第5章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）数学苏科版九年级下册

第5章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 2．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 3．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 4．物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 5．已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． 6．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为任意实数）；⑥若是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵拋物线对称轴为， ∴，故①正确． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． 由图象可知，当时，， ∴，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ， ， ∴，故④正确． ∵当时，取得最大值， ∴，即（为任意实数），故⑤正确． ， ∴点关于抛物线对称轴对称， ∴，故⑥错误． 综上所述，正确的是①②④⑤，共4个． 故选：B． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：将抛物线 向上平移2个单位长度，新抛物线的方程为 ， 令 ，得 ，即 ， 解得， ∴平移后的新抛物线与x轴交点的坐标为 ， 故答案为：． 8．iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为 米/秒（保留一位小数）． 【答案】 【详解】解：由自由落体运动公式，其中初始速度，加速度 ，下落高度． 代入得， 所以，保留一位小数约为． 故答案为：． 9．抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接） ． 【答案】 【分析】 【详解】解：，则， 那么抛物线开口向下， ∴点远离抛物线的对称轴，则纵坐标越小，即函数值越小， ∵对称轴为直线 ∴ ∴， 故答案为：． 10．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 【答案】 【分析】 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 11．二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵当时， ∴二次函数的图象经过点， ∵二次函数的图象也经过点， ∴二次函数的图象与x轴的交点为和， ∴关于x的方程的根为或， 故答案为：或． 12．点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵设抛物线的对称轴为直线，即， ∴， 故答案为：． 13．如图，正方形关于轴对称，边在轴上，正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，．若抛物线经过点和点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：∵正方形关于轴对称，边在轴上，，， ∴， ∴， ∵正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，，． ∴， ∴， ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 16．已知抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， 点在点左侧， 点的坐标是， 当时，可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标，点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， 二次项系数为， 有最大值，最大值是．nn 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数（）的图象经过点． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 【详解】解：（1）若，则， 代入得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）代入点，可得：， 整理得：， ∴， 对称轴为：直线， ∵时，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， 若使，则点距离对称轴更远， 则应有：， 解得：或． 18．如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； （2）解：由题意知， ∴． 19．已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 【答案】(1)证明见解析 (2)把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点 【分析】 【详解】（1）证明：， ∴方程没有实数解， 即不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）解：函数， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是， 此时这个函数的图象与轴只有一个公共点， 因此，把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点． 20．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 21．已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的值． (2)若点，在此抛物线上，求的值． 【答案】(1)； (2)2025或2007 【分析】 【详解】（1）解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，且对称轴为直线， ∴， 解得； （2） 解：把代入函数解析式得， 整理得：， ∴， ∴， ①若与不重合， 则，解得：， ∴ ； ②若与重合，则， ∴ ． 22．已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】 【详解】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求的值并写出抛物线的解析式； (2)求点，顶点的坐标； (3)判断的形状，证明你的结论. 【答案】(1)， (2)， (3)直角三角形，证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：将代入二次函数， 得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， （2）解：∵， ∴， 在中，令，则，即； （3）解：是直角三角形，证明如下： 令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 24．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵米，米，米，米， ∴米，米， 即A、B的坐标为、， 设直线AB的解析式为（）， 则， 解得， 则直线AB的解析式为； （2）解：设点P的坐标可以表示为， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，S有最大值． 此时，， ∴． 25．定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 【答案】(1)；和 (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得， ∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是； 二次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得或， 当时，；当时，， ∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和， 故答案为：；和． （2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 将点代入函数得：，解得， ∴这个函数的解析式为， 设点的坐标为， 将点代入函数得：， 解得或（即为点的横坐标）， ∴点的坐标为． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②或； (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：①当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ②令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； （2）解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴． 27．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 2．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为任意实数）；⑥若是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为 ． 8．iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为 米/秒（保留一位小数）． 9．抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接） ． 10．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 11．二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为 ． 12．点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 13．如图，正方形关于轴对称，边在轴上，正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，．若抛物线经过点和点，则的值为 ． 14．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 16．已知抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，则的最大值为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知二次函数（）的图象经过点． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 18．（8分）如图，过点的抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积． 19．（8分）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 20．（8分）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 21．（8分）已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的值． (2)若点，在此抛物线上，求的值． 22．（8分）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 23．（8分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求的值并写出抛物线的解析式； (2)求点，顶点的坐标； (3)判断的形状，证明你的结论. 24．（8分）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 25．（8分）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 26．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 27．（10分）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $