4 单元培优卷(三)(第十五章 轴对称)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

4.已知点M(a,b)与点N(2,5)关于x轴对称，则a-b的值为 4单元培优卷（三）》 A.7 B.-7 C.3 D.-3 单元兰卷 (第十五章) 数学八年级-上哥 5.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助 时间：100分钟满分：120分 第9题图 第10题图 “三等分角仪“能三等分任一角.如图，这个三等分角仪由两根有 10.如图，在△ABC中，∠ABC=45,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC 题号 二 三 总分 槽的棒OA,OB组成，两根棒在点0相连并可绕O转动，点C周 且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,DH⊥BC于点H,交BE于 得分 定，OC=CD=DE.点D.E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠0 稳定心态，不不弃：全力以赴，夺取胜利 的度数是 ( 点G.下列结论：①BD=CD:②AD+CF=BD:③CE 2BF;④AB= 、选择题（每小题3分，共30分）】 A.15 B.20 C.25 D.30 CF.其中正确的是 1.汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期被认为是汉 6.(长葛期中)如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB 字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书 A.①2 B.①③ 于点E.若AC=8,则BE 草书，行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征下 c.①23 D.①23④ 面的小篆体字是轴对称图形的是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共15分） 篌业蹈 11,等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条 12.(周口期末)如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E,F是AD上 的两点，若BD=3,AD=6,则图中阴影部分的面积是 第5题图 第6题图 第7题图 2.(南阳期中)如图，△ABC与△A'B'C关于直线MN对称.P为MN 7.如图，已知a∥b,直线1与直线a,b分别交于点A,B,分别以点A, 上一点，下列结论中错误的是 A.△AA'P是等腰三角形 B为圆心，大于)AB的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直 B.MN垂直平分AA',CC C.△ABC与△A'BC面积相等 线MWN,交直线b于点C,连接AC,若∠1=38°，则∠ACB的度数是 () 第12题图 第13题图 D.直线AB,A'B'的交点不一定在MN上 A.98 B.102 C.1049 D.1089 13.(南阳期中)如图，OB.OC分别平分∠ABC与∠ACB.MN∥BC 8.如图.下列四个三角形中，均有AB=AC,则经过三角形的一个顶 若AB=38,AC=24,则△AMN的周长是 点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 14.(南阳月考)如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿DF折叠，点A 落在BC边上的点E处，且DE⊥BC于点E,若∠A=56°.则∠AFD 的度数为 第2题图 第3题图 3如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是从 电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC, A.①3 B.①②④ 当固定点B,C到杆脚E的距离相等，且点B,E,C在同一直线上 C.①3④ D.①23④ 时，电线杆DE⊥BC,工程人员这种操作方法的依据是 第14题图 第15题图 A.等角对等边 9.(商丘期末)如图，在Bt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,∠BAD= B等腰三角形三线合一的性质 ∠ADE=60°，DE=3,AB=10,CE平分∠ACB,DE与CE相交于点 15.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4,∠ABC=30°，∠ABD=15° 直线BD交边AC于点D,点P,Q分别在线段BD,BC上运动，则 州 C两点之间线段最短 E.则AD的长为 () D垂线段最短 A.4 B.13 C.6.5 D.7 PQ+P℃的最小值是 19 —20 21 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),B(3,3),C(5,1) 22.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm,动点 16.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AD上 (1)画出△ABC关于x轴对称的图形△AB,C,并写出点B,C P,Q同时从A,B两点出发，分别在AB,BC边上匀速移动，它们 一点，连接CE,使CE=AE.∠B=65°，求∠ECD的度数 的坐标： 的速度分别为Vn=2cm/s,Vo=1cmvs,当点P到达点B时，P,Q (2)求△4BC的面积： 两点同时停止运动，设点P的运动时间为s。 (3)若点P在x轴上，且△APC的面积等于△ABC的面积，求点 (1)当1为何值时，△PBQ为等边三角形？ P的坐标 (2)当1为何值时，△PBQ为直角三角形？ 17.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D.若DE∥AB 交AC于点E.求证：△ADE是等腰三角形 23.(1L分)已知△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足 20.(9分)如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上. ∠ADB=60° 且AE=CD,AD与BE相交于点F (1)如图1.当点D在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB (1)求∠BFD的度数： (2)如图2，当点D不在AC的垂直平分线上时，(1)中的结论是 (2)过点B作BH⊥AD于点H,若EF=3,FH=6,求AD的长度 否仍然成立？请说明理由。 18.(9分)如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB,ED⊥OA, 点C,D是垂足，连接CD.且交OE于点F (1)求证：OE是CD的垂直平分线. (2)若∠A0B=60°，请你探究OE,EF之间有什么数量关系，并 21.(10分)如图.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD是BC边 证明你的结论， 上的中线，且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交 BC于点M. (I)求∠ADE的度数： (2)求证：△ADF是等边三角形. -22 -23 —24·.AB=DP=DB-PB=36-10=26(米) 答：楼AB的高是26米. ∠0AB+∠0BA+L0CD+∠0DC=】X360°=180. 18.解：∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF=∠BFD, 理由：设∠A=Q,∠ABC=B, 在△OAB中，∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB: 在△OCD中，∠OCD+∠ODC=180°-∠COD .·∠ABC=∠ACB, ∴.+2B=180°. .180°-∠A0B+180°-∠C0D=180°， ∴.∠AOB+∠COD=180° 又∠A=∠ABE=a, .∴.∠AOD+∠BOC=360°-（∠AOB+∠COD)=180° .∠CBF=∠ABC-∠ABE=B-x. .∠AOD=∠BOC,.∴.∠AOD=∠B0C=90°. .·∠CDB=∠CBD=B, ∴.∠DCB=180°-∠CBD-∠CDB=180°-2B. 在△A0D中，∠DA0+∠AD0=180°-∠A0D=90 ·.·∠BFD是△BCF的外角： ·∠DA0=1 >DAB、∠ADO三∠ADG .∴，∠BFD=∠CBF+∠DCB=B, ∴.∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF= 1 1 ∠BFD. ∠DAB+2∠ADC=90, . 19.解：(1)AD平分∠BAC, .∠DAB+∠ADC=180°，.AB∥CD. ·∠CAD= 2∠BAC 23.解：(1)EF=BE+DF (2)结论EF=BE+DF仍然成立. 'AE⊥BC,∴∠CAE=90°-∠C, 证明：如图，延长FD到点G,使 Dk=∠CH0-∠C46=3∠BMC-(90-∠G0 DG=BE,连接AG. ·.:∠B+∠ADC=180°.∠ADG+ ∠ADC=180°，∴.∠B=∠ADG -R-∠0-(90r-10)=}cR 1 又BE=DG.AB=AD .△ABE≌△ADG, 2(∠C-∠B), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG ∠B=36°，∠C=70° :∠EAF= -∠BAD,∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF= ·∠DAE= 2(70°-36)=179 ∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF 又，AF=AF,.△AEF≌△AGF,∴.EF=GF (2)结论：∠DEr=(∠C-LB). 又GF=DG+DF=BE+DF,∴.EF=BE+DF (3)△DEF的周长为14. 证明：如图，过点A作AG⊥ 解法提示：：四边形ABCD是正方形 BC于点G. .AB=AD,∠ABC+∠D=180°，∠ABC=90° 又EF⊥BC,.AG∥EF, ∠EBF=45°，∴.∠EBF= .∠DAG=∠DEF 2∠ABC. 由(1)可得，∠DAG= 同(2)知，EF=AE+CF, 2（∠C-LB). ∴.△DEF的周长为DE+DF+EF=DE+DF+AE+ CF=AD+CD=14. ·∠DEF=2(LC-LB), 4单元培优卷（三） 029⊙0⊙0⊙9⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙9⊙0⊙0⊙0⊙0°8 20.(1)证明：.·∠AEB=∠ABC 快速对答案！ 且∠AEB=∠EBC+∠C,∠ABC=∠EBC+∠ABE 0 1~5 BDBAC 6~10 BCCDC ∴.∠EBC+∠C=∠EBC+∠ABE,.∴.∠ABE=∠C. 011.312.913.6214.48°15.2 (2)解：AF平分∠BAE. ∴.∠BAF=∠DAF. 00⊙⊙0⊙⊙⊙0⊙⊙0⊙0⊙⊙0⊙⊙0⊙090°0⊙00◇0⊙0◇0 1.B2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.C FD∥BC,.∠ADF=∠C 9.D【解析】如图，延长DE 又∠ABE=∠C,∴，∠ADF=∠ABE. 又.AF=AF,∴△BAF≌△DAF, 交AB于点F,延长CE交 .AB=AD=6...DC=AC-AD=4. AB于，点G..·∠BAD= 21.(1)证明：.·CF⊥AE,∠ACB=90° ∠D=60°，∴.△ADF是等 ∴.∠DCB+∠AEC=∠EAC+∠AEC=90°， 边三角形，∴.AD=AF= ∴.∠DCB=∠EAC.BD⊥BC, DF,∠AFD=60°..·CA= ∴.∠DBC=∠ECA=90 CB,CE平分∠ACB,∴.CG⊥AB,即∠CGB=90°， 又BC=AC,∴.△DBC≌△ECA. AG=)AB=5.设AD=AF=DF=a,则EF=DF-DE= (2)解：AE是BC边上的中线， 2AC=3. a-3.在Rt△GEF中，∠AFD=60°，∴.∠FEG=30°， 由(I)知△DBC≌△ECA,.BD=CE=3, GfFa-).南A-GP=AG,释a(a S6ae=CE·B0=x3x3 9 3)=5,解得a=7.故选D. 2 2 10.C 22.解：(1)180 11.312.913.62 (2)①70° 14.48°【解析】：AB=AC,∠A=56°，∴.∠ABC= ②AB∥CD.理由如下： :A0O,BO,C0,D0分别平分四边形ABCD的四个 ∠4CB=180°-56 =62°.DE⊥BC,∴.∠BDE= 内角， 90°-∠ABC=90°-62°=28°.由折叠的性质可得 ∠0AB=2 DMB,∠0B1=∠CBM,∠OCD ∠ADF=∠EDF,∠ADF=180°-28 =76°， 2 ∠BCD,L0DC= 2∠ADC, ∴.∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-56°- 76°=48° 15.2【解析】·∠ABC=30° ∴.∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD= ∠ABD=15 ,BD是 ∠BAC=60°. ∠ABC的平分线.如图，作 (2).BH⊥AD,∴.∠BHF=90 点O关于BD的对称，点M 连接PM,CM.由对称可知， ∴.∠FBH=30°，∴.FH=。BF,即BF=2FH. PO=PM,∠OBP=∠MBP= 又FH=6,.∴.BF=12,∴.BE=BF+EF=15, 15°，∴.PQ+PC=PM+PC≥CM,∠QBP+∠MBP= ..AD=BE=15. 30°.·.·∠ABC=30°，..点M在AB上.由垂线段最 21.(1)解：AB=AC,∠BAC=120°， 短可知，当CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PO+ PC也取得最小值..·CM⊥AB,∠ABC=30 ·∠B=∠C=2×(180°-∠BAC)=30° CW=BC=2,即P0+PC的最小值是2 BD=BE. 16.解：在△ABC中，AB=AC,∠B=65°， ..∠ACB=∠B=65° 5∠BDE=∠ED-子X(180-∠B)=75 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-65°- AD是BC边上的中线，AB=AC, 65°=50° .AD⊥BC..∠ADB=90° ·在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, .∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=15° (2)证明：MF垂直平分CD,.DF=CF ·∠CAD= 2∠BAC=25, .∴.∠FDC=∠C=30° .·.∠AFD=∠C+∠FDC=60° ,·CE=AE ∴.∠EAC=∠ACE=25°， .AD⊥BC,.∠ADC=90°， .∠DAF=90°-∠C=60° .∠ECD=∠ACB-∠ACE=65°-25°=40° 17.证明：：在△ABC中，AB=AC, ∴.∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°， .△ADF是等边三角形. .△ABC为等腰三角形. .·AD⊥BC 22.解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60° 4÷2=2 .∴.∠BAD=∠CAD DE∥AB, .0≤t≤2，BP=(4-2t)cm,BQ=tcm, (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形.即4-21=t. .∴.∠BAD=∠ADE ∴.∠CAD=∠ADE 4 .t= 即∠ADE=∠EAD, 3 ∴.AE=DE ·.△ADE是等腰三角形 当t=时，△PBQ为等边三角形 18.证明：(1)：点E是∠AOB的平分线上一点，EC1 (2)若△PBQ为直角三角形， OB,ED⊥OA, ①当∠BQP=90°时，∠BPQ=30°，BP=2BQ,即4- .ED=EC,又OE=OE 2l=2l, ..Rt△ODE≌Rt△OCE .t=1; .∴.OD=0C ②当∠BPQ=90时，∠BQP=30°，BQ=2BP,即t= :.△DOC是等腰三角形 2(4-2t), .OE是∠AOB的平分线 .OE是CD的垂直平分线 ..1=8 当t= 或=1时，△PB0为直角三 8 (2)解：OE=4EF.证明如下： ·OE是∠A0B的平分线，∠AOB=60°， 角形. 23.(1)证明：点D在AC的垂直平分线上， .∠AOE=∠BOE=30 .DA=DC. 又EC⊥OB,ED⊥OA, ∴.0E=2DE,∠ODF=∠OED=60°， .∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°， .∴.∠EDF=30° .∴.∠DAC=30°. △ABC是等边三角形， .∴.DE=2EF .OE=4EF. ∴.∠BAC=60° ∠BAD=90° 19.解：(1)如图，△AB,C,即为所求作. ∠ABD=90°-∠ADB=30 点B,的坐标是(3，-3)，点C1的坐标是(5，-1). .DB=2DA=DA+DC.DA+DC=DB. (2)解：仍然成立 理由：在DB上截取DE=DA,连接AE,如图. 又∠ADB=60° .△ADE是等边三角形 ∴.AE=AD,∠EAD=60° △ABC是等边三角形 .AB=AC,∠BAC=60°， (2)△ABC的面积为3×4- 2×2x3 22X2 21X .∠BAC=∠EAD .∠BAE=∠CAD 4=5. .∴.△BAE≌△CAD,..EB=DC. (3)设点P的坐标为(m,0), ,∴.DA+DC=DE+EB=DB. 点A的坐标是(1,0)， .(1)中的结论仍然成立 ∴.△AP℃的面积为。×|m-1|×1=5, 5期中检测卷（一） ..1m-11=10,即m-1=10或m-1=-10. 解得m=11或m=-9, 快速对答案： .点P的坐标是(11,0)或(-9,0) 0 1~5 DCABD 6~10 DDADB 0 20.解：(1).·△ABC为等边三角形， 911.18cm12.213.314.6 15.30°0 .∴.∠BAE=∠C=60°，AB=CA. 又.·AE=CD,∴.△ABE≌△CAD 1.D2.C3.A4.B5.D6.D7.D .∴.∠ABE=∠CAD,BE=AD, 8.A【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H.又AD