精品解析：天津市第五十四中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高三上学期期中考试 一、单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 7. 已知函数（，）最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 定义在R上的偶函数满足，且当]时， ，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知复数z满足，则______． 11. 在的展开式中，的系数为______. 12. 已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 13. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 14. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 15. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则最小值为___________ 三、解答题 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求，； （3）若，求. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，则直线平面； （2）求二面角的正弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期中考试 一、单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集和并集运算求解. 【详解】， ， . 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，再由充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 由于或是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形可知，函数为偶函数，，且函数在处无定义，逐项判断即可. 【详解】由图可知，函数为偶函数，，且函数在处无定义， 对于A选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于B选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，且，合乎题意； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为，不合乎题意. 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用指数幂，同底数指数幂运算法则，对数运算法则化简计算即可. 【详解】因为，，， 所以原式. 故选：D 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 6. 将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的平移变换得到，进而结合正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确. 故选：D 7. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 8. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 9. 定义在R上偶函数满足，且当]时， ，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可. 【详解】因为，且为偶函数 所以，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 作出，在同一坐标系的图象，如图， 因为方程至少有8个实数解， 所以，图象至少有8个交点， 根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点， 由图可知，当时，只需，即， 当时，只需，即， 当时，由图可知显然成立， 综上可知，. 故选：B 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 二、填空题 10. 已知复数z满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则即可求解. 【详解】由，可得. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】的展开式中的通项公式为， 所以当时，， 的系数为. 故答案为：80. 12. 已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 13. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点的坐标，再求出直线的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案. 【详解】圆心与焦点重合， 由可得 由点斜式方程可得： 即：，原点到的距离． 故答案为：. 14. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 15. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则最小值为___________ 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 三、解答题 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求，； （3）若，求. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可. （2）通过余弦定理得到，进而结合求解即可. （3）通过正弦定理得到，再判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由, 根据正弦定理，得， 则， 在中，，则， 又，故. 【小问2详解】 由， 根据余弦定理可得，整理可得， 又，解得，或，（舍去）. 【小问3详解】 由，根据正弦定理，得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则， ， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，利用向量证明，，根据线面垂直的判定定理证明； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角； （3）由（1）平面的一个法向量为，利用向量法求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. 【小问2详解】 设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，则直线平面； （2）求二面角的正弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用面面平行证明线面平行； （2）利用坐标法求二面角余弦值，在求解该角的正弦值； （3）设，可表示点与，再根据线面夹角向量法求得即可. 【小问1详解】 如图所示， 在线段上取一点，使，连接， 因为，则, 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，点为中点，， 所以平行且等于，即四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又， 所以平面平面， 因为平面，平面 所以在平面内一定存在一条直线与直线平行， 所以平面. 【小问2详解】 如图所示， 因为平面，， 所以点为坐标原点，以分别为轴 建立空间直角坐标系， 所以由题意得：， 又点为中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则， 令， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则， 令， 所以， 设二面角的大小为， 所以 ， 所以二面角的正弦值为： . 【小问3详解】 存在点，使与平面所成角的正弦值为， 此时或， 理由如下： 假设存在点，设， 即， 由（2）知， 且平面的法向量为， 则， 所以， 所以， 设与平面所成角为， 则 ， 化简得：， 解得：或， 故存在点，使与平面所成角的正弦值为， 此时或. 19. 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且点 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即. 【小问2详解】 设点、，则， 因为，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. 【小问3详解】 在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）1. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调性. （3）将给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数的定义域为， ，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而，所以整数m的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $