2 单元培优卷(二)(第十四章 全等三角形)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

12.如图，AC=DB,AO=D0,CD=55m,则A,B两点之间的距离为 2单元培优卷（二） m. 13.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=DC,CE⊥AD于点 单元兰卷 (第十四章) E,AD=12,AB=7,则DE的长为 数学八年级-上哥 时间：100分钟满分：120分 第5题图 第6题图 6.如图，AL,BL,CI分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,D⊥BC,△ABC 题号 二 三 总分 的周长为18，D=4,则△ABC的面积为 ( 得分 A.18 B.30 C.36 D.72 7.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,延长CP 第13题图 第14题图 立志高远，脚踏实地：刻苦钻研，勤学苦思 DP分别交OB,OA于点E,F.下列结论错误的是 ( 14.如图，在△ABC中，△ABC的面积为10，AB=4,BD平分∠ABC.E,F 选择题（每小题3分，共30分） A.PC=PD B.OC=OD 分别为BCBD上的动点，则CF+EF的最小值是 1.(信阳月考)如图.△ABC≌△DEF.BC=12.EC=7.则CF的长为 C.∠CPO=∠DPO D.PC=PE 15.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是BC上的一点，且CE=3,连接 DE,动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-D4 A.5 B.6 C.7 D.8 向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当△ABM和△DCE全等 时，t的值是 第7题图 第8题图 8.如图.BC,AE是锐角三角形ABF的高，相交于点D,若AD=BF. 第1题图 第2题图 AF=7,CF=2,则BD的长为 2.如图.△ABC≌△DEC.若∠A=70°，∠ACB=60°，则∠E的度数为 A.2 B.3 C.4 D.5 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 9.如图.点D为等腰三角形ABC内一点，AC=BC=BP,AD=BD 16.(8分)如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于 ∠DBP=∠DBC.∠C=62°，则∠BPD的度数为 点F,若∠1=∠2，∠E=∠C,AE=AC,求证：△ABC≌△ADE. A.709 B.50° C.60 D.309 A.20 B.28 C.30° D.31o 3.如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD, 作图痕迹中，弧FG是 第9题图 第10题图 10.如图，点D是△BAC的外角平分线上一点，过点D作DE⊥AC于 A.以点C为圆心.OD的长为半径的弧 点E,作DF⊥AB交BA的延长线于点F,连接BD,CD.若BD=CD B以点C为圆心，DM的长为半径的弧 有下列结论：①DE=DF:②△CDE≌△BDF:③GE=AB+AE: 17.(9分)（信阳期中）如图，△ABD≌△CAE,点A.D.E三点在一条 C.以点E为圆心，OD的长为半径的弧 ④LBAC=∠BDC.其中正确的结论有 ( 直线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (1)求证：BD=CE+DE D.以点E为圆心，DM的长为半径的弧 二、填空题（每小题3分，共15分）】 (2)当△ABD满足什么条件时.BD∥CE?请说明理由 4.下列说法：①全等三角形是指面积相等的三角形：②周长相等的 11.如图.在△ABC中，点D是AB上一点，CF∥AB,点D,E.F三点 三角形是全等三角形：③全等三角形是指形状相同、大小相等的 共线，请添加一个条件 ,使得AE=CE.(只添一种情 两个三角形：④所有的等边三角形都是全等三角形，其中正确的 况即可) 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，AB=AC,AD=AE.∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°.则∠3= 州 A.309 B.55 C.25° D.1259 第12题图 7 9 18.(9分)如图，某城市公园里有三个景点A,B,C,直线I1,表示21.(10分)如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F, 23.(11分)（漯河期中）【问题情境】 直路，而1，表示弯路.想在S区里修建一座公厕P,使它到两条 若BD=CD,BE=CF,求证： 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分 路1，和11的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等.求 (I)AD平分∠BAC: ∠MON,点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP.垂足为C,延长 点P的位置 (2)AB+AC=2AE. AC交ON于点B,可根据ASA证明△AOC≌△BOC,则AO=B0, AC=BC(即点C为AB的中点). 【问题探究】 5区 (1)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB, BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关 系，并证明你的结论 【拓展延伸】 (2)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC 19.(9分)如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E在BD的延 上，且∠BDE=∠C,BE1DB于，DE交AB于R,试探究E 长线上，BA=BE,连接AE,CE.求证： 和DF的数量关系，并证明你的结论 (1)△ABD≌△EBC: (2)∠BCE+∠BCD=I80 22.(10分)我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形. 同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义 为等邻边四边形，把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻 边四边形 (1)如图，在完美等邻边四边形ABCD中，AD=CD.∠B+∠D= 180°，连接对角线AC,BD,请你结合图形，直接写出完美等邻边 20.(9分)（洛阳期末）在一个支架的横杆点0处用一根绳悬挂一 四边形的一条性质： 个小球A,小球A可以摆动，如图1，OA表示小球静止时的位置 (2)如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180°，且BD平分 如图2，当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点 ∠ABC,求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形 D,当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥ OA于点E,测得CE=24cm,OA=OB=0C=30cm. (1)试说明OE=BD: (2)求AD的长 ※ 10 11 —1221.解：(1)∠B=34°，∠ACB=86° BD于，点F',过点F'作F'E'⊥BC于点E'.·.·BD平 .∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60° 分∠ABC,.MF'=E'F',此时CF+EF的值最小，最 :AD平分LBAC,∠BAD= ∠BAC=30° 小值为CF+EF=CF'+MF'=CM.:SAHc=)CM· ∴.∠PDE=∠B+∠BAD=64°. AB=10,AB=4,.CM=5,即CF+EF的最小值是5. ·PE⊥AD,∴.∠EPD=90°，∴.∠E=90°-∠PDE=26°. 72 (2)∠E=2(LACB-∠B) 22.解：（1)120° (2)根据三角形外角的性质可知， ∠2-∠=∠1-∠C, 则∠2-∠1=∠a-80°： 第14题答图 第15题答图 (3)分两种情况： ①如图1， 15.3.5或6.5【解析】如图，分两种情况：①当点M ∠2=80+∠1+∠a, 在BC上，△ABM'≌△DCE时，BM'=CE,由题意 得∠2-∠1=∠a+80°； 得BM'=2t-4=3,解得t=3.5;②当点M在AD上， ②如图2. △ABM"≌△CDE时，AM”=CE,由题意，得AM" ∠2=80°+∠1-∠， 16-21=3,解得t=6.5.所以当t的值为3.5或6.5时， △ABM和△DCE全等 得∠2-∠1=80°-∠a. 16.证明：.：∠1=∠2 .·.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC. 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中 B- ∠BAC=∠DAE. 图1 图2 23.解：(1)C(2)220°(3)∠1+∠2=180°+∠A AC=AE, ∠C=∠E. (4)∠1+∠2=2∠A 理由如下：△EFP是由△EFA折叠得到的， .△ABC≌△ADE(ASA). '.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF, 17.(1)证明：：△ABD≌△CAE, ∴.∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF, .BD=AE,AD=CE. 又.·AE=AD+DE ∴.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF). .∴BD=CE+DE. 又.·∠AFE+∠AEF=180°-∠A, (2)解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE ∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 理由如下：：△ABD≌△CAE, 2单元培优卷（二） ∴.∠ADB=∠CEA 0 ⊙0◇0⊙0◇0⊙0◇0◇0◇0◇0◇0⊙0◇0◇0⊙0◇0◇0◇0◇0⊙0⊙ ∠ADB=90°. ∠CEA=90°，∠BDE=90°， 快速对答案： ..∠CEA=∠BDE, 1~5 ABDAB 6~10 CDBDD .BD∥CE. 11.DE=FE或(AD=CF)12.5513.2.5 18.解：设11和1 14.515.3.5或6.5 交于点E,以点 7 E为圆心，以适 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.D8.B 当的长为半径 区 9.D【解析】如图，连接CD,在 (BD=AD. 面抓分别交 于点M,N. △BCD和△ACD中， CD=CD. 分别以点M,N BC=AC, 为圆心，以大 ·,△BCD≌△ACD(SSS), 于 H ∴.∠BCD=∠ACD= 2∠ACB. MN的长 为半径画弧，在，l3的内部交于点F,作射线 又.·∠ACB=62°，.∠BCD=31 在△BCD和△BPD中， EF,连接BC,分别以点B,C为圆心，以大于)BC (BD=BD. ∠DBC=∠DBP,∴.△BCD≌△BPD(SAS), 的长为半径画弧，两弧交于点T,H,作直线TH与 BC=BP 射线EF交于点P,则点P为所求作的点. .∠BCD=∠BPD,.∠BPD=31°，故选D. 理由如下： 10.D【解析】AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB, 由作图可知：EF为直线l,l3夹角的平分线，点P .·.DE=DF,故①D正确：·.·∠CED=∠BFD=90° 在EF上 CD=BD,DE=DF,∴.Rt△CDE≌Rt△BDF,故②正 点P到l和13的距离相等， 确；∴.CE=BF,同理可证明Rt△ADE≌Rt△ADF 由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线， ,.AE=AF,.CE=BF=AB+AF=AB+AE,故③正 点P在TH上， 确；·△CDE≌△BDF,∴.∠ECD=∠FBD,如图， ∴.TB=TC. 又.·∠1=∠2，.∠BAC=∠BDC,故④正确.综上 :点P到l和l3的距离相等，且到点B和C的距 所述，正确的结论有①②③④，共4个.故选D. 离也相等 19.证明：(1)，BD为△ABC的角平分线， F .∠ABD=∠EBC 又BD=BC,BA=BE 2 .△ABD≌△EBC (2)由(1)得△ABD≌△EBC,..∠BDA=∠BCE. BD=BC,∴.∠BDC=∠BCD. 义∠BDA+∠BDC=180° 11.DE=FE或(AD=CF)12.5513.2.5 ·.∠BCE+∠BCD=180° 14.5【解标】如图，过点C作CM1AB于点M,交20.解：(1)0B10C,.∠B0D+∠C0E=90°. ·CE⊥OA,BD⊥OA,.∠CE0=∠ODB=90°， ∴.∠BOD+∠B=90°，∴，∠COE=∠B,又OC=B0, 3月考提升卷（一）】 ∴.△COE≌△OBD,.OE=BD. (2).:△COE≌△OBD,.CE=OD=24cm. 0 快速对答案： 0A=30cm,.AD=0A-0D=30-24=6(cm). 1~5 DDAAD 6≈10 DCBBB 21.证明：(1)DE⊥AB,DF⊥AC, 0 .·.∠E=∠DFC=90° 0 1直角2.0513451402+72+m ·.·BD=CD,BE=CF 15.①②④ ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF」 ∴.DE=DF,.AD平分∠BAC 1.D2.D3.A4.A5.D6.D7.C8.B9.B (2)AD平分∠BAC,.∠EAD=∠CAD. 10.B【解析】.·∠COD=∠A0OB=40°，.∴.∠COD+ 又∠E=∠AFD=90°，AD=AD, ∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,又.·OA= .∴.△AED≌△AFD, OB,OC=OD,.△AOC≌△BOD,.·.∠OCA=∠ODB, .AE=AF.又.·BE=CF AC=BD,∠OAC=∠OBD,故①正确：.：∠AMB+ .AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE. ∠OAC=∠AOB+∠OBD.∴.∠AMB=∠AOB=40°，故 22.(1)解：∠BAD+∠BCD=180°.（答案合理即可） ②正确：过，点O作OG⊥MC于，点G,OH⊥MB于，点 (2)证明：如图，作DM⊥BC, H,则∠OCC=∠OHD=90°，易得△OCG≌△ODH, DN⊥AB,垂足分别为点M,N. ÷OG=OH,∴.M0平分∠BMC,故④正确；根据已知 .·BD平分∠ABC,DM⊥BC 条件无法得出OM平分∠BOC,故③不正确.综上所 DN⊥AB,.DM=DN. 述，正确的个数为3.故选B. ·.:∠DMB=∠DNB=90° 11.直角12.10513.45 ∴.∠ABC+∠MDN=180° 又∠ABC+∠ADC=180°. 14.)0+)c+c【解析]：LEA0+LAE0=LEA0中 ..∠ADC=∠MDN. ∠BAH=90°，∴.∠AEO=∠BAH.又∠O=∠BHA= .:.∠ADN=∠CDM 90°，AE=AB,.△AEO≌△BAH.同理可得 又∠DNA=∠DMC,DN=DM. △BCH≌△CDF,.∴.AO=BH=b,AH=EO=a,CH= ∴.△DNA≌△DMC, .AD=CD. DF=c,BH=CF=b.S=(EO+DF).OF= ∴.四边形ABCD是等邻边四边形 1 又∠ABC+∠ADC=180° ∴.四边形ABCD是完美等邻边四边形 2(atc)(a+2b+c),S=m= A0·0E= 1 23.解：(1)BE=1 b,SAnC=SAcOF 2CH·BH= 2bc,Sm影= 证明：如图1，延长BE交CA的延长线于点F. .CD平分∠ACB,∴.∠FCE=∠BCE. (a+c)(a+2b+c)-2×2b-2x2bc= 2 2 3a2 1 又∠CEF=∠CEB=90°，CE=CE, 1 1 ∴.△CEF≌△CEB,∴.FE=BE.BE= 15.①②④【解析】如图，作PE1 '.·∠DAC=∠CEF=90°，.∠ACD+∠F=∠ABF+ OA于E,PF⊥OB于F, ∠F=90°..∠ACD=∠ABF. .∠PE0=∠PF0=90° .'AC=AB,∠CAD=∠BAF=90° .∠EPF ∠AOB=180° 又∠MPN+∠AOB =180°， .△ACD≌△ABF,.CD=BF,BE= 2 CD. ∴.∠EPF=∠MPN, ,∠EPM= ∠FPN,∴.OP平分∠AOB ∴.∠POE=∠POF,PE=PF,又 OP=OP,∴.Rt△POE≌Rt△POF,∴.OE=OF ·.·∠PEM=∠PFN,PE=PF,∠EPM=∠FPN, .△PEM≌△PFN,.EM=NF,PM=PN,SAPEM 的装天溪璃w80e说 OF-NF=2OE,∴.OM+ON的值不变，②正确；在旋转 (2)BE=2 DF. 过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，：PM的 证明：如图2，过点D作DG∥CA,交BE的延长线 长度是变化的，.MW的长度是变化的，③错误.综上 所述，正确的结论为①②④. 于点G,与AF相交于点H. 16.解：.CD是AB边上的高， ·DG∥AC,∴.∠GDB=∠C,∠BHD=∠A=90° .∠CDA=∠CDB=90°， .·∠BDE= 2∠C,∠BDE=∠GDE 2<C ..∠AED+∠EAD=90° .·∠AED=65° .BE⊥DE,.∠BED=∠GED=90°，∴.∠BED= ∴.∠EAD=90°-∠AED=90°-65°=25°. ∠BHD.又∠EFB=∠HFD,∴.∠EBF=∠HDF. .:AE平分∠CAB, AB=AC,∠BAC=90°，.∠C=∠ABC=45 ..∠CAB=2∠EAD=2×25=50°. 'GD∥AC,∴.∠GDB=∠C=45°，.∠GDB= 又∠CAB+∠ACB+∠B=180°，∠B=70° ∠ABC=45°，∴.BH=DH.又∠BHG=∠DHF=90° ..∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-50°-70°=60° ∠HBG=∠HDF, 17.解：.∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠PBA=90 .△BGH≌△DFH,∴.BG=DF..'∠BDE=∠GDE, .∠PCD=∠APB=54 DE=DE,∠BED=∠GED. 又∠CDP=∠PBA,CD=PB. .∴.△BDE≌△GDE,∴.BE=GE, ∴.△CPD≌△PAB. .DP=AB. 2 BC=1 ·BE= .DB=36米，PB=10米 27