第八章 素养提升课(四) 动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书配套课件（人教版）江苏专用

该高中物理课件聚焦动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用，通过多过程轨道运动、非质点类问题等典例导入，搭建“单过程到多过程、质点到非质点”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于强化科学思维中的模型建构与科学推理，如分析链条、液柱问题时通过分段重心分析建构模型，用表格对比动能定理与机械能守恒定律培养科学论证能力。采用“考点-典例-规律-训练”闭环设计，提升学生能量观念和综合分析能力，为教师提供系统教学资源，助力高效课堂实施。

第八章　机械能守恒定律 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒 定律及功能关系的应用 [学习目标] 1．会利用动能定理分析多过程问题，能够建立求解“多过程运动问题”的模型，提高逻辑推理和综合分析问题的能力。 2．能在问题情境中根据机械能守恒的条件，判断机械能是否守恒，获得结论。 3．能正确选择机械能守恒定律或动能定理解决实际问题。 4．理解力做功与能量转化的关系，能运用功能关系解决问题。 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 关键能力·情境探究达成 考点1　利用动能定理分析多过程问题 一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。 1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。 第一单元　伟大的复兴·中国革命传统作品研习 2．全程应用动能定理时，分析整个过程中各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 【典例1】　如图所示，ABCD为同一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始沿轨道运动，经过BC后运动到高出C点10.3 m的D点时速度为零，物体经过B、C处时无能量损失。求：(g取10 m/s2) (1)物体与BC轨道间的动摩擦因数； (2)物体第5次经过B点时的速度大小； (3)物体最后停止的位置到B点的距离。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [解析]　(1)物体从A到D过程，由动能定理得－mg(h－H)－μmglBC＝，代入数据解得μ＝0.5。 (2)物体第5次经过B点时，已在BC轨道上运动了4次，由动能定理得mgH－μmg·4lBC＝，解得v2＝4 m/s。 (3)分析整个过程，由动能定理得mgH－μmgl＝，解得l＝21.6 m，所以物体在ABCD轨道上来回运动了10次后，还可以运动1.6 m，故最后停止的位置离B点的距离为x＝2 m－1.6 m＝0.4 m。 [答案]　(1)0.5　(2)4 m/s　(3)0.4 m 规律方法　动能定理在多过程中的应用技巧 (1)当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。 (2)研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关注中间运动的过程量。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [跟进训练] 1．竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生碰撞后反弹(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。 在图乙所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功。 甲　　　　　　　　乙 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [解析]　在题图乙所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为f，下滑过程中所走过的路程为s1，返回过程中所走过的路程为s2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦力所做的功为W。由动能定理有 mgH－fs1＝mv12－0， ① －(fs2＋mgh)＝0－m， ② 从题图乙所给出的v-t图像可知s1＝v1t1， ③ s2＝·(1.4t1－t1)， ④ 由几何关系＝。 ⑤ 物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功为 W＝fs1＋fs2， ⑥ 联立①②③④⑤⑥式可得W＝mgH。 [答案]　mgH 考点2　非质点类物体机械能守恒问题 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 【典例2】　横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两侧圆筒的阀门K打开，当两侧圆筒水面高度相等时，则该过程中(　　) A．水柱的重力做负功 B．大气压力对水柱做负功 C．水柱的机械能不守恒 D．当两侧圆筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 D　[把连接两侧圆筒的阀门打开到两侧圆筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做的正功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的虚线所示，重心下降了，重力所做的正功WG＝ΔEk＝·ρgS· ＝ρgS(h1－h2)2，故D正确。] [跟进训练] 2．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g) 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [解析]　方法一　(取整个铁链为研究对象)： 设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L。 由机械能守恒得 mv2＝mg·L，解得v＝。 方法二　(将铁链看成两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置。 重力势能减少量为ΔEp＝mg·， 由机械能守恒得mv2＝mg·， 则v＝ 。 [答案]　 考点3　动能定理与机械能守恒定律的比较 1．机械能守恒定律和动能定理的比较 比较项目 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制 研究对象 系统 单个物体 关注角度 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合力做功情况 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 2．规律的适用范围 (1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。 (2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 【典例3】　如图所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的跳台滑雪赛道示意图。运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s＝20 m处的P点时，运动员的速度为v1＝50.4 km/h。运动员滑到B点时快速后蹬，以v2＝90 km/h的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126 km/h的速度在C点着地。已知BC两点间的高度差h＝80 m，运动员的质量m＝60 kg，重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求： (1)A到P过程中运动员的平均加速度大小； (2)以B点为零势能参考点，求到C点时运动员的机械能； (3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [解析]　(1)v1＝50.4 km/h＝14 m/s。 由速度位移的关系式得＝2as， 代入数据解得a＝4.9 m/s2。 (2)v2＝90 km/h＝25 m/s， v3＝126 km/h＝35 m/s， 以B点为零势能参考点，到C点时运动员的机械能为 E＝， 代入数据解得E≈－1.0×104 J。 (3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，由动能定理得 mgh－W＝， 代入数据解得W≈2.9×104 J。 [答案]　(1)4.9 m/s2　(2)－1.1×104 J　(3)2.9×104 J 规律方法　如果物体只受重力，或系统内只有重力或弹力做功时，则W外是重力做的功或重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律。如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律来求解。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 3．