第五章一元一次方程 专题二 定义新运算 专项练习 2025--2026学年人教版七年级数学上册

专题二 定义新运算专项练习 1．定义一种新运算：m★n＝4m﹣3n（m、n是整式），例：2★3＝4×2﹣3×3＝﹣1，则方程（x﹣1）★（x+1）＝3的解是 　 　 ． 2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成．定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8，则x的值为（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 3．定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣ab，比如1⊕（﹣3）＝2×1﹣1×（﹣3）＝5 （1）求（﹣2）⊕3的值； （2）若（﹣3）⊕x＝（x+1）⊕5，求x的值； （3）若x⊕1＝2（1⊕y），求代数式2x+4y+1的值． 4．定义一种新运算“*”，规则如下：当a＜b时，a*b＝2a+b；当a＝b时，a*b＝a+b；当a＞b时，a*b＝a+2b． （1）求（﹣2）*2值； （2）已知，求x的值． 5．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a，例如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣2）⊕3的值； （2）对于任意有理数x，y，满足x⊕3＝y⊕（﹣3），求8x﹣2y+6的值； （3）若（⊕3）⊕（）＝8，求a的值． 6．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1是“1差解方程”，求n的值； （3）关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与关于y的方程3y＝mn+n，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，请直接写出n的值． 7．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝a时的多项式的值用f（a）来表示．当x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． 已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+x2﹣x﹣10． （1）直接写出g（﹣5）的值　 　 ． （2）当x＝﹣3时，求2g（x）﹣3f（x）的值． （3）若h（2）＝0，求g（﹣2a）的值． 8．探究规律，完成相关题目． 定义“△”运算： （+1）△（+3）＝﹣（12+32）；（﹣2）△（﹣4）＝﹣[（﹣2）2+（﹣4）2]；（﹣2）△（+4）＝+[（﹣2）2+（+4）2]；（+6）△（﹣7）＝+[（+6）2+（﹣7）2]；0△（+4）＝（+4）△0＝（+4）2；0△（﹣3）＝（﹣3）△0＝（﹣3）2；0△0＝02+02＝0． （1）归纳△运算的法则： 两数进行△运算时，　 　 ；（文字语言或符号语言均可） 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，　 　 ． （2）计算：（+1）△[0△（﹣2）]＝　 　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m+2）△（n﹣1）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 9．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）◎3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4． （1）计算（﹣3）※2的值． （2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b． （3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4），求x的值． （4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 10．材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，．如，． 材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　 　 ，[﹣π][π]＝　 　 ； （2）求1⊗2⊗3⊗4⊗⋯⊗101的值； （3）若有理数m，n满足m＝2[n]+7＝[n+1]+2，请求出m⊗[n]的结果． 11．若关于x的二次多项式ax2+bx+c记为f（x），即：f（x）＝ax2+bx+c，把关于x的一次多项式2ax+b记为g（x），即g（x）＝2ax+b，这样我们把g（x）称为f（x）的“H多项式”，把关于x的方程g（x）＝x﹣1的解称为f（x）的“H值”．如：f（x）＝3x2﹣2x+1的“H多项式”为g（x）＝6x﹣2；方程6x﹣2＝x﹣1的解是，则f（x）的“H值”为． （1）若f（x）＝x2+3x+2，则f（x）的“H多项式”g（x）＝ 　 　 ． （2）若f（x）＝ax2﹣2（3x+1），且f（x）的“H值”与一元一次方程的解的和为4，求a的值． （3）已知关于x的二次多项式，且无论t为何值，f1（x）、f2（x）的“H值”始终相等，求m、n的值． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 13．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则该方程为“友好方程”． （1）在方程①﹣2x＝4；②；③中，为“友好方程”的是 　 　 ；（填写序号即可） （2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值； （3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m、n的值． 14．阅读下列材料： 我们规定一种运算ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2，再如4x﹣2． 按照这种运算规定，请解答下列问题： （1）计算： 　 　 ； 　 　 ； （2）若的值是24时，求x的倒数的值． 15．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解为x＝a﹣b，则称该方程为“有趣方程”．