴． 3．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 4．（24-25九年级上·湖北荆门·月考）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 5．（23-24九年级下·宁夏银川·月考）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识点， （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点，且它的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 设抛物线解析式为，把代入，得， 解得：， ∴， 故此抛物线的解析式为； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，      ∴设， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点H，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为； （3）设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 当的值最大时，A、B、P在同一条直线上， ∵P是抛物线上的动点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 此时，．    题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)：或 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可． （2）如图，延长交轴于，证明，可得，求解直线为，设，利用二次函数的性质求解，连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可． （3）求解平移后的抛物线为：，证明，此时重合，如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，求解直线为：，进一步可得，同理可得： 直线为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：如图，延长交轴于， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 设， 则，， ∴ ， 当时，增大， ∴， 连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 最小值为：． （3）解：∵， 抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P， ∴平移后的抛物线为：， 抛物线的对称轴为直线：， ∴，此时重合， 如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得：， 直线为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，线段和的最值问题，全等三角形的判定与性质，求解两个函数的交点坐标，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合． （1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可； （2）先求出，直线解析式为，再设，则，得到，再说明是等腰直角三角形，得到 的周长为，代入得到当时，的周长取得最大值，此时，，连接，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在上时，最小，求出的长即可； （3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线的表达式为：，当点在点下方时，由，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点的上方时，取点，则，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出． 【详解】（1）解：令得，，则，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，解得， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为 ， ∴当时，的周长取得最大值，此时，， ∴， 连接，， ∵作轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴的中点G坐标为， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：，解得或， ∴， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或， ∴点， ∴设直线线的表达式为：， 当点在点下方时， ∵， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 当点在点的上方时，取点，则轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 综上所述，当时，点Q的坐标为或． 4．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)，，解答过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可； （3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在上方时和当在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设，，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，， 则，， ∵拋物线与轴交于两点， ∴点A、B关于直线对称， ∴， ∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵将拋物线沿方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线， 则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴，解得，（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 当在上方时，如下图， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 则T坐标为； 当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 故即T的坐标为， 综上，满足条件的所有点T坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图1，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，再求出二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性得到点为与对称轴的交点时，的值最小．求出直线的解析式，即可得到点的坐标； （3）设，则，连接，则，结合勾股定理得到切线为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，根据以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等列方程，求出，假设过点，则有以下两种情况：①当点在点的上方，即；②当点在点的下方，即，分别求出的值，得到或，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ，解得：， 二次函数解析式是； （2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下： 二次函数解析式是， 当时，， ， 抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称， 点为与对称轴的交点时，的值最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得： ，解得：． 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，． 在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小； （3）解：拋物线过，， 拋物线的对称轴为， 设， ， ， 如图：连接，则， ， 切线为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则：， ， ， ， 假设过点，则有以下两种情况： ①如图：当点在点的上方，即， ， 解得：或， ， ； ②如图2：当点在点的下方，即， ， 解得：， ， ； 综上，或． 当不经过点时，或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则 ，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； （3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则 ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线 (1)根据题目信息填空：__________，的面积＝__________； (2)直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标； (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1)；6 (2) (3)L的最小值为，此时B点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据二次函数的对称轴求出，得到抛物线的解析式，即可得到点，，C的坐标，即可得到的面积； （2）直线与抛物线相交于两点，联立方程组利用根与系数的关系得到，，再由，代入得到，即可得到直线解析式，再次联立方程组，求出坐标； （3）平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，由于构成多边形的周长为，线段平移过程中，的长度不变，所以要使最小，只需最小，设的解析式为：，将，代入求得，令，即可得到，从而得到的最小值为，最后求得的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 令，即， 解得：，， ∵点和点是轴（点在点的左侧）， ∴，， 令，则， ∴， ∴． 