第5章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版九年级下册

第5章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为． 故选：C． 2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵ 二次函数为（）， ∴ 对称轴为， 点，，到对称轴的距离分别为：，，， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 图象上的点到对称轴的距离越大，函数值越大， ， ， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向（    ）平移1个单位，可以得到抛物线． A．上 B．下 C．左 D．右 【答案】C 【详解】∵ ， 原始抛物线为 ， ∴ 将 向左平移1个单位，得到 。 故平移方向为左。 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】B 【详解】解：∵， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的任意一点，过点作轴交抛物线于点，若，则点到轴的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故选：A． 6．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴时，， ， 即，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根，故④正确； 综上，②③④正确． 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 8．两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：符合条件的二次函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】一 【详解】解：抛物线开口向下， ， 又对称轴在轴左侧， ， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第一象限， 故答案为：一． 10．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 【答案】或 【详解】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为 ． x …                1 5 … y … 0 5 9 5      … 【答案】 【详解】解：由表格数据，当时时，根据二次函数图象的对称性， 对称轴为． 点和的横坐标平均值， 即两点关于对称轴对称， 因此． 故答案为：． 13．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 14．若二次函数的图像与x轴有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】 【详解】解：因为是二次函数，函数图像与x轴有公共点， 所以，一元二次方程有实数根， 所以 解得： 综上，m的取值范围是且． 故答案为：且． 15．已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 16．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为： 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知抛物线经过点和． (1)求，的值； (2)判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个抛物线上，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不在该抛物线上． 18．（8分）已知抛物线满足以下条件，求对应的函数解析式． (1)图象过，和三点； (2)图象顶点为，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数图象过，和三点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数的图象顶点为， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为，即为． 19．（8分）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 20．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， 所以这个二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：当时，，解得或， 当时，，解得或， 利用描点法画出二次函数的图象如下： ． （3）解：结合函数图象可知，当时，． 21．（8分）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，其月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出_____桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为_____元． (2)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时，才能使超市获得最大利润，最大利润是多少? 【答案】(1)； (2)销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元 【分析】 【详解】（1）解：当售价为35元时， 每月可以售出（桶）； 设销售价格应定为x元，则 ， 解得， 故答案为：；． （2）解：设利润为，售价为元， ∵销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶， ∴ 根据题意得， ∵， ∴开口方向向下， ∴当时，取得最大值，最大值为元 答：销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元． 22．（8分）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴点. 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为； （2）解：函数与直线平行， 当时，. 23．（8分）在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：把点代入函数中， 得， 解得； （2）解：在（1）的条件下，，故函数解析式为， 对称轴为直线，开口向下， 在时， 根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为， 则到直线的距离为； （3）解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当时， ①若，即时， 则当时，函数有最大值，即产生最高点， 又∵最高点到直线的距离为， ∴， 解得：或(皆不合题意，都舍去)； ②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为， 又∵最高点到直线的距离为，故， 解得：或2(舍去)， 或 (舍去)， 综上的值为或． 24．（8分）某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． (1)写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)，自变量的取值范围是 (2)50元或80元 (3)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【分析】 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得： 解得 ∴y与x之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：由题意，得： ， 解得， 又∵， ∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元． （3）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意，得： ． ∵， ∴w有最大值． ∵， ∴当时，w取得最大值为6250， ∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 25．（8分）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时， ∴ ∴对称轴为直线； （2）将点代入抛物线中 ∵ ∴ ，，是方程的两个根， ； （3） 将代入二次函数得， ∴， ∴． 26．（8分）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)将抛物线向右平移h（）个单位，所得新抛物线与x轴交于点、，与原抛物线的交点为P，连接、，当的面积为2时，求此时h的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的函数关系式为， 将点C的坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：∵，， ∴， 由平移的性质可知． ∵的面积为2， ∴，即， 解得， ∴或， 将代入得：， 解得：或， ∴点P的坐标为，平移前点P的对应点的坐标为， ∴； 将代入得：， 解得：或， ∴点P的坐标为，平移前点P的对应点的坐标为， ∴． 综上所述，当或时，的面积为2． 27．（10分）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后， ∴点，的对应点坐标为， 由（1）知二次函数的表达式为， 令， 解得：， 令， 解得：， 如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 综上，时，恰好与的图象有交点； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，即时， 二次函数的最大值为，最小值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； ②当时， 二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为， ∴或， ∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)； 当时， 二次函数的最小值为，最大值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； 综上，n的值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向（    ）平移1个单位，可以得到抛物线． A．上 B．下 C．左 D．右 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 5．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的任意一点，过点作轴交抛物线于点，若，则点到轴的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．抛物线与轴的交点坐标是 ． 8．两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 9．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 10．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为 ． x …                1 5 … y … 0 5 9 5      … 13．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 14．若二次函数的图像与x轴有公共点，则的取值范围是 ． 15．已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 16．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知抛物线经过点和． (1)求，的值； (2)判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 18．（8分）已知抛物线满足以下条件，求对应的函数解析式． (1)图象过，和三点； (2)图象顶点为，且过点． 19．（8分）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 20．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 21．（8分）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，其月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出_____桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为_____元． (2)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时，才能使超市获得最大利润，最大利润是多少? 22．（8分）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 23．（8分）在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 24．（8分）某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． (1)写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 25．（8分）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 26．（8分）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)将抛物线向右平移h（）个单位，所得新抛物线与x轴交于点、，与原抛物线的交点为P，连接、，当的面积为2时，求此时h的值． 27．（10分）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $