专题6.3.3 余角和补角（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.3.3 余角和补角 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：余角和补角的定义 1 知识点梳理02：余角和补角的性质 1 优选题型 考点讲练 2 考点1 求一个角的余角 2 考点2 求一个角的补角 3 考点3 与余角、补角有关的计算 4 考点4 同(等）角的余(补)角相等的应用 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 11 知识点梳理01：余角和补角的定义 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 知识点梳理02：余角和补角的性质 （1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 考点1 求一个角的余角 【典例精讲】（20-21七年级上·陕西西安·期末）若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点．的度数为__________；与的度数之间的关系为__________． （2）将正方形绕点旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）将正方形绕点旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 考点2 求一个角的补角 【典例精讲】（21-22七年级上·四川眉山·阶段练习）下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【变式训练2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 考点3 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【变式训练2】已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 考点4 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【实践活动】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）与的大小关系是：_____；（填“”“”或“”） （2）若，求的度数； 若是的平分线，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图，若，且，若，求的度数． 1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    3．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 4．（2021·广西百色·中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（    ） A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′ 5．（2021·辽宁营口·中考真题）若，则的补角等于 ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中不正确的是（    ） A．过一点可以画无数条直线 B．两条直线相交，只有一个交点 C．同角或等角的补角相等 D．补角比余角大 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知和互为补角，且比小，则的度数为 ． 5．与互余，，，则 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是其补角的一半，则的度数为 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． (1)和相等吗？为什么？ (2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． 8．如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，若． (1)求出及其补角的度数． (2)判断与是否互补，并说明理由． (3)若，则与是否互补？请说明理由． 10．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 培优拔高 1．下列说法不正确的个数有（   ） ①经过两点有一条直线，且只有一条直线； ②常数项的同类项还是常数项； ③等角的补角相等； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；②如果，那么与互为相反数；③多项式为三次三项式；④一个角的余角比它的补角大；⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离．其中正确的是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有 ．（只填写正确结论的序号） 6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 7．如图，O是直线上一点，平分． (1)若，请求出和的度数． (2)若和互余，且，请求出和的度数． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 10．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3.3 余角和补角 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：余角和补角的定义 1 知识点梳理02：余角和补角的性质 1 优选题型 考点讲练 2 考点1 求一个角的余角 2 考点2 求一个角的补角 5 考点3 与余角、补角有关的计算 9 考点4 同(等）角的余(补)角相等的应用 13 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 26 知识点梳理01：余角和补角的定义 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 知识点梳理02：余角和补角的性质 （1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 考点1 求一个角的余角 【典例精讲】（20-21七年级上·陕西西安·期末）若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求一个角的余角，度、分、秒单位的换算，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义求出余角，再进行单位换算即可． 【规范解答】解： ， ， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【思路引导】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点．的度数为__________；与的度数之间的关系为__________． （2）将正方形绕点旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）将正方形绕点旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 【答案】（1），；（2）；（3）； 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图①，由四边形为正方形，得，，所以，从而得到； （2）如图②，先根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，即可得到； （3）如图③，先根据角平分线的定义得到，则，根据平角的定义得到，变化后 ，消去，可得到． 【规范解答】解：（1）如图①，四边形为正方形， ，， ， ， 故答案为：，； （2）与的度数之间的关系没有发生改变，理由如下： 如图②，， ， 的平分线交正方形的边于点， ， ， ； （3）如图③，平分， ， ， ， ， ． 