第七章 3．万有引力理论的成就-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书word（人教版）江苏专用

本讲义聚焦万有引力理论的成就，系统梳理天体质量计算（重力加速度法、环绕法）、密度估算，以及天体运动规律（速度、周期、角速度与轨道半径关系），并结合海王星发现等科学史案例，构建从理论到应用的知识脉络，提供模型建构、方法总结等学习支架。 该资料通过思考辨析题培养质疑创新能力，典例结合日地数据、星球自转等情境强化科学推理，融入哈雷彗星回归等案例渗透科学态度。课中助力教师系统授课，课后分层作业与知识回顾帮助学生梳理方法、查漏补缺。

3．万有引力理论的成就 [学习目标] 1．知道应用万有引力定律计算天体质量和密度的基本思想。 2．构建天体运动模型，掌握万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。 3．认识人类对科学的探究永无止境，激发爱科学、学科学、用科学的热情。 知识点一　“称量”地球的质量 1．合理假设：不考虑地球自转。 2．“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。 3．结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。 为什么说卡文迪什是“称量地球重量的人”？ 提示：因为卡文迪什测得了引力常量G，在已知地面的重力加速度g、地球半径R的条件下，由M＝可计算出地球的质量。 知识点二　计算天体质量 1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。 2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。 3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝。 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量。 (×) (2)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。 (×) 知识点三　发现未知天体　预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。 (√) (2)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。 (×) 如图所示是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？ 提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝G得m地＝。 考点1　计算天体的质量与密度 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如表所示： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝，联立可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 角度1　天体质量的估算 【典例1】　为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量m太。已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6.0×1024 kg，日地中心距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2，1年约为3.2×107 s，但引力常量G未知。试估算目前太阳的质量m太。(结果保留两位有效数字) [解析]　设T为地球绕太阳运动的周期，则由太阳对地球的引力提供地球围绕太阳做圆周运动的向心力得G＝mr ① 设在地球表面附近有质量为m′的物体，得 G＝m′g ② 联立①②解得m太＝m＝6.0×1024× kg≈1.9×1030 kg。 [答案]　1.9×1030 kg 角度2　天体密度的计算 【典例2】　某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知引力常量G，则星球的平均密度可以表示为(　　) A． C． B　[设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有＝F1＋mR， 联立解得M＝，因此，星球的平均密度ρ＝＝＝。故B正确，A、C、D错误。] 　求解天体质量和密度时的两种常见误区 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 [跟进训练] 1．(角度1)我国自主研发的空间站“天和”核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　) A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期 C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 D　[由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得M＝，且ω＝，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误；根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m， 解得M＝，D正确。] 2．(角度2)为进一步获取月球的相关数据，我国成功地进行了“嫦娥六号”的发射。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是(　　) A．　　　 B． C． B　[该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝，ω＝。又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为M＝＝。又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的密度ρ＝＝＝，故B正确。] 考点2　天体运动的分析与计算 1．一个模型 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路 (1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝G，得gR2＝GM，这表明gR2与GM可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 3．四个重要结论 设质量为m的行星或卫星绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大。 (4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。 【典例3】　火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　) A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为∶ C．角速度大小之比为2∶3 D．向心加速度大小之比为9∶4 思路点拨：轨道周长C＝2πr，根据＝man＝m＝mω2r得出线速度、角速度及向心加速度与半径的关系。 C　[火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A错误；火星和地球绕太阳运行可视为做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B错误；角速度大小之比为2∶3，C正确；向心加速度大小之比为4∶9，D错误。] 　解决天体运动问题的关键 (1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 (2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 (3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。 [跟进训练] 3．天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 B　[由公式G＝mr，可得r＝，C、D错误。] 1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　) A．GM＝ B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝ A　[本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。对行星有＝mr，故GM＝，选项A正确。] 2．(源自鲁科版教材改编)“天问一号”环绕器在火星探测任务中，分饰了飞行器、通信器和探测器三大角色，创下多项国内外纪录。若已知环绕器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r、周期为T，火星的半径为R，引力常量为G，则可以推算出(　　) A．火星的质量为 B．环绕器的质量为 C．火星表面的重力加速度大小为 D．火星的密度为 D　[环绕器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可得＝mr，解得火星的质量为M＝，环绕器的质量无法求出，故A、B错误；由黄金代换式可得＝mg，联立解得g＝，故C错误；火星的密度为ρ＝，又V＝πR3， 联立解得ρ＝，故D正确。] 3．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　) A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 A　[金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错误。] 4．(新情境题，以宇航员体重变化为背景考查万有引力定律的应用)某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2(求解过程中可能用到＝1.03，＝1.02)。问： (1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？ (2)该位置距地球表面的高度h为多大？ (3)地球的平均密度是多少？ [解析]　(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg 在h高度处对宇航员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，得＝。 (2)根据万有引力公式可知，在地面处有＝mg 在h高度处有＝mg′ 解以上两式得h＝0.02R＝128 km。 (3)根据＝mg可得，地球质量M＝ 地球的密度ρ＝＝ 代入数据得ρ≈5.6×103 kg/m3。 [答案]　(1)倍　(2)128 km　(3)5.6×103 kg/m3 回归本节知识，自我完成以下问题： 1．计算天体质量有哪几种方法？ 提示：方法1：重力加速度法，即mg＝⇒M＝； 方法2：环绕法，即＝m⇒M＝。 2．为什么说“海王星”是笔尖下发现的行星？ 提示：因为其轨道是根据天文的观测资料计算出来。 3．天体运行的速度、周期、角速度与轨道半径有什么关系？ 提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。 课时分层作业(十)　万有引力理论的成就 题组一　天体质量和密度的计算 1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是(　　) A． C． A　[地球表面有G＝mg，得M＝　①，又由ρ＝＝　②，由①②得出ρ＝，故A正确。] 2．土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg B　[卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设土星质量为M，则有＝mR，解得M＝，代入数据计算可得M＝ kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误。] 3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　) A． C． B　[地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：G＝mR，解得太阳的质量为M＝，月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：G＝m′r，解得地球的质量：m＝，所以太阳质量与地球质量之比＝，故选B。] 4．某同学想通过自己的计算求出地球的平均密度，通过课本上已有的数据发现地球赤道处的重力加速度比两极处的小，已知引力常量为G，地球可看成质量分布均匀的球体，自转周期为T，球的体积公式为V＝πR3，则地球的平均密度为(　　) A． C． D　[在地球的两极处＝mg0，在地球的赤道上－mg＝ma，而ma＝mR，由题可知＝，联立解得M＝，地球的密度ρ＝，解得ρ＝，故D正确，A、B、C错误。] 题组二　天体运动的分析与计算 5．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(　　) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 A　[由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面，A正确。] 6．空间站是空间科学和新技术研究实验的重要基地。设一空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T，轨道半径为r，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．空间站的线速度大小为v＝ B．地球的质量为M＝ C．空间站的向心加速度为 D．空间站的质量为M＝ B　[根据万有引力提供向心力，有G＝m＝mg，得v＝＝，A错误；根据万有引力提供向心力有＝ma＝mr，解得地球的质量为M＝，空间站的向心加速度为a＝r，B正确，C错误；根据万有引力只能求出中心天体的质量，无法求出空间站的质量，D错误。] 7．通过观测可以得到某人造地球卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看成是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的(　　) A．密度 B．向心力的大小 C．离地高度 D．卫星的质量 C　[卫星绕地球运动时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，已知卫星运动的周期T，则G＝mr，卫星在地球表面满足G＝mg，联立可得r＝，从而可以求得卫星离地面的高度h＝r－R，选项C正确；由于不知道卫星的质量，所以无法求出卫星受到的向心力，也无法求得卫星的密度，选项A、B、D错误。] 8．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 C　[由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝mr可得T＝，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，C正确；由G＝m可得v＝，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，D错误。] 9．人类历史上第一张黑洞照片已经问世，让众人感叹：“黑洞”，我终于“看见”你了！事实上人类对外太空的探索从未停止，至今已在多方面取得了不少进展。假如人类发现了某X星球，登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，已知小球在最高点的速度为v，轨道半径为r。若已测得X星球的半径为R，引力常量为G，则X星球的质量为(　　) A． C． D　[小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点的速度为v，轨道半径为r，由小球的重力提供向心力得mgX＝m；对X星球表面的物体有G＝mgX，联立解得X星球的质量M＝，故D项正确。] 10．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度。 [解析]　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。 (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月， 月球的质量M＝。 (3)月球的密度ρ＝＝＝。 [答案]　(1)　(2)　(3) 13/13 学科网（北京）股份有限公司 $