例如，2x的解为x，而2，则该方程2x就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”，则c＝　 　 ． （2）若关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a，求a、b的值． 参考答案 1．定义一种新运算：m★n＝4m﹣3n（m、n是整式），例：2★3＝4×2﹣3×3＝﹣1，则方程（x﹣1）★（x+1）＝3的解是 x＝10　 ． 【分析】根据新运算的定义列关于x的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：根据题意，得4（x﹣1）﹣3（x+1）＝3， 去括号，得4x﹣4﹣3x﹣3＝3， 移项、合并同类项，得x＝10． 故答案为：x＝10． 【点评】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成．定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8，则x的值为（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【分析】根据定义列出方程即可求解． 【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8， x2+2x+1﹣1+2x﹣x2＝8， 4x＝8， x＝2． 故选：D． 【点评】考查阅读能力，给出一个新定义运算，本题是列出解方程，对完全平方公式要很熟练． 3．定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣ab，比如1⊕（﹣3）＝2×1﹣1×（﹣3）＝5 （1）求（﹣2）⊕3的值； （2）若（﹣3）⊕x＝（x+1）⊕5，求x的值； （3）若x⊕1＝2（1⊕y），求代数式2x+4y+1的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x+2y的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣4+6＝2； （2）已知等式利用题中的新定义化简得：﹣6+3x＝2x+2﹣5x﹣5， 移项合并得：6x＝3， 解得：x； （3）已知等式利用题中的新定义化简得：2x﹣x＝4﹣2y，即x+2y＝4， 则原式＝2（x+2y）+1＝8+1＝9． 【点评】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．定义一种新运算“*”，规则如下：当a＜b时，a*b＝2a+b；当a＝b时，a*b＝a+b；当a＞b时，a*b＝a+2b． （1）求（﹣2）*2值； （2）已知，求x的值． 【分析】（1）根据新定义，当a＜b时，a*b＝2a+b；进行计算即可求解； （2）分情况讨，分x＞3，x＝3，x＜3三种情况，根据新定义运算，列出方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）∵﹣2＜2， ∴（﹣2）*2＝2×（﹣2）+2＝﹣2； （2）情况一：当3＜x时， ∵， ∴， x＝﹣9， ∵3＜x， ∴舍去， 情况二：当3＝x时， ∵， ∴， x＝9， ∵3＝x， ∴舍去， 情况三：当3＞x时， ∵， ∴， x＝﹣1， ∵3＞x， ∴x＝﹣1， 综上所述：x＝﹣1． 【点评】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 5．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a，例如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣2）⊕3的值； （2）对于任意有理数x，y，满足x⊕3＝y⊕（﹣3），求8x﹣2y+6的值； （3）若（⊕3）⊕（）＝8，求a的值． 【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可； （2）利用规定的运算方法得出4x＝y，代入8x﹣2y+6计算即可； （3）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2） ＝﹣18﹣12﹣2 ＝﹣32； （2）根据题意得：9x+6x+x＝9y﹣6y+y， ∴4x＝y， ∴8x﹣2y+6＝8x﹣8x+6＝6； （3）根据题意得：⊕3（a+1）+3（a+1）（a+1）＝8（a+1）， ∴（⊕3）⊕（）＝8（a+1）⊕（）＝2（a+1）﹣8（a+1）+8（a+1）＝2a+2， ∵（⊕3）⊕（）＝8， ∴2a+2＝8， 解得：a＝3． 【点评】本题考查了新定义，涉及到了有理数的混合运算、一元一次方程．解题的关键是根据新定义进行化简整理． 6．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1是“1差解方程”，求n的值； （3）关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与关于y的方程3y＝mn+n，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，请直接写出n的值． 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于n的方程，再去掉绝对值，并求解； （3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解． 【解答】解：（1）2x＝5x﹣12， 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣12， 解得：x＝4； 3（y﹣1）﹣y＝1， 去括号，得3y﹣3﹣y＝1， 移项、合并同类项，得2y＝4， 解得：y＝2． 根据题意，可得|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1的解是． 根据题意可得，， 整理，得，， 解得：或； （3）方程2（x﹣1）＝3m﹣1的解是； 方程3y＝mn+n的解是． 根据题意可得， 即， 当9﹣2n＝0时，即， 对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键． 7．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝a时的多项式的值用f（a）来表示．当x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． 已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+x2﹣x﹣10． （1）直接写出g（﹣5）的值　﹣34　 ． （2）当x＝﹣3时，求2g（x）﹣3f（x）的值． （3）若h（2）＝0，求g（﹣2a）的值． 