考点2 求一个角的补角 【典例精讲】（21-22七年级上·四川眉山·阶段练习）下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了平角的定义，补角的性质，线段的性质，掌握基本概念与性质是解题的关键．根据平角的定义判断①；根据补角的性质判断②；根据线段的和与差判断③；根据线段的性质判断④ 【规范解答】解：①平角不是一条射线，错误； ②同角或等角的补角相等，正确； ③若在同一条直线上，线段，，则线段或，错误； ④两点之间线段最短，正确． 共有2个正确； 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【思路引导】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件 ，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 【变式训练2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 考点3 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【思路引导】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的性质，余角的定义是解题的关键． （）根据补角的性质，可得，根据解方程，可得答案； （）根据余角的定义，可得答案． 【规范解答】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得； （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 【变式训练2】已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即． 考点4 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【思路引导】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ② ，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下： ，， ． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线 (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质解答即可； （3）分两种情况，根据平角等于180°求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即所在射线是的平分线； （3）解：∵， ∴可设，则， 如图，若在外部， ∵， ∴， 解得， 即， ∴； 如图，若在内部，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【实践活动】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）与的大小关系是：_____；（填“”“”或“”） （2）若，求的度数； 若是的平分线，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图，若，且，若，求的度数． 【答案】（）；（） ； ； （3）． 【思路引导】本题考查了同角的余角相等，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据同角的余角相等即可求解； （）由角度和差即可求解； 由角平分线定义得，再通过角度和差即可求解； （）由角度和差即可求解． 【规范解答】解：（）因为， 所以， 所以， 故答案为：； （）因为， 所以， 所以； 因为是的平分线，， 所以， 所以； （3）因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】。 则的补角为． 故选：D． 2．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【思路引导】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 3．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 【答案】135°/135度 【思路引导】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可． 【规范解答】， ， 故答案为：135°． 【考点剖析】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2021·广西百色·中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（    ） A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′ 【答案】B 【思路引导】根据互为余角相加等于以及度分秒的进率计算即可． 【规范解答】解：∵∠α＝25°30′， ∴它的余角为， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查余角的性质以及度分秒的计算，熟知度分秒的进率为60是解题的关键． 5．（2021·辽宁营口·中考真题）若，则的补角等于 ． 【答案】146° 【思路引导】两个角和为180°，称这两个角互为补角，据此解题． 【规范解答】 的补角为： 故答案为：． 【考点剖析】本题考查求一个角的补角，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据光的反射定律和已知条件可得：，从而求出，再根据余角的性质可得即可解答． 【规范解答】解：根据光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【规范解答】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 3．下列说法中不正确的是（    ） A．过一点可以画无数条直线 B．两条直线相交，只有一个交点 C．同角或等角的补角相等 D．补角比余角大 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了直线定义，两直线交点情况，以及余角、补角的定义与性质，熟记相关定义是解答本题的关键． 根据相关定义逐项分析判断，即可解题． 【规范解答】解：A. 过一点可以画无数条直线，说法正确，不符合题意； B. 两条直线相交，只有一个交点，说法正确，不符合题意； C. 同角或等角的补角相等，说法正确，不符合题意； D. 补角和余角没有指明是同一个角，例如的补角是，的余角是，此时补角比余角小，所以原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知和互为补角，且比小，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了补角的性质，掌握利用补角和为的性质，结合两角的数量关系求解角的度数是解题的关键； 根据补角的定义，可知与的和为，再结合比小，通过设未知数或直接计算求出的度数． 【规范解答】解：和互为补角， ， ， 将其代入上式可得， 则． 故答案为：． 5．与互余，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了余角的概念，一元一次方程的应用． 根据余角的概念列出方程，解方程求出x的值，求出、的度数，进而计算即可． 【规范解答】解：∵与互余， ∴， ∴， 解得， ，， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是其补角的一半，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据互为补角的和等于，然后根据题意列出关于的方程，求解即可 【规范解答】解：由题意可得：的补角为： 故答案为： 【考点剖析】本题考查了互为补角的和等于的知识点，解决问题的关键是根据题意列出方程． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． (1)和相等吗？为什么？ (2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． 【答案】(1)和相等．理由见解析 (2)和相等．理由见解析 【思路引导】（1）利用同角的余角相等即可求解； （2），利用同角的余角相等即可求解. 【规范解答】（1）解：和相等．