第七章 素养提升课3 天体运动两类典型问题-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书word（人教版）江苏专用

本讲义聚焦天体运动两类典型问题，系统梳理卫星变轨与双星问题。从万有引力提供向心力的稳定运行规律出发，分析速度变化导致的离心或近心运动，结合开普勒定律阐释变轨前后物理量关系，同时明确双星系统中周期角速度相同、半径与质量成反比等特点，构建知识支架。 资料亮点在于模型建构清晰，变轨问题区分稳定与变轨运行，双星问题提炼核心结论，通过典例（如探测器变轨、神舟飞船对接）强化科学推理。配套图示与分层训练（跟进+综合），助力学生深化物理观念，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

素养提升课(三)　天体运动两类典型问题 [学习目标] 1．理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。 2．理解双星问题的特点，并会解决相关问题。 考点1　卫星的变轨问题 1．变轨问题概述 2．稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝m。 3．变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况： (1)当卫星的速度突然增大时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时减小了。 (2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时增大了。 卫星变轨原理图如图所示。 【典例1】　假设火星探测器探测火星时，经历如图所示的变轨过程。关于该探测器的下列说法正确的是(　　) A．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度小于经过Q点时的速度 B．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于在轨道Ⅲ上运动时经过P点时的速度 C．探测器在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于探测器在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于探测器在轨道Ⅱ上经过P点时的速度 D　[根据开普勒行星运动定律知探测器在椭圆轨道上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度，故A错误；探测器往低轨道运动需要减速，故探测器在轨道Ⅱ上运动时经过P点时的速度小于在轨道Ⅲ上运动时经过P点时的速度，在轨道Ⅰ上经过P时的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，故B错误，D正确；不管在哪个轨道上，探测器在P点受到的万有引力是相等的，所以加速度相等，故C错误。] 　变轨问题相关物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。 (4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。 [跟进训练] 1．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器(　　) A．相对于变轨前运行周期变长 B．变轨后可能沿轨道2运动 C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等 D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等 D　[由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，v减小，飞行器做圆周运动需要的向心力Fn＝m减小，小于在P点受到的万有引力 G， 则飞行器将开始做近心运动，轨道半径r减小。根据开普勒行星运动定律知，卫星轨道半径减小，则周期减小，A错误；因为飞行器做近心运动，轨道半径减小，故可能沿轨道3运动，B错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，故是减速过程，所以变轨前后经过P点的速度大小不相等，C错误；飞行器在轨道P点都是由万有引力提供加速度，因此在同一点P，万有引力产生的加速度大小相等，D正确。] 考点2　双星问题 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 G＝r1， ＝r2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导) (1)轨道半径：r1＝L　r2＝L。 (2)星体质量：m1＝　m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 【典例2】　科学家们根据探测到的来自双中子星合并的引力波，复原出两颗中子星合并的过程。在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积 B．质量之和 C．速率之比 D．各自的自转角速度 思路点拨：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。 B　[由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1，v2＝ωr2，则v1∶v2＝r1∶r2，因r1和r2不知，C错误；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。] [跟进训练] 2．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述不正确的是(　　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1 D．必有一颗恒星的质量为 A　[对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，则m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝，B正确；两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正确。] 素养提升练(三)　天体运动两类典型问题 一、选择题 1．2025年4月24日23时49分，神舟二十号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口。在对接过程中，假设神舟二十号载人飞船与天和核心舱都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间站的对接，下列措施可行的是(　　) A．使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间站实现对接 B．使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间站半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间站半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接 C　[为了实现飞船与空间站的对接，可使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近空间站，在两者速度接近时实现对接，选项C正确。] 2．如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，设卫星在轨道1和轨道3正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在轨道2经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下关系正确的是(　　) A．v1>v2>v3　　 B．v1>v3>v2 C．a1>a2>a3 D．T3<T2<T1 B　[卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得线速度v＝，所以v1>v3；在椭圆轨道远地点实施变轨，卫星做近心运动，此时万有引力大于卫星所需向心力，所以应给卫星加速，增大所需的向心力，所以卫星在轨道3上经过P点的速率大于在轨道2上经过P点的速率，即v3>v2，则v1>v3>v2，故A错误，B正确；根据＝ma，得a＝，所以a1>a3＝a2，故C错误；根据开普勒第三定律得＝k，所以T1<T2<T3，故D错误。] 3．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．质量大的天体线速度较大 B．质量小的天体角速度较大 C．两个天体的向心力大小一定相等 D．两个天体的向心加速度大小一定相等 C　[双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度大小相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律，有：G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，其中：r1＋r2＝L，故r1＝L，r2＝L，故＝＝，故质量大的天体线速度较小，故A错误。] 4．甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　) A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动 B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3 C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶ D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为2∶3 A　[据题意可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得＝＝3∶2，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D错误。] 5．神舟二十号载人飞船成功入轨后，与空间站组合体完成自主快速交会对接。对接后的“组合体”仍在空间站的轨道上运行。“组合体”和空间站运动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和空间站相比，“组合体”运行的(　　) A．周期变小 B．角速度变大 C．线速度大小不变 D．向心加速度变小 C　[根据G＝ma＝m＝mrω2＝mr得，向心加速度a＝，线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝，由于轨道半径不变，则线速度、角速度、周期、向心加速度大小均不变，故C正确，A、B、D错误。] 6．如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是(　　) A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速 B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速 C．T1＝T2<T3 D．v2>v1>v4>v3 D　[卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G<m，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G＝m，所以v2>v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3<v4，故选项A、B错误；又由人造卫星的线速度v＝可知v1>v4，由以上所述可知选项D正确；由于轨道半径r1<r2<r3，根据开普勒第三定律＝k(k为常量)得T1<T2<T3，故选项C错误。] 7．如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，使卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则以下说法正确的是(　　) A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D．在Q点，卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅱ上的加速度 C　[11.2 km/s是第二宇宙速度，若卫星的速度等于或大于11.2 km/s，它就会克服地球的引力，永远离开地球，而同步卫星仍然绕地球运动，故A项错误；7.9 km/s是第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，而同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，根据v＝，可知同步卫星的线速度一定小于第一宇宙速度，故B项错误；在轨道Ⅰ上，卫星由P点向Q点运动，万有引力做负功，动能减小，所以卫星在P点的速度大于在Q点的速度，故C项正确；根据a＝可知，在Q点，卫星在轨道Ⅰ上的加速度等于在轨道Ⅱ上的加速度，故D项错误。] 8．科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是(　　) A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M1∶M2 C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2 D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1 D　[双黑洞绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，周期相等，角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，解得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，故B错误；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，故D正确。] 9．甲、乙两星组成双星系统，它们离其他天体都很遥远；观察到它们的距离始终为L，甲的轨道半径为R，运行周期为T。下列说法正确的是(　　) A．乙星的质量大小为 B．乙星的向心加速度大小为 C．若两星的距离减小，则它们的运行周期会变小 D．甲、乙两星的质量之比为 C　[对双星系统的两颗星球，由它们之间的万有引力提供向心力：G＝m甲，可得：m乙＝，故A错误；乙的轨道半径：r＝L－R，则乙的向心加速度：a＝r＝，故B错误；若两星的距离减小，根据G＝m甲R＝m乙(L－R)，得＝m甲，则它们的运行周期会变小，故C正确；双星系统具有相等的角速度和周期，由它们之间的万有引力提供向心力，得：G＝m甲R＝m乙(L－R)，所以Rm甲＝(L－R)·m乙，甲、乙两星的质量之比为，故D错误。] 10．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示，三颗星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．每个星体受到引力大小均为3 B．每个星体的角速度均为 C．若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的 D．若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的 B　[对其中一个星体，受力分析如图所示，有F1＝G，F2＝G，每个星体受到的引力为F＝2F1cos 30°＝G，故A错误；由几何关系可知，每个星体绕O点做匀速圆周运动的半径r＝，根据万有引力提供向心力，有G＝mω2a，解得ω＝，故B正确；对每个星体，根据合力提供向心力，有G＝m，解得T＝2π，若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的，故C错误；对每个星体，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的，故D错误。] 二、非选择题 11．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为，质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m)，在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。 (1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置； (2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。 [解析]　(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。 (2)对行星m有F＝mω2a ① 对恒星m0有F′＝m0ω2Rm0 ② 根据牛顿第三定律，F与F′大小相等 由①②得Rm0＝a 对恒星m0有＝G 代入数据得v＝。 [答案]　(1)见解析图　(2)a　 12．某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则： (1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？ (2)远地点B距地面的高度h2为多少？ [解析]　(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G 由牛顿第二定律得aA＝＝＝。 (2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝， 由牛顿第二定律得G＝m(R＋h2)， 解得h2＝－R。 [答案]　(1)　(2)－R 13．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期T； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数) [解析]　(1)由题意可知，星球A和B为双星模型，A和B有相同的角速度和周期。 设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L， 联立解得R＝L，r＝L。 对A，根据向心力公式和万有引力定律得 ＝mL， 解得T＝2π。 (2)设地球质量为M，月球质量为m，地球、月球中心之间的距离为L′，由题意知，可以将地月系统看成双星系统， 由(1)得T1＝。 若认为月球绕地心做圆周运动，则根据向心力公式和万有引力定律得＝mL′，解得T2＝。 所以T2与T1的二次方的比值为 ＝＝≈1.012。 [答案]　(1)2π　(2)1.012 13/13 学科网（北京）股份有限公司 $