为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量为m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度为vC＝4.0 m/s。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功； (3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出， 求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 [解析]　(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有 FN－mg＝m， 解得FN＝90 N。 根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。 (2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。 小物块从A到C的过程中，根据动能定理有 mgL sin 37°＋Wf＝mvC2－mv02， 解得Wf＝－16.5 J。 (3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有 FN＋mg＝m，FN＝0时小物块的速度为最小值，则v≥。 小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有 mvC2＝mv2＋2mgR， 联立得，解得R≤0.32 m。 [答案]　(1)90 N　(2)－16.5 J　(3)R≤0.32 m 考点4　功能关系 1．功是能量转化的量度 不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 2．常见的几种功能关系 功 能的变化 表达式 重力做功 正功 重力势能减少 重力势 能变化 WG＝－ΔEp或 WG＝Ep1－Ep2 负功 重力势能增加 弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势 能变化 W弹＝－ΔEp或 W弹＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 合力做功 正功 动能增加 动能 变化 W合＝ΔEk或 W合＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 功 能的变化 表达式 除重力及 系统内弹 力外其他 力做功 正功 机械能增加 机械能 变化 W其他＝ΔE或 W其他＝E2－E1 负功 机械能减少 两物体间滑动摩擦力 对物体系统做功 内能变化(增加) Q热＝Ff·x相对 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 【典例4】　一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则(　　) A．物块下滑过程中机械能守恒 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5 C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 思路点拨：根据能量图像分析受力情况。物块在下滑过程中重力势能减少，动能增加，故Ⅰ为重力势能随下滑距离s的变化图线，Ⅱ为动能随下滑距离s的变化图线。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 B　[由题图可知，初状态时物块的机械能为E1＝30 J，末状态时物块的机械能为E2＝10 J，故物块下滑过程中机械能不守恒，A错误；物块下滑过程损失的机械能转化为克服摩擦力做功产生的内能，设斜面倾角为θ，物块质量为m，由功能关系得μmg cos θ·s＝E1－E2，由几何知识知cos θ＝，物块开始下滑时Ep＝E1＝mgh，由以上各式解得μ＝0.5，m＝1 kg，B正确；由牛顿第二定律得mg sin θ－μmg cos θ＝ma，解得a＝2.0 m/s2，C错误；由功能关系得，物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE＝μmg cos θ ·s1＝8 J，D错误。] [跟进训练] 4．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其加速度大小为g。在这个过程中，物体(　　) A．重力势能减少了mgh　　 B．动能减少了mgh C．动能减少了 D．机械能损失了 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 C　[物体克服重力做功，重力势能增加，A错误；合力对物体做的功等于物体动能的变化，则可知动能减少量为ΔEk＝ma＝mgh，B错误，C正确；物体机械能的损失量等于克服摩擦力做的功，因为mgsin 30°＋Ff＝ma，所以Ff＝mg，故克服摩擦力做的功Wf＝Ff＝mg＝mgh，D错误。] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 素养提升练(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 一、选择题 1．物体在竖直方向上分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动。在这三种情况下物体机械能的变化情况是(　　) A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 C．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能可能增加，可能减少，也可能不变 D．三种情况中，物体的机械能均增加 √ 第一单元　伟大的复兴·中国革命传统作品研习 36 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 C　[无论物体向上加速运动还是向上匀速运动，除重力外，其他外力的合力一定对物体做正功，物体机械能一定增加；物体向上减速运动时，除重力外，物体受到的其他外力不确定，故无法确定其机械能的变化情况，选项C正确。] 37 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 2．质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m后速度达到 1 m/s，g取10 m/s2，则下列判断错误的是(　　) A．人对物体做的功为12 J B．合外力对物体做的功为2 J C．物体克服重力做的功为10 J D．人对物体做的功等于物体增加的动能 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 38 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 D　[由动能定理知，合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，W人－mgh＝mv2－0，得人对物体做的功W人＝mgh＋mv2＝12 J，A正确，D错误；合外力做的功W合＝mv2＝2 J，B正确；物体克服重力做的功为mgh＝10 J，C正确。D符合题意。] 39 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 3．如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为(　　) A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 A　[由题意知，将Q点拉至M点时，外力对细绳所做的功等于细绳MQ段克服自身重力所做的功，将Q点拉至M点的过程中，细绳MQ段重心上升的高度Δh＝＝l(取悬挂点为基准点)，故外力做的功W＝mgΔh＝mgl，故选项A正确。] 41 4．如图所示，一匀质杆长为 r， 从图示位置由静止开始沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面。则当杆滑到BD位置时的速度大小为(　　) A． C． D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 42 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有mv2＝mg·，解得v＝，B正确。] 43 5．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)(　　) A． C． D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 44 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 C　[由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝mv2，所以v＝，选项C正确。] 45 6．如图所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB、BC两段，AB＝2BC。小物块P(可视为质点)与AB、BC两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2。已知P由静止开始从A点释放，恰好能滑动到C点而停下，那么θ、μ1、μ2间应满足的关系式是(　　) A．tan θ＝ B．tan θ＝ C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2＋μ1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ B　[由动能定理得mg·lAC·sin θ－μ1mg cos θ·lAB－μ2mg cos θ·lBC＝0，则有tan θ＝，故选项B正确。] 