理由如下： 由题意可知，OC平分，， ， ． 又 ， ， ． （2）解：和相等．理由如下： 由题意，得， ． 【考点剖析】本题考查了余角的性质，掌握并灵活运用“同角的余角相等”是解题的关键． 8．如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 【答案】(1)是直角，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了直角，平角，余角的性质，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据同角的余角相等即可求解； 【规范解答】（1）解：还有是直角；理由如下： ∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）．理由如下： ∵，即； ，即． ∴． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，若． (1)求出及其补角的度数． (2)判断与是否互补，并说明理由． (3)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补．理由见解析 (3)与不一定互补．理由见解析 【思路引导】(1)根据角的和差关系可求出度数，进而可求出补角的度数；（2）先求出度数，根据角平分线的定义分别求出，再求出度数即可得到结论；（3）方法与（2）相同即可得出成立与否的结论． 【规范解答】（1）解：， 其补角的度数为． （2）解：与互补．理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 与互补． （3）解：与不一定互补．理由如下： ∵平分，平分， ， ， ， 的大小不确定， 与不一定互补． 【考点剖析】本题主要考查了几何图形中角度的计算,求一个角的角度数，补角的定义，角平分线的定义等等． 10．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 培优拔高 1．下列说法不正确的个数有（   ） ①经过两点有一条直线，且只有一条直线； ②常数项的同类项还是常数项； ③等角的补角相等； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了直线基本事实，两点距离的定义，线段中点的定义、同类项，等角的补角相等． 根据直线的性质，同类项，同角的补角相等，两点间的距离的定义，线段中点的定义依次判断． 【规范解答】解：①过两点有且只有一条直线，故①正确； ②常数项的同类项还是常数项，故②正确； ③等角的补角相等，故③正确； ④两点间距离是线段的长度，而非线段本身，故④错误； ⑤若，点不一定在同一直线上， ∴点B不一定是线段的中点，故⑤错误； 综上所述：不正确说法是④⑤，共2个， 故选：A. 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；②如果，那么与互为相反数；③多项式为三次三项式；④一个角的余角比它的补角大；⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离．其中正确的是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴、相反数、多项式、余角与补角、线段，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数轴的性质、相反数的定义、多项式、余角与补角、线段的长度逐个判断即可得． 【规范解答】解：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；则原说法正确； ②如果，那么与互为相反数；则原说法正确； ③多项式为三次三项式；则原说法正确； ④一个角的余角比它的补角小；理由：角的余角为，补角为，则其余角比它的补角小；则原说法错误； ⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离；则原说法正确； 综上，正确的是4个， 故选：D． 3．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角板可得，根据，可得，然后代入，进而得到的度数． 【规范解答】∵，， ∴， 解得：， 根据题意可得：，即， 即：， 解得：， 故选：B． 4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【规范解答】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 5．如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有 ．（只填写正确结论的序号） 【答案】/④① 【思路引导】本题考查了与角平分线有关的计算，与余角，补角有关的计算，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，即可得；因为，，得，故，则与不一定互补，结合，，故与不一定相等，整理得，结合，故与互余，即可作答． 【规范解答】解：①∵，分别平分， ∴， 设， ∴，， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵ 与不一定相等 ∴与不一定互补， 故②不正确； ③∵，， ∴， ∵且与不一定相等 ∴与不一定相等， 故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴ ∴与互余， 故④正确， 故答案为：①④． 6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【规范解答】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 7．如图，O是直线上一点，平分． (1)若，请求出和的度数． (2)若和互余，且，请求出和的度数． 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质以及余角、补角的性质．余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （1）根据角平分线的定义以及邻补角，即可求解； （2）根据余角的定义可得，根据已知可得，根据角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分． ∴， ∴． （2）和互余， ， ， ， ． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①；；；；；；②见解析 (2)或 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线、余角等知识，确定各角度之间的关系是解题关键． （1）①首先确定，结合角平分的定义可知，进而可得； ②选条件Ⅰ：易得，然后结合即可证明结论；选条件Ⅱ：首先由角平分线的定义可得，结合易得，进而可知，即可证明结论； （2）分当在左侧时和当在右侧时两种情况讨论，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：①若，补全求的度数的过程． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：；；；；；； ②选条件Ⅰ，理由如下： ∵平分，， ∴， ∴； 选条件Ⅱ，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为或． 分两种情况讨论： ①如下图，当在左侧时， ∵和互为余角，， ∴，， ∴， ∴； ②如下图，当在右侧时， ∵和互为余角，， ∴， ∴ ∴． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题使用“互余的两个角和为，互补的两个角和为”，结合角平分线将角分成两个相等的部分，进行求解． 【规范解答】解：因为与互为补角，与互为余角， 所以． （1）因为，所以． 故答案为：． （2）因为，所以，所以， 所以． 又因为平分，所以． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了余角、补角的定义以及角平分线的性质，解题关键是熟练掌握“互余的两个角和为，互补的两个角和为”并能结合角平分线的性质进行角度的计算． 10．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $