8 单元培优卷(四)(第4章 相交线和平行线)-【单元金卷】2025-2026学年七年级上册数学（华东师大版·新教材）

(3)OP=6,OP=MN=2NP, 得MN=6,NP=3, 所以∠C0Q= 2∠P0Q=45 故MP=6+3=9, 根据旋转的速度，设∠AOQ=3t,∠A0C=30°+6t. 当原点O在点P的右边时，MO=MP+OP=9+6= 由∠A0C-∠A00=45° 15.N0=NP+OP=3+6=9 可得30°+6t-3°t=45° 故点M表示的数为-15，点N表示的数为-9，点P 解得t=5. 表示的数为-6. 所以经过5秒射线0C平分∠POQ. 故a的值为-6-9-15=-30； 当原点O在点P的左边时，M0=9-6=3,NP=9- (3经过9秒0C平分208 6=3, 解法提示：因为OC平分∠POB, 故点M表示的数为-3，点N表示的数为3，点P 所以∠BOC= 2∠POB 表示的数为6. 故a的值为6-3+3=6. 综上所述，a的值为-30或6. 因为∠A0Q+∠P0B=90°， 所以∠POB=90°-3°t. 21.解：(1)因为OA平分∠E0C 因为∠B0C=180°-∠A0C=180°-30°-6t, 所以∠AOC= 2∠E0C= 2×70°=350， 所以180°-30°-61= 2(90°-31)， 所以∠B0D=∠AOC=35 (2)因为∠E0C+∠E0D=180°， 解得=70 ∠EOC:∠EOD=2:3, 所以∠E0C=180x2 =72°. 所以经过秒oC平分LP0B 因为OA平分∠E0C, 8单元培优卷（四） 所以∠A0C=1。 0°0⊙⊙0⊙0⊙0⊙0⊙9⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙8 2 4E0C)×72°=360 快速对答案： 所以∠B0D=∠AOC=36°， 0 1~5 CCCCB 6~10 DABBD 22.解：(1)5 0 11.70°12.3213.50°14.30°0 解法提示：因为点M是线段AC的中点，点V是线段 15.30°或150° BC的中点， 1 所以MC=2AC,NC=2BC 1.C2.C3.C4.C5.B6.D 7.A【解析】如图，因为∠1=130°，∠2=50°，所以 因为MN=MC-NC, ∠1+∠2=180°，所以a∥b,所以∠3+∠5=180°.因 所以MN=AB+BCBC10+66 为∠3=115°，所以∠4=∠5=180°-∠3=65°.故 2222=5(cm). 选A. (2)因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC 的中点， 1 1 所以MC=2AC,NC= 因为MN=MC-NC, 8.B【解析】如图，过点B作BD∥AF,所以∠DBA= 所以MN=AB+BCBC_10+xx ∠BAF=36°.因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°，所以 =5(cm) ∠CBD=∠ABC-∠DBA=54°，因为CE∥AF,BD∥ 2222 AF,所以CE∥BD,所以∠ECB=∠CBD=54°，所以 (3)ZMoN=号 B地在C地的北偏东54°方向.故选B. 解法提示：因为OM平分∠AOC,ON平分∠B0C, 所以∠MOC=1 ∠AOC=+B 2 ∠N0C= 2∠BOC=B 9.B10.D ” 11.70°【解析】如图，因为∠1=110°，所以∠3= 所以∠0N=∠A0 2∠B0C=c9Ba ∠1=110.因为易拉罐的上下底面互相平行，所 222 以∠2=180°-∠3=180°-110°=70°. 23.解：(1)①因为∠A0C=30° 所以∠B0C=180°-30°=150°. 因为OP平分∠B0C, 所以LC0P号∠B0C=75. 所以∠C0Q=15° 所以∠A0Q=∠A0C-∠C0Q=15°， 12.3213.50° 所以t=15÷3=5: 14.30°【解析】在长方形ABCD中，AD∥BC,所以 ②是理由如下： ∠DEF=∠EFB=75.由折叠可知∠D'EF=∠DEF= 因为∠C0Q=∠A0Q=15°， 75°.因为∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°，所以 所以0Q平分∠A0C. ∠AED'=30°. (2)因为射线0C平分∠P0Q, 15.30°或150° 【解析】分两种情况：①如图1，当 CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；②如图2，当CD∥ 因为BN平分∠CBF, AB时，∠C=∠BAC=60°，所以∠BAD=60°+90°= 150°.综上所述，∠BAD的度数为30°或150°. 所以∠NBG=LGBF=60 因为∠MCB=60°，所以∠NBC=∠MCB, 所以BN∥CM. 22.解：(1)如图1，过点M作ME∥AB, 所以∠B=∠BME. 因为AB∥CD,ME∥AB,所 以ME∥CD. 所以∠D=∠DME. 因为∠BME+∠DME=∠BMD. 1 所以∠B+∠D=∠BMD 16.解：因为C010E (2)2∠MNC=∠BMN.理由如下： 所以∠COE=90 如图2，过点M作ME∥AB, 因为∠C0F=34° 过点N作NF∥CD. 所以∠E0F=∠C0E-∠C0F=90°-34°=56° 因为AB∥CD 又因为OF平分∠AOE, 所以AB∥ME∥NF∥CD, 所以∠AOF=∠EOF=56 所以∠B=∠1，∠2=∠3， 因为∠C0F=34, ∠4=∠C. 所以∠A0C=∠A0F-∠C0F=56°-34°=22°， 因为∠B-∠C=。∠BMN, 所以∠B0D=∠AOC=22°， 2 17.解：(1)因为∠A0C=∠B0D,∠B0D=28°， 1 所以∠AOC=28°. 所以∠1-L4=2(∠1+∠2)： 因为∠C0E=2∠AOC, 1 所以∠C0E=2×28°=56° 整理得∠4= 2(∠1-42)， (2)OE1AB,理由如下： 因为OF⊥CD, 2<1、1 所以∠MC=∠3+∠4=∠2+ ∠2= 2 所以∠D0F=90° 因为∠B0F=60°， 2(21+∠2)=2 ∠BMW, 所以∠BOD=90°-∠BOF=30°. 所以∠C0E=2∠AOC=2∠B0D=60° 所以2∠MNC=∠BMN. 所以∠A0E=∠A0C+∠C0E=30°+60°=90°， (3)∠B+∠D=35° 即OE⊥AB. 解法提示：如图3，作EM∥ 18解：方案一更节省材料 AB,GN∥CD,FP∥CD, 理由如下：因为CE⊥AB,DF⊥AB, 又因为AB∥CD,所以 所以CE<PC,DF<PD AB∥EM∥GN∥FP∥CD, 所以CE+DF<PC+PD 所以∠B=∠1，∠2=∠3， 3 所以方案一更节省材料 ∠4=∠5.∠6=∠D. 19.解：(1)与∠1是同旁内角的有∠AOE,∠M0E,∠ADE; 因为∠E+∠F=2∠G=70°，所以∠EGF=35°， 与∠2是内错角的有∠MOE,∠AOE. 所以∠3+∠4=35°，即∠2+∠5=35°. (2)因为AB∥CD, 因为∠BEG+∠GFD=∠1+∠2+∠5+∠6=70°， 所以∠B0E=∠1=115° 所以∠1+∠6=35°，即∠B+∠D=35°. 因为∠B0M=145°， 23.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠MOE=∠BOM-∠BOE=145°-115°=30° 所以∠1=∠EGD. 20.解：因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知) 因为∠2+∠EGF+∠EGD=180°，∠2=2∠1， 所以∠ADB=∠EFB=90°（垂直的定义）， 所以2∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=40°. 所以EF∥AD(同位角相等，两直线平行)， (2)如图，过点F作FP∥AB. 所以∠1+∠2=180（两直线平行，同旁内角互补）. 又因为CD∥AB, 又因为∠2+∠3=180（已知）， 所以FP∥AB∥CD 所以∠1=∠3（同角的补角相等） 所以∠AEF=∠EFP,∠FGC=∠GFP 所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)， 所以LAEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG 所以∠GDC=∠B(两直线平行，同位角相等). 因为∠EFG=90°， 21.解：(1)因为AF∥DE,∠ABC=60°， 所以∠AEF+∠FGC=90°. 所以∠BCD=∠ABC=60°. 所以∠BCE=180°-∠BCD=120°， 因为CM平分∠BCE, 所以∠MCB=了∠BCE=60 (3)a+B=300°.理由如下： 因为∠MCN=90°，所以∠BCN=∠MCN-∠MCB= 因为AB∥CD 90°-60°=30°， 所以∠AEF+∠CFE=180°， 所以∠DCN=∠BCD-∠BCW=60°-30°=30°. 即-30°+B-90°=180°， (2)因为∠ABC=60°， 整理得ax+B=180°+120°=300° 33 所以∠CBF=180°-∠ABC=120°5.如图，直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,EG⊥ A.嘉淇的推理严谨，不需要补充B.应补充∠2=∠5 8单元培优卷（四）》 EF.若∠1=55°，则∠2的度数为 C.应补充∠3+∠5=180 D.应补充∠4=∠5 A.250 B.35 C.459 D.55 二、填空题（每小题3分，共15分） 单元企特 (第4章) 11如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐的上、下底面 数学七·上 讨间：100分钟满分：120分 所形成的角分别是∠1和∠2.若∠1=110°，则∠2= (易拉罐的上、下底面互相平行) 题号 三 总分 得分 乐学实学，挑战中考：勤勉向上，成就自我 第5题图 第6题图 、选择题（每小题3分，共30分） 6.(南阳期未)如图，直线AB,CD被直线EF所截.FG平分∠EFD 1如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是 交AB于点G.下列条件中，不能判定AB∥CD的是 第11题图 第12题图 A.∠2=∠3 B.∠I=∠3 12.如图，直线AB和CD相交于点0,0E⊥0C,若∠AOC=58°，则 C.∠4+∠5=1809 D.∠4=∠2+∠3 ∠EOB的大小为 7.如图，已知∠1=130°，∠2=50，∠3=115°，则∠4的度数为( 13.(新乡期中)如图，已知1，∥12，三角板ABC按如图所示放置，其 A.65 B.60 C.55 D.50 中∠B=90°，若∠1=40°，则∠2的度数是 8.如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC,则 B地在C地的 (） A.北偏东44方向 B.北偏东54方向 C.南偏西54方向 D.南偏西90方向 第13题图 第14题图 2.(南阳期末)要在增上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子能正确 14.如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D',C 解释这一现象的数学知识是 的位置，若LEFB=75,则∠AED的度数为 15.将一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B,D重合，若固 A两点之间，线段最短 第7 第8题图 9图 定三角板AOB,移动三角板ACD的位置（其中点A位置始终不 B.垂线段最短 9.如图，FA⊥MN于点A,HC⊥MN于点C,则下列各判断中，错误的是 变)，当∠BAD= 时，CD∥AB C两点确定一条直线 D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A.由∠CAB=∠NCD.得AB∥CD 3.(开封月考)如图，直线AB,CD,EF相交于点0，则∠1+∠2+∠3 B.由∠DCG=∠BAC,得AB∥CD 的度数等于 ( C.由∠MAE=∠ACG,∠DCG=∠BAE,得AB∥CD A.90 B.150° C.180 D.210 D.由∠MAB=∠ACD,得AB∥CD 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 10.嘉淇在说明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如 16.(8分)如图.已知直线AB和CD相交于点0，C0⊥OE.0F平分 下推理过程： ∠AOE,∠C0F=34°，求∠BOD的度数. 己知：知图，b∥a,c∥a,试说明：b∥c 第3题图 第4题图 解：作直线DF交直线a.b,c分别于点D.E,F 4.如图，点P是直线a外的一点，点A,B,C在直线a上，且PB⊥a. 因为a∥6，所以∠1=∠4. 垂足是B,PA⊥PC,则下列说法不正确的是 又因为a∥c,所以∠1=∠5， A.线段PB的长是点P到直线a的距离 所以b∥e B.PA.PB.PC三条线段中.PB最短 州 C.线段AC的长是点A到直线PC的距离 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“所以∠1=∠5”和 D.线段PC的长是点C到直线PA的距离 “所以b∥”之间作补充，下列说法正确的是 43 44 45 17.(9分)如图，直线AB,CD交于点O,已知OF⊥CD,∠COE= 20.(9分)（南阳期末）如图，已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点 【拓展延伸】 2∠A0C. D.F,∠2+∠3=180°，试说明：∠GDC=∠B请补充说明过程，并 (3)如图3.AB∥CD.E.F.G均是AB.CD之间的点.如果∠E+ (1)若∠B0D=28°，求∠C0E的度数： 在括号内填上相应的理由， ∠F=2∠G=70°，直接写出∠B+∠D的度数 (2)若∠BOF=60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由.。 解：因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知)》 所以∠ADB=∠EFB=90°( ※ 所以EF∥AD( ）, 所以 +∠2=180°( 又因为∠2+∠3=180（已知）， 所以∠1=∠3( 所以AB∥ 所以∠GDC=∠B( 18.(9分)如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C,D两个 21.(10分)如图，AF∥DE,B为AF上一点，∠ABC=60°，交ED于 用水点，现有两种铺设管道的方案 C,CM平分∠BCE,∠MCN=90° 方案一：分别过C,D作AB的垂线，垂足为点E,F,沿CE,DF铺 (1)求∠DCN的度数： 粥 设管道： (2)若∠CBF的平分线交CN于点N,试说明：BN∥CM. 23.(11分)在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB 方案二：连结CD交AB于点P,沿PC,PD铺设管道 CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF= 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？ 60)”为主题开展数学活动， (1)如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，且∠2 2∠1，求∠1的度数： (2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E.G分别放在AB 和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系： (3)如图3.小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶 点E放在AB上.若∠AEG=,∠CFG=B,则∠AEG与∠CFG的 数量关系是什么？用含α，B的式子表示，并写出理由 19.(9分)如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子 变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空 22.(10分)（项城期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动 气中射人水中，光的传播方向发生了改变 中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形 (1)与∠1是同旁内角的有哪些角？与∠2是内错角的有哪 称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 些角？ (2)已知∠1=115°，AB∥CD,测得∠BOM-145°，从水面上看斜 放入水中的筷子，求筷子在水下部分向上弯曲的∠MOE的度数 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,M是AB,CD之间的-一点，连接BM,DM,试 ※ 说明：∠B+∠D=∠BMD: 【灵活运用】 (2)如图2，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，当∠B-∠C 2∠BMN时，请找出∠BWN和∠MC之间的数量关系，并说明 理由： 46 -47 48