【分析】（1）根据举例过程，把x＝﹣5代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，进行计算即可； （2）把x＝﹣3代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，f（x）＝x2+3x﹣5，进行计算即可． （3）把x＝2代入h（x）＝ax3+x2﹣x﹣10得出一个关于a的方程，求出a的值，则﹣2a＝﹣2，把x＝﹣2代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1即可． 【解答】解：（1）由题知， g（﹣5）＝﹣2×（﹣5）2﹣3×（﹣5）+1＝﹣50+15+1＝﹣34； 故答案为：﹣34； （2）当x＝﹣3时， g（﹣3）＝﹣2×（﹣3）2﹣3×（﹣3）+1＝﹣18+9+1＝﹣8， f（﹣3）＝（﹣3）2+3×（﹣3）﹣5＝9﹣9﹣5＝﹣5， 所以2g（x）﹣3f（x）＝2×（﹣8）﹣3×（﹣5）＝﹣16+15＝﹣1； （3）当h（2）＝0时， 则8a+4﹣2﹣10＝0， 解得a＝1， 则﹣2a＝﹣2， 所以g（﹣2a）＝g（﹣2）＝﹣2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣8+6+1＝﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数的混合运算及代数式求值，熟知解一元一次方程的步骤及有理数的运算法则是解题的关键． 8．探究规律，完成相关题目． 定义“△”运算： （+1）△（+3）＝﹣（12+32）；（﹣2）△（﹣4）＝﹣[（﹣2）2+（﹣4）2]；（﹣2）△（+4）＝+[（﹣2）2+（+4）2]；（+6）△（﹣7）＝+[（+6）2+（﹣7）2]；0△（+4）＝（+4）△0＝（+4）2；0△（﹣3）＝（﹣3）△0＝（﹣3）2；0△0＝02+02＝0． （1）归纳△运算的法则： 两数进行△运算时，　若ab＞0，则a△b＝﹣（a2+b2）；若ab＜0，则a△b＝+（a2+b2）　 ；（文字语言或符号语言均可） 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，　都等于这个数的平方　 ． （2）计算：（+1）△[0△（﹣2）]＝　﹣17　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m+2）△（n﹣1）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据题意给出的算式，归纳总结即可； （2）根据法则，列出算式进行计算即可； （3）根据法则，进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意给出的算式归纳总结如下： 若ab＞0，则a△b＝﹣（a2+b2）； 若ab＜0，则a△b＝+（a2+b2）； 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，都等于这个数的平方； 故答案为：若ab＞0，则a△b＝﹣（a2+b2）；若ab＜0，则a△b＝+（a2+b2）；都等于这个数的平方； （2）0△（﹣2）＝（﹣2）2＝4， 原式＝﹣[（+1）2+42] ＝﹣（1+16） ＝﹣17， 故答案为：﹣17； （3）存在， 理由：∵0△0＝02+02＝0， ∴当m+2＝0，n﹣1＝0，即m＝﹣2，n＝1时， （m+2）△（n﹣1）＝0． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算，新定义下的实数运算，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）◎3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4． （1）计算（﹣3）※2的值． （2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b． （3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4），求x的值． （4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）原式利用题中的新定义化简； （4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）×2＝9﹣12＝﹣3； （2）由a，b在数轴上位置可知，a＜0＜b且|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， 则a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b； （3）∵（﹣2）※x＝2◎（﹣4）， ∴4﹣4x＝﹣4 解得：x＝2； （4）∵（﹣3）★5＝4， ∴m★n＝m2﹣n， 故答案为：m2﹣n（答案不唯一）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，．如，． 材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　　 ，[﹣π][π]＝　﹣64　 ； （2）求1⊗2⊗3⊗4⊗⋯⊗101的值； （3）若有理数m，n满足m＝2[n]+7＝[n+1]+2，请求出m⊗[n]的结果． 【分析】（1）根据新定义的运算规则，分别求解即可； （2）根据新定义的运算规则，将式子进行展开，然后求解即可； （3）设[n]＝x，根据题意求得有理数m，n的值，然后代入式子求解即可． 【解答】解：（1）， ∵[1.5]＝1，[﹣π]＝﹣4，[π]＝3， ∴[﹣π][π]＝（﹣4）3＝﹣64． 故答案为：；﹣64； （2）原式 ＝51×101﹣50×101 ＝101； （3）m＝2[n]+7＝[n+1]+2 设[n]＝x，则[n+1]＝x+1， 由题意可得：2x+7＝x+1+2， 解得x＝﹣4， 则m＝2×（﹣4）+7＝﹣1，[n]＝﹣4， ∴． 【点评】此题考查了新运算定义的求解，以及一元一次方程的求解，解题的关键是理解新运算的定义规则，运用规则进行求解． 11．若关于x的二次多项式ax2+bx+c记为f（x），即：f（x）＝ax2+bx+c，把关于x的一次多项式2ax+b记为g（x），即g（x）＝2ax+b，这样我们把g（x）称为f（x）的“H多项式”，把关于x的方程g（x）＝x﹣1的解称为f（x）的“H值”．