故答案为：2；6． （2）解：由题可得：， 整理得：， ∴是的两个根， ∴，， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴直线解析式为：， ∵直线与抛物线相交于两点， ∴ 解得：或， ∴． （3）解：抛物线图象如图所示： 平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接， 由（1）知：，，， ∵O，B，P，C构成多边形的周长为， ∴在线段平移过程中，的长度不变， ∴要使最小，只需最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 令时，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴． 2．（24-25九年级下·四川巴中·月考）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值； （2）设设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求解直线的解析式为： 可得 设，再利用勾股定理表示，，，再分三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴ 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； ③当时，， ∴ 解得：或 ∴点的坐标为或， 综上，所有符合条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标； (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值． 【答案】(1)； (2)， (3)；10 【分析】本题考查了二次函数的综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段周长问题,正确记忆超过知识点是解题关键. （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解； （3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入解析式得，解得 抛物线的解析式为 ， ∵， ∴顶点D得坐标为． （2）解：将代入， 得，解得，， ． ， 点得横坐标为． 时，， 时，， ，； （3）解：由抛物线可知对称轴为， 点P的横坐标为m，轴， M点横坐标为m， 则， , ∴矩形的周长 ∴当时，矩形的周长最大值为10． 4．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 【答案】(1)； (2)四边形周长的最小值为，； (3)当时，代数式的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）连接，利用对称性求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）先求得翻折后的解析式为，推出直线与只有唯一的一个交点，利用根的判别式求得（舍去不符合题意的），求得代数式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点和， ∴， 解得， ∴此抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点， 连接， 由函数的对称性质知， ∴四边形的周长， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ， ∴四边形周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图， 当直线与图中的新图象只有三个交点时， 则直线与只有唯一的一个交点， 联立得， 整理得， 则， 解得或， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，代数式 ， ∵当时，的值随的增大而减少， 故当时，代数式的值最大； 当时，的值随的增大而增大， 故当时，代数式的值最大； 又∵当时，； 当时，； 而， ∴当时，代数式的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、周长的计算、点的对称性、翻折变换等知识点，运算能力是本题解题的关键． 5．（24-25九年级下·广西南宁·月考）如图，抛物线与y轴交于，且对称轴，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形的周长为C： ①当周长C最大时，求点P的坐标； ②如图2，当周长C最大时，点P，D的位置分别记为，将抛物线平移，使其顶点始终在直线，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①当C最大时，点P的坐标为；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）①设点P的横坐标为p，根据对称性得出点D的横坐标为，求出，，则周长，求出最大值即可； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出平移后抛物线的解析式为，分两种情况：当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴； 令，则， 解得，， 由（1）知，抛物线的对称轴为直线． 设点P的横坐标为p， 由对称性可知，点D的横坐标为，    当时，， ∴， 由题意可得：四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，C取最大值18，此时． ∴当C最大时，点P的坐标为； ②由①可知，， 设的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理由，可求得直线的解析式为， 当时，， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为．    当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时， ， 整理得， ∴， 解得：； 当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时， 这个公共点在线段上(不包括点H)， 当在平移后的抛物线上时，， 解得(舍去)，， ∴， 综上可知，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； (3)过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合． （1）把点B坐标为，点C坐标为代入列方程计算即可； （2）过作轴交于，设，则，根据 表示出面积，最后求最大值即可； （3）①设，则， ，点P到y轴的距离为，，再分情况讨论去绝对自即可； ②根据结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点B坐标为，点C坐标为，则， 设直线解析式为，把代入， 解得， ∴直线解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时； （3）解：①设， ∵过点P作轴，交直线于M， ∴， ∴，点P到y轴的距离为， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； ②∵， ∴当时，，解得（舍去）或； 当时，，整理得，方程无解； 当时，，整理，解得或（舍去）； 综上所述当时，或． 3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上． ①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标； ②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】（1）把B、C的坐标代入二次函数表达式，再根据对称轴利用待定系数法求解即可；（2）①由PA⊥NA，且PA=NA，可证，则PD=AE，PD=AE=AO-EO=3-1=2，即，即可求解；②利用，求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，其对称轴为， ∴，解得 ∴二次函数的解析式为，顶点坐标为． （2）令， 解得或． ∴点． 如图，作PD⊥x轴于点D． 设对称轴与x轴交于点E，∴AE＝2． 设点． ∵PA⊥NA，且PA＝NA， ∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠EAN=90°, ∴∠APD=∠EAN， 又∵∠PDA=∠AEN=90°， ∴(AAS)， ∴PD＝EA． 即， 解得（舍去）或． ∴点． ②如图，连接PO． ． ∴四边形PABC面积的最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本次考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形全等、解直角三角形等知识，其中是本题的难点． 4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与直线交于点，点在轴上．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)如图1，过点作交抛物线于点，连接，当四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．连接，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或． (3)． 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，得到抛物线表达式，再令求点坐标． （2）先求出直线解析式，设运动时间，表示出点坐标，进而得到点坐标，求出长度，利用平行四边形对边相等列方程求解． （3）过点作辅助线，分别表示出相关线段长度，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，得到关于的二次函数，求其最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 令，则， ， 解得或， ∵点在点右侧， ∴点的坐标为． （2）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点从点出发，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ∴．， ∵直线的解析式为， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ∵， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得或． （3）解：过点作轴于点，轴于点． 由（2）知，则，，． ， ， ∴ ． ∵， ∴当时，四边形有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数解析式、平行四边形的性质、二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题（共小4题） 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 2.（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，面积最值问题，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求出的值，由可得，代入到抛物线的解析式求出的值，即可得出答案； （2）过点E作轴交于点，根据二次函数的性质求出B，C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，利用三角形的面积公式表示出的面积，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 代入到抛物线得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点E作轴交于点， 令，则， 解得：，， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，有最大值， 此时， ∴点E的坐标为． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． (1)求n和b的值； (2)为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，构建二次函数求最值是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数和二次函数的解析式，求解即可； （2）作轴交于点，设点的横坐标为，用含的代数式表示点和的坐标，进而构建的二次函数，求出的最大值，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于轴上的点和点， ∴， 解得：； （2）解：作轴交于点，如图所示， 抛物线的解析式为：， 设，， ， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时最大，其最大值为：． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； （3）解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题（共1小题） 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的解析式求出点、的坐标，代入抛物线求得、的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据四边形面积最大值时，点到直线的距离最远，即此时直线与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线解析式，使该方程判别式为即可求得的坐标． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 令，则，令，则， 点坐标为，点的坐标； ， 代入抛物线得：， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， 设直线的表达式为， 将代入直线即可求得， 直线， 设过点与直线平行的直线：， 四边形面积最大值时，点到直线的距离最远， 即此时直线与抛物线只有一个交点， 令， 化简得①， 由得：， 方程①的解为， 四边形面积最大值时相应点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型八 利用二次函数解决定值问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，是直线上方抛物线上一点，作轴交抛物线于点，过点作轴交于，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，已知点直线过点且与抛物线交于点，，直线、与轴分别交于，两点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)是定值，值为． 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等． （1）已知抛物线与轴交点坐标，可利用交点式设抛物线解析式，再代入已知点求解． （2）先求出直线解析式，设出点坐标，进而表示出与，通过二次函数性质求最值． （3）设出直线解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，再求出直线、与轴交点坐标，进而计算． 【详解】（1）解：当时， ，则， 设抛物线解析式为，因为抛物线过点， 将代入得：，即， 解得． 所以抛物线解析式为． （2）设直线解析式为，，， 代入可得， 解得，所以直线解析式为． 设，因为轴，点纵坐标与点相同， 令， 即，， 解得，， 所以， 则． 又． ， 当时， 有最大值，此时． （3）是定值． 解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 解得： 同理： ， ∴为定值，定值为． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 3．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 【答案】(1) (2)①的最大值为；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ②由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ②∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：①当点与点重合时，满足为等腰三角形，②当时，过点作于点，如图，③当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据题意， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，当时，， ∴， 点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． （3）解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图， ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N．求的最大值和此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，取得最大值，此时 (3)点Q的坐标为，， 【分析】（1）首先求出，再由可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时； （3）首先求出， 进而可得将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线时，点的对应点是的中点，由此确定平移方式，进而确定平移后的新抛物线表达式为，再根据，可得，分两种情况求出的函数表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； （2）解：∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设 ∵， 设直线表达式为 则，解得 ∴直线表达式为 ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，此时； （3）解：∵，， ∴， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴点移动到的中点， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵ ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长交抛物线于点， ∴， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为 设直线表达式为， ∵， ∴，即， ∴设直线表达式为， 联立得，，解得：，（不合题意舍去） ∴点坐标为， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴可得直线表达式为 联立得，，解得：（不合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为，， 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，构造相等角的方法，能够对知识点综合运用是解题关键． 4．（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 5．（25-26九年级上·云南临沧·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数解析式的求解和图象性质： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的对称性知A关于对称轴对称的点为B，则，，当B、P、C三点共线，取最小值．求出直线的表达式，求出与抛物线对称轴的交点即为P． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由题可知，A关于对称轴对称的点为B，则， ∴， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 即当B、P、C三点共线时，的最小值为， 设直线为， 将代入，得， 解得， ∴直线为， 当时，， ∴P的坐标为． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵ ，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $