7 单元培优卷(四)(第十六章 整式的乘法&第十七章 因式分解)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

8.已知a=817,b=27°，c=9B,则a,b,c的大小关系是 将下表称为“杨辉三角”，则(+b)2展开式中所有项的系数 7单元培优卷（四）》 A.a>b>c B.a>e>b 和是 C.a<b<e D.b>c>a 单元兰卷 (第十六、十七章) (a+h)=1 数学八年级-上哥 9.(鹤壁期中)如图，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方 时间：100分钟满分：120分 (a+b)'=a+b 式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的而积.可以 (a+b)2=a3+2ab+h 题号 二 三 总分 验证 (） a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2(a+b) 得分 =a'+4a36+6a2b2+4a62+6 10 遥难心不慌，强易心更细 (a+b)3=a+5ab+10a3b2+10a2b2+ 、选择题（每小题3分，共30分）】 5ab+h 1.(名师原创)(52)3表示的意义是 A.3个52相加 B.2个53相加 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） C3个52相乘 D.3个53相乘 C.(a-b)2=(a+6)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2 16.(8分)计算： 2.(安阳期中)下列计算错误的是 10.设a,b是实数，定义*的一种运算为a章b=(a+b)2,有下列 (1)(-2a)-(-3a3)2+[-(2a)2]': A.(a2)5=a B.m·m=m 结论： C.(3cd)3-9c2d D.3a2-4a2=-a ①a*b=0,则a=0且b=0: 3.下列从左到右的变形属于因式分解的是 ②a*b=b*a: A.x2+2x+1=x(x+2)+1 B.-7ab'c=-abc.7be2 ③a*(b+c)=a多b+a*c: C.m(m+3)=m2+3m D.2x2-5x=x(2x-5) ④a*b=(-a)*(-b). 4.已知3"=5,9=10，则32= (2)(2a+b)(a-b)-(8a3b-4a2b2)÷4ab 其中正确的有 A.25 B.50 C.200 D.500 A.1个 B.2个 5将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方 C.3个 D.4个 式，下列添加的单项式错误的是 二、填空题（每小题3分，共15分） A.2x B.4x C.-4x D.4x 11.已知单项式3x2y3与2xy2的积为mry,则m-n= 6.已知(5-3x+m2-6x3)(1-2x)的计算结果中不含x3的项，则m的 12.若(x+2)(x+3)=7,则2-10x-2x2的值为 17.(9分)因式分解： 值为 ( 13.小明将(2024x+2025)2展开后得到a1x2+b,x+c1,小李将 (1)-x3+4x2y-4y2: A.3 B.-3 1 D.0 (2025x+2024)2展开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无 误，则a,-a,的值为 7,数学兴趣小组开展话活动：把多项式好++1分解因式小明的分 14.如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面 积是 解结果为（一+1）'，他发现小组里有以下四种结果与自己的结果 不同.他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正 (2)3x2-6y+32-27m2 确的是 () B4(+1)2 州 15.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)"(π C2+2) D.4(+2) 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也 -37 38 —39 18.(9分)先化简，再求值：(2x+y)2-3x(x+y)-(x-2y)(x+2y),其21.(10分)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行 种分解因式的方法叫作“十字相乘法”，请用十字相乘法进行因 中x=1,y=-2 因式分解的过程： 式分解：3x2-19x-14 解：设x2-4x=y,则 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)】 =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2.(第四步) 19.(9分)阅读理解：常用的分解因式的方法有提公因式法、公式 (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 法，但有很多多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2-2x+ A.提取公因式 B.平方差公式 4y,但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公 C.完全平方公式 D.平方和公式 式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公 (2)该同学在第四步将y用所设的x的式子代换，得到因式分解 因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，如 的最后结果这个结果是否分解到了最后？ (填“是” x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y）=(x-2y)(x+2y-2). 或“否”).如果否，请直接写出最后的结果： 23.(11分)知识生成 这种分解因式的方法叫作分组分解法 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进 通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到 解决问题： 行因式分解 一个恒等式 (1)分解因式：a2-4a+4-b2: (1)如图1.根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是 (2)△ABC的三边长a,b,e满足a2-2bc-c2+2ab=0,判断△ABC 的形状 知识迁移 类似地，用两种不同的方法计算同一儿何体的体积，也可以得到订装装装袋 个恒等式 如图2是一个棱长为a+b的正方体，被分割成8块。 (2)用不同的方法计算这个正方体的体积.就可以得到一个等 式这个等式为 (3)已知a+b=3,ab=1,利用上面的规律求a3+b的值 20.(9分)（南阳月考）认真阅读下面材料，并回答问题： 例如：已知3=59049，求3-2的值 22.(10分)提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？ 解：，3=59049..3-2=3÷32=59049÷9=6561. 探究问题：如图1所示，设a,b为常数，由面积相等可得(x+)·(x+ 回答问题： b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，就可 (1)若9”=729，求3-2的值： 以对形如x+(a+b)x+b的多项式进行因式分解，即x2+(a+b)x+ (2)若3=27，求33的值 ab=(x+a)(x+b).观察多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数 为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和例如x2+5x+6=x2+ (2+3)x+2×3=(x+3)(x+2). ※ (1)基础运用：根据上述方法将多项式x2-5x-24进行因式分解 (2)知识迁移：对于多项式4x2-4x-15进行因式分解还可以这 样思考：将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积.再将常数项 -15分解成-5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为-4x, 就是4x2-4x-15的一次项，所以4x2-4x-15=(2x-5)(2x+3).这 滋滚※ 40 -41 42.AE=AF=8...AB=AF-BF=6. 10.B【解析】a*b=0,a*b=(a+b)2,.（a+b)2= 21.证明：(1)，△ABC是等边三角形 0,即a+b=0,∴.a,b互为相反数，故①错误；a* .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC. b=(a+b)2,b*a=(b+a)2,故②正确；a*(b+c)= BD是AC边上的中线， (a+b+c)2,a*b+a*c=(a+b)2+(a+c)2,故③错 ∠DBC= -∠ABC=30°. 误；a*b=(a+b)2,(-a）*（-b)=（-a-b)2 （a+b)2=(-a-b)2,.a*b=(-a)*（-b),故④ CE=CD,∴.∠E=∠CDE, 正确.综上所述，正确的有2个故选B ∠E= 2∠ACB=30°，∠E=∠DBC, 11.112.013.-4049 14.18【解析】大正方形的面积为AB,小正方形的 .BD=DE. 面积为BE,.AB-BE2=36.,∴BC=AB,BD=BE, (2):△ABC是等边三角形，.∠DCF=60° :DF⊥DE,∴.∠FDE=90° 小S所形=S64CE+S△5m=2AE·BC 2AE·BD= 又∠E=30°，.∠FDC=180°-∠DCF-∠DFC= 60°，∴.∠FDC=∠DCF=∠DFC, .∴.∠DFC=90°-∠E=60° 2AE(G+D)2(AB-BE)(AB BE)- 1 ..△DCF是等边三角形 1 22.(1)证明：如图，连接BD,CD. 2(AB-BE)=2×36=18. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 15.22025 .∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90 16.解：(1)原式=64a°-9a6-64a ,DG垂直平分BC, =-9a6. ∴.BD=CD (2)原式=2a2-2ab+ab-b2-(8a3b÷4ab-4a2b2÷ .Rt△BED≌Rt△CFD, 4ab) .BE=CF. =2a2-ab-b2-(2a2-ab) (2)解：.·∠AED=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD, AD=AD. =2a2-ab-b2-2a2+ab =-b2 ·.△AED≌△AFD,.∴.AE=AF 设BE=x,则CF=x 17.解：(1)原式=-x(x2-4xy+4y2) .·AB=5,AC=3, =-x(x-2y)2. .AE=AB-BE=5-x,AF=AC+CF=3+x, (2)原式=3(x2-2y+y2-9m2) .5-x=3+x,解得x=1, =3[(x-y)2-(3m)2] ..BE=1,AE=5-1=4. =3(x-y+3m)(x-y-3m). 23.解：(1)△ACE△DCB AB+BD=√2BC 18.解：原式=4x2+4xy+y2-3x2-3y-x2+4y2 (2BD-AB=2BC. =y+5y2. 证明：如图1，过点C作CE⊥CB,与MW交于点E. 当x=1,y=-2时， ∴.∠BCE=∠ACD=90° 原式=1×(-2)+5×(-2)2=18. ',∠ACE=∠DCB,∠CEA+∠CBE=90. 19.解：(1)a2-4a+4-b2 .DB⊥MN,.∠DBE=90° =(a2-4a+22)-b ∠CBE+∠CBD=90°，∴.∠CEA=∠CBD. =(a-2)2-b2 又AC=DC,∴.△ACE≌△DCB, =(a-2+b)(a-2-b)」 .∴.EC=BC,EA=BD. (2).a-2bc-c2+2ab=0 又∠BCE=90°，.BE=√2BC. .(a2-c2)+2b(a-c)=0. BE=EA-AB=BD-AB,∴.BD-AB=√2BC. (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0, (a+c+2b)(a-c)=0, a,b,c是△ABC的三边长， ..a+c+2b>0 .a-c=0,..a=c .△ABC的形状为等腰三角形 20.解：(1)9”=729 .32m=729, .32m-2=32m÷32=729÷9=81. (3)4 (2).3*=27」 解法提示：如图2，过点C作CE⊥CB,与MN交于 .32+3=(3)2×33=27×27=19683 点E,同理可得△ACE≌△DCB,.CE=BC,EA= 21.解：(1)C BD.又∠BCE=90°，∴.BE=√2BC.BE=AB-EA= (2)否(x-2)4 AB-BD,∴.AB-BD=√2BC.BD=2,BC=√2， (3)设x2-2x=y,则 .∴.AB=BD+√2BC=4. 原式=y(y+2)+1 7单元培优卷（四）】 =y2+2y+1 =(y+1)2 0°⊙0⊙0⊙000⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙00⊙e8 =(x2-2x+1)2 0 快速对答案： 0 =(x-1)4 1~5 CCDBA 6~10 BDAAB 0 22.解：(1)由题意，得x2-5x-24=x2+(3-8)x+3× 911.112.013.-404914.1815.22 0 (-8)=(x+3)(x-8). 1C2C3D4g写A6B7oc ◇0◇0◇0◇0 （2)用十字相乘法进行因式分解： x、/-7 8.A【解析：a=81',b=27°，c=9,a=(3)= 3x义、2 32,b=(3)”=32”,c=(32)13=326328>32”>326 3x2-19x-14=(x-7)(3x+2). ∴.a>b>C.故选A. 23.解：(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab 9.A (2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (3)由(2)可知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .a3+b=(a+b)3-3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b). 将a+b=3,ab=1代入，得a3+b=33-3×1×3=18. 8月考提升卷（二） 快速对答案： 1~5 DADCD 6~10 DDDBB 0 第18题图 第19题图 0 0 11- 12.127°13.1314.30°15.96° 19.解：(1)如图，点D即为所求作 (2)设BC的中点为E.由题意可得，DE⊥BC,DE= 2D2.A3D4.C50 2cm,∠A=90°-∠B=60 ·.·CD=BD,..∠DCB=∠B=309 6.D【解析】.△ABC是等边三角形，∴.∠C=∠BAC= .·.∠ADC=∠DCB+∠B=60 60°，AC=AB=BC=16.DE⊥AC,.∠CDE=90°-∠C= ∠ACB=90°，∴.∠ACD=60° CE=CD.CDCE ·.△ACD为等边三角形，.AD=CD. 在Rt△CDE中，CD=2DE=4cm,∴.AD=4cm. ∴.AE=AC-CE=12.:EF⊥AB于点F,∠AEF=90°- 20.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求作. ∠EAF=30°，∴.AF= 2AE=6,.BF=AB-AF=10故 选D. 7.D8.D9.B10.B 11.、5 12.127°13.1314.30° 54210123 15.96°【解析】·∠BAC=48°，A0为∠BAC的平分 线，∴.∠BAO=∠CAO= 2∠BAC=24.AB=AC, ·∠ABC= 2(180°-∠BAC)=66:0D是AB的垂 (2)△AB,C,三个顶点的坐标分别为A,(4,2), 直平分线，∴OA=OB,.∠AB0=∠BA0=24° B,(2,1),C,(3,4) .·.∠OBC=∠ABC-∠AB0=42°..·OA=OA, ∠BAO=∠CA0,AB=AC,..△AOB≌△AOC,.·.OB= (3)S60a1,=6×2- 22x1 2x6x1- 2×4×2=12- OC,.∠OCB=∠OBC=42°.由折叠可知OE=CE. 1-3-4=4. .∠C0E=∠0CB=42°.在△0CE中，∠0EC=180° 21.解：(1)(-1)2+0+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3， ∠C0E-∠0CB=96° 故结果是5的3倍. 16.解：(1)原式=15.x2y÷5xy-10xy2÷5xy (2)由题意得，另外四个整数分别为n-2,n-1,n+ =3x-2y 1,n+2. (2)原式=4x2-4x+1-(4x2-25) 它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+ =4x2-4x+1-4x2+25 2)=5n+10=5(n'+2) =-4x+26. .它们的平方和是5的倍数 (3)原式=(a+1)2-(2b)2 (3)不能被3整除，余数是2 =a2+2a+1-4b2. 理由：设中间的整数为a,:(a-1)2+a2+(a+1)2= (4)原式=[(x+2y)-1]2 3a+2,∴.任意三个连续整数的平方和不能被3整 =(x+2y)2-2(x+2y)+1 除，余数是2. =x2+4y2+4xy-2x-4y+1. 22.(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， 17.解：(1)原式=-2x(x2-2x+1) =-2x(x-1)2 ∴.∠ABC=60°，BC=。AB. 2 (2)原式=(x-y)(9a2-4b2) .·BD平分∠ABC =(x-y)(3a+2b)(3a-2b) ∴.∠DBC=∠DBA=∠A=30°，∴.DA=DB. (3)原式=m2(m-1)-4(m-1) =(m-1)(m2-4) DE⊥AB于点E,.AE=BE=2AB, =(m-1)(m+2)(m-2). ∴.BC=BE,,△EBC是等边三角形 18.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C.在△DBE和 (2)解：如图，延长ED至点W,使得DW=MD,连 △ECF中， 接MW. (BE=CF, 由(1)可知DA=DB. ∠B=∠C .DE⊥AB,∠A=30° BD=CE. ..∠ADE=∠BDE=60° '.△DBE≌△ECF(SAS) ·.·MD=DW,∠WDM=∠ADE=60°， ∴.DE=EF,△DEF是等腰三角形. :.△WDM是等边三角形， (2)解：△DBE≌△ECF, ..MW=MD,∠WMD=∠W=60° ..∠1=∠3. 又∠BMG=60° .:∠A+∠B+C=180°，∠A=40°，∠B=∠C, .∠WMG=∠DMB. ∠B= 2(180°-40)=70， 又∠W=∠MDB, ∴.△WGM≌△DBM .∠1+∠2=110° .DB=WG=DG+MD,..AD=DG+MD. ∴.∠3+∠2=110°，.∠DEF=70°. 23.解：(1)x2+2xy+y2=(x+y）3