如：f（x）＝3x2﹣2x+1的“H多项式”为g（x）＝6x﹣2；方程6x﹣2＝x﹣1的解是，则f（x）的“H值”为． （1）若f（x）＝x2+3x+2，则f（x）的“H多项式”g（x）＝ 　2x+3　 ． （2）若f（x）＝ax2﹣2（3x+1），且f（x）的“H值”与一元一次方程的解的和为4，求a的值． （3）已知关于x的二次多项式，且无论t为何值，f1（x）、f2（x）的“H值”始终相等，求m、n的值． 【分析】（1）由“H多项式”的定义直接得解即可； （2）先求出g（x）＝2ax﹣6，再解解一元一次方程可得x＝5，由题可知f（x）的“H值”＝4﹣5＝﹣1，代入2ax﹣6＝x﹣1即可求解； （3）分别求出g1（x）＝4x﹣3t，g2（x）＝2x﹣（2mt+n），及其”H值”为x，x＝2mt+n﹣1，所以2mt+n﹣1，整理得（6m﹣3）t+3n﹣2＝0，无论t为何值，f1（x）、f2（x）的“H值”始终相等，即其与t值无关，令其系数为0即可得解． 【解答】解：（1）由题易得a＝1，b＝3， ∴g（x）＝2x+3， 故答案为：2x+3； （2）∵f（x）＝ax2﹣2（3x+1）＝ax2﹣6x﹣2， ∴f（x）的“H多项式”g（x）＝2ax﹣6， 解一元一次方程可得x＝5， ∵f（x）的“H值”与一元一次方程的解的和为4， ∴f（x）的“H值”＝4﹣5＝﹣1， 即﹣1是2ax﹣6＝x﹣1的解， ∴﹣2a﹣6＝﹣2， 解得a＝﹣2； （3）∵x的二次多项式， ∴g1（x）＝4x﹣3t，g2（x）＝2x﹣（2mt+n）， 令4x﹣3t＝x﹣1得，x， 令2x﹣（2mt+n）＝x﹣1得，x＝2mt+n﹣1， 由题可知2mt+n﹣1， 整理得（6m﹣3）t+3n﹣2＝0， ∵无论t为何值，上述方程均成立， ∴6m﹣3＝0，此时3n﹣2＝0， ∴m＝0.5，n． 【点评】本题主要考查了新定义、解一元一次方程以及一元一次方程的解等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得出，求解即可； （2）根据“美好方程”的定义得出另一个方程的解为1﹣n，结合题意列出一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵4x﹣2＝x+10， ∴x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴， 解得m＝9； （2）由条件可知另一个方程的解为：1﹣n， 又∵两个方程解的差为8， ∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8， ∴或． 【点评】本题考查了解一元一次方程，理解“美好方程”的定义是解此题的关键． 13．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则该方程为“友好方程”． （1）在方程①﹣2x＝4；②；③中，为“友好方程”的是 　②　 ；（填写序号即可） （2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值； （3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m、n的值． 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【解答】解：（1）因为方程①﹣2x＝4的解是x＝﹣2，而﹣2≠4+（﹣2），故①不是“友好方程”； 因为方程②的解是，而，故②是“友好方程”； 因为方程③的解是x＝﹣2，而，故③不是“友好方程”； 故答案为：②． （2）因为关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”， 又方程的解是， 所以，即， 解得； （3）因为﹣2x＝mn+n（n≠0）的解为x＝n， 所以﹣2n＝mn+n，即﹣3n＝mn， 因为n≠0， 所以m＝﹣3； 因为关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“友好方程”， 所以x＝mn+n﹣2，即n＝mn+n﹣2， 所以mn﹣2＝0， 所以mn＝2， 所以， 综上所述，m＝﹣3，．此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念是解题的关键． 【点评】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念是解题的关键． 14．阅读下列材料： 我们规定一种运算ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2，再如4x﹣2． 按照这种运算规定，请解答下列问题： （1）计算： 　﹣7　 ； 　﹣x ； （2）若的值是24时，求x的倒数的值． 【分析】（1）由新定义可得：﹣3×5﹣（﹣2）×4，2×（﹣5x）﹣（﹣3x）×3，然后根据有理数的混合运算，整式的加减运算计算即可； （2）由新定义得出方程：5（x+8）﹣3（x﹣1）＝24，然后根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：（1）由新定义得：﹣3×5﹣（﹣2）×4＝﹣15+8＝﹣7； 2×（﹣5x）﹣（﹣3x）×3＝﹣10x+9x＝﹣x； （2）由新定义得：5（x+8）﹣3（x﹣1）＝24， 去括号，得5x+40﹣3x+3＝24， 移项、合并同类项，得2x＝﹣19， 将系数化为1，得， ∴x的倒数为． 【点评】本题考查了解一元一次方程，倒数，有理数的混合运算，整式的加减，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，倒数定义，有理数的混合运算法则，整式的加减运算法则是解题的关键． 15．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解为x＝a﹣b，则称该方程为“有趣方程”．例如，2x的解为x，而2，则该方程2x就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”，则c＝　﹣4　 ． （2）若关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a，求a、b的值． 【分析】（1）根据“有趣方程”的定义进行计算即可； （2）根据“有趣方程的定义”进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”， 所以﹣2﹣c， 解得c＝﹣4． 故答案为：﹣4． （2）因为关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a， 所以，且3﹣a+ab＝a， 解得a，b＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，理解“有趣方程”的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $