第六章 3．向心加速度-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书word（人教版）江苏专用

本讲义聚焦向心加速度核心知识点，系统梳理其定义（物体做匀速圆周运动时指向圆心的加速度）、方向（始终垂直线速度）及大小公式（aₙ=v²/r=ω²r=ωv等），构建从匀速圆周运动到非匀速圆周运动的理解脉络，通过概念辨析、公式推导与实例分析形成完整学习支架。 资料突出科学思维培养，如通过公式推导渗透极限思想，结合思考辨析纠正“向心加速度与半径成正比”等认知误区，典例分析（如皮带传动中P、S、Q点加速度计算）引导科学推理。课中助力教师互动教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

3．向心加速度 [学习目标] 1．知道向心加速度的概念、特点及表达式。 2．通过向心加速度的推导过程，体会极限思想在物理规律形成过程中的重要作用。 3．能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式。 知识点　向心加速度 1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 2．方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。 3．大小： (1)基本公式an＝＝ω2r。 (2)拓展公式an＝·r＝ωv。 能根据公式an＝说向心加速度大小与线速度平方成正比吗？ 提示：不能。 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。 (×) (2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。 (√) (3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。 (×) (4)乙同学认为，由公式an＝ω2r知，向心加速度an与运动半径r成正比。 (×) 2．填空 中国保护大熊猫研究中心之一的雅安碧峰峡基地位于东经103°，北纬30°。地球可以看作半径为R的球体，则在该研究中心处的物体与赤道上的物体随地球自转的向心加速度之比为________。 [解析]　北纬30°的物体与赤道上的物体随地球自转属于共轴转动，角速度相同，根据an＝rω2，加速度与半径成正比，因为北纬30°的物体与赤道上的物体的半径之比为∶1，所以向心加速度之比为∶2。 [答案]　∶2 甲　　　　　　　　乙 (1)图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？ (2)做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？ (3)除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？ 提示：(1)具有加速度。 (2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。 (3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。 考点1　对向心加速度的理解 1．向心加速度方向特点 (1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。 (2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。 2．非匀速圆周运动的加速度 对于非匀速圆周运动，如图所示。 (1)物体加速度的方向不再指向圆心。 (2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。 (3)另一个分加速度改变速度的大小。 注意：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，都有向心加速度，且方向都指向圆心。 【典例1】　下列说法中，正确的是(　　) A．匀速圆周运动向心加速度大小不变，为匀变速曲线运动 B．圆周运动是变速运动，其加速度方向总是指向圆心 C．向心加速度的方向始终指向圆心 D．向心加速度总是跟速度的方向垂直，且大小不变 C　[匀速圆周运动虽然其向心加速度的大小始终不变，但其向心加速度的方向始终在变化，因而匀速圆周运动不是匀变速曲线运动，A错误；圆周运动是变速运动，其加速度为向心加速度和切向加速度的合加速度，因为向心加速度始终指向圆心，因而，只有在切向加速度为零，即物体做匀速圆周运动时，合加速度的方向才指向圆心，B错误、C正确；向心加速度始终垂直于速度的方向，但变速圆周运动向心加速度大小也改变，D错误。] 　向心加速度与合加速度的关系 (1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度。 (2)物体做变速圆周运动时，合加速度可分解为沿圆周切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。 [跟进训练] 1．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A．向心加速度越大，物体速率变化越快 B．向心加速度的大小与轨道半径成反比 C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直 D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 C　[在匀速圆周运动中，速率不变，A错误；向心加速度的大小可用an＝或an＝ω2r表示，当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。可见an与r的比例关系是有条件的，B错误；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量，D错误。] 考点2　向心加速度公式及应用 1．向心加速度的几种表达式 2．向心加速度an与半径r的关系图像 (1)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图甲所示。 (2)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图乙所示。 甲　　　　　　　乙 注：向心加速度的表达式对应瞬时加速度，它既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。 【典例2】　如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？ 思路点拨：①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。 ②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度。 [解析]　同一轮子上的S点和P点的角速度相同， 即ωS＝ωP。 由向心加速度公式an＝ω2r，得＝， 故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2。 又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ。 由向心加速度公式an＝，得＝。 故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。 [答案]　4 m/s2　24 m/s2 　向心加速度表达式的应用技巧 (1)角速度相等时，研究an与v的关系用an＝ωv分析比较。 (2)周期相等时，研究an与r的关系用an＝r分析比较。 (3)线速度相等时，研究an与r的关系用an＝分析比较。 (4)线速度相等时，研究an与ω的关系用an＝ωv分析比较。 [跟进训练] 2．甲图为某玩具中的一种传动机构，乙图是其简化模型。已知两个大轮半径相等且大轮半径和小轮半径之比为3∶1，左、右两轮靠皮带传动且不打滑。A、B分别是两个大轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　) 甲　　　　　　　　　乙 A．因为左、右两轮是靠皮带传动的，所以A、B两点的线速度大小相等 B．A、B两点周期之比是3∶1 C．A、B两点向心加速度大小相等 D．A、B两点的角速度大小之比是3∶1 D　[设小轮边缘上有一点C，C和B是靠皮带传动的，所以B、C的线速度大小相等，C和A同轴转动，所以C和A具有相同的角速度，根据v＝ωr可知，A的线速度大于B的线速度，故A错误；A和C的周期相等，而B和C的线速度大小相等，有＝＝＝＝，故B错误；A、B两点向心加速度大小之比为＝＝＝，故C错误；根据ω＝，可知＝＝，故D正确。] 1．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B．匀速圆周运动的向心加速度是不变的 C．匀速圆周运动的向心加速度大小不变 D．只要是圆周运动，其加速度都是不变的 C　[圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动。在匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度，其大小不变，方向时刻改变；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度，向心加速度改变线速度的方向，切向加速度改变线速度的大小。故选项C正确。] 2．如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知(　　) A．甲球运动时，线速度保持不变 B．甲球运动时，角速度大小保持不变 C．乙球运动时，线速度大小保持不变 D．乙球运动时，角速度大小保持不变 D　[做匀速圆周运动线速度大小不变，方向时刻改变，A错误；由a＝知，v大小不变时，a与R成反比，图像为双曲线的一支，B错误；由a＝ω2R知，ω不变时，a与R成正比，图像为过原点的倾斜直线，C错误，D正确。] 3．自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图所示。正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比 aA∶aB∶aC为(　　) A．1∶1∶8　　　 B．4∶1∶4 C．4∶1∶32 D．1∶2∶4 C　[A、B的线速度大小相等，RA∶RB＝1∶4，根据a＝知，aA∶aB＝4∶1。A、C的角速度相等，RA∶RC＝1∶8，根据a＝ω2r知，aA∶aC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32。故C正确。] 4．(新情境题，以科幻电影为背景，考查向心加速度公式)某科幻电影中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置，外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。 问题：(1)旋转角速度应为多少(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)? (2)不同质量的人受力相同吗？感受相同吗？ [解析]　(1)为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则物体的向心加速度应等于g，根据g＝ω2R可得ω＝。 (2)不同质量的人受力不相同，感受相同。 [答案]　见解析 回归本节知识，自我完成以下问题： 1．圆周运动的加速度一定指向圆心吗？ 提示：不一定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。 2．向心加速度表达式有哪些？ 提示：an＝＝ω2·r＝·r＝ωv＝(2πf)2r＝(2πn)r。 课时分层作业(六)　向心加速度 题组一　向心加速度的理解 1．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　) A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变 D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算 B　[向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，C错误；公式a＝适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误。] 2．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是(　　) A．大树开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断 B．大树开始倒下时，树梢的线速度较大，易于判断 C．大树开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断 D．伐木工人的经验缺乏科学依据 B　[大树开始倒下时，树各处的角速度一样大，A错误；由v＝ωr可知，树梢的线速度较大，易判断树倒下的方向，B正确；由an＝ω2r知，树梢处的向心加速度较大，方向指向树根处，但无法用向心加速度确定倒下的方向，C、D错误。] 3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　) A．加速度为零 B．加速度恒定 C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。] 4．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中(　　) A．笔尖的向心力不变 B．笔尖的线速度不变 C．笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度相等 D．笔尖的加速度不变 C　[在圆规匀速转动画圆的过程中，线速度的方向在改变，所以笔尖的线速度改变，向心力的大小不变、方向改变，故AB错误；笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度θ＝ωt相等，故C正确；笔尖的加速度，即圆周运动的向心加速度an＝ω2R，大小不变，而方向时刻在改变，故D错误。] 5．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　　D B　[小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确，A、C、D错误。] 题组二　向心加速度的表达式及应用 6．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　) A．10 m/s2　　　 B．100 m/s2 C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2 C　[向心加速度的公式an＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000 m/s2，C正确。] 7．如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m。则下列说法正确的是(　　) A．小物块运动的角速度为2 rad/s B．小物块做圆周运动的周期为2π s C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m D．小物块在π s内通过的路程为零 A　[因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，故A正确；周期T＝＝π s，故B错误；小物块在 s内转过弧度，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，故C、D错误。] 8．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为(　　) A．ω2R　　　　 B．ω2r C．ω2L sin θ D．ω2(r＋L sin θ) D　[小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋L sin θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋L sin θ)，选项D正确。] 9．在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小(取π＝3.14)。 [解析]　男女运动员的转速、角速度是相同的， 由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60 rad/s＝3.14 rad/s 由v＝ωr得r＝＝ m≈1.53 m 由a＝ω2r得a＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。 [答案]　3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2 10．如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴沿顺时针方向转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L。则(　　) A．M点的速度方向垂直于液压杆 B．N点的角速度为2ω C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L D　[吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，有相同的角速度，即N点的角速度等于M点的角速度，故B错误；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确。] 11．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比(　　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 D　[由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；＝＝，B错误。] 12．如图甲所示，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求： 甲　　　　　　　　　乙 (1)汽车转弯所用的时间； (2)汽车行驶的速率。 [解析]　(1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为t＝10 s。 (2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T＝4t＝40 s，由an＝ωv＝v， 解得v≈10 m/s。 [答案]　(1)10 s　(2)10 m/s 13．一可视为质点的圆柱形小物块放在水平转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方拍照，得到转盘转动一周的频闪照片如图所示，已知频闪照相的闪光频率为30 Hz，转盘的转动半径为2 m。则该转盘转动的角速度和物块的向心加速度分别是多少？ [解析]　闪光频率为30 Hz即每隔 s闪光一次，由频闪照片可知，转一周有6个时间间隔，即周期为 s，所以转盘转动的角速度为ω＝＝10 π rad/s。物块的向心加速度大小为a＝ω2r＝200 π2 m/s2。 [答案]　10π rad/s　200π2 m/s2 5/12 学科网（北京）股份有限公司 $