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 46 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 7．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)(　　) A．圆环机械能守恒 B．弹簧的弹性势能先减小后增大 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 47 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 C　[圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，但圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误。] 48 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 8．如图所示，倾角为θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　) A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了mgl C．物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功 D．软绳减少的重力势能等于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 49 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[以物块为研究对象，细线对物块做负功，物块机械能减少，选项A错误；开始时软绳的重心在最高点下端lsin 30°＝处，物块由静止释放后向下运动，当软绳刚好全部离开斜面时，软绳重心在最高点下端处，故软绳的重心下降了l，软绳重力势能共减少了mgl，所以选项B正确；根据功能关系，细线对软绳做的功与软绳重力势能的减少量之和等于其动能的增加与克服摩擦力所做的功之和，物块减少的重力势能等于克服细线拉力所做的功及其动能的增加，所以选项C、D错误。] 50 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 9．(人教版P88T5改编)如图所示为足球踢出后在空中运动依次经过a、b、c三点的轨迹示意图，其中a、c点等高，b点为最高点，则足球(　　) A．在运动过程中只受重力的作用 B．在b点的速度为0 C．在a点的机械能比在b点的机械能大 D．在a点的动能与在c点的动能相等 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 51 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 C　[对比足球ab段和bc段的轨迹可知，足球在运动过程中除受到重力作用外还受到空气阻力的作用，A错；b点为轨迹的最高点，足球的速度水平向右，B错；足球从a点运动到b点的过程中，空气阻力对足球做负功，足球的机械能减小，因此足球在a点的机械能大于在b点的机械能，C对；足球在a点和c点的高度相同，重力势能相等，但足球从a点运动到c点的过程中，空气阻力对足球做负功，足球的机械能减小，因此足球在a点的动能大于在c点的动能，D错。] 52 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 10．如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆之间的距离为d。杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方距离为d处。现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(　　) A．环到达B点时，重物上升的高度h＝ B．环到达B点时，环与重物的速度大小相等 C．环从A点到B点，环减少的机械能大于重物增加的机械能 D．环能下降的最大高度为 √ 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 53 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 D　[环到达B点时，对环的速度进行分解，可得v环cos θ＝v物，由题图中几何关系可知θ＝45°，则v环＝v物，B错误；由分析可知，环从A点到B点，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C错误；当环到达B点时，由题图中几何关系可得，重物上升的高度h＝(－1)d，A错误；当环下落到最低点时，设环下降的高度为H，由机械能守恒定律有mgH＝2mg(－d)，解得H＝d，D正确。] 54 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 二、非选择题 11．如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。 (1)求小球在B、A两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 55 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 [解析]　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由动能定理得EkA＝mg。 ① 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg。 ② 由①②式得EkB∶EkA＝5∶1。 ③ 56 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 (2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0。 ④ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有FN＋mg＝。 ⑤ 由④⑤式得，vC应满足。 ⑥ 由动能定理有mg＝。 ⑦ 由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。 [答案]　(1)5∶1　(2)见解析 57 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 12．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与两球连接，处于静止状态。同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g。求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vB； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 58 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 [解析]　(1)由a球恰好能到达A点知：m1g＝m1。 由机械能守恒定律得m1va2－m1vA2＝m1g·2R，解得va＝。 (2)对于b球由机械能守恒定律得m2vB2＝m2g·10R， 解得vB＝2。 (3)由机械能守恒定律得Ep＝m1va2＋m2vB2， 解得Ep＝gR。 [答案]　(1)　(2)2　(3)gR 59 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 13．如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为θ(0<θ<)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受 的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。 (1)求小球初速度的大小v0。 (2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式。 (3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。 关键能力 素养提升练 素养提升课(四)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用 60 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 [解析]　(1)设小球在最高点的速度为v1，在最高点时重力恰好提供向心力，有mg＝。 对小球从A点到最高点的过程，根据动能定理有 －mg·2L＝。 联立解得v0＝。 61 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 (2)以N点为圆心，设小球能到达的最低点为M点，到达最低点时速度为v2，在M点有7mg－mg＝。 对小球从A点到M点的过程，根据动能定理有 －mgΔh＝。 根据几何关系可得Δh＝L－r－(L－r)cos θ。 联立各式解得r＝L。 62 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 (3)细线被拉断后小球做平抛运动，假设细线被拉断后小球能通过A点，设小球从M点到A点的运动时间为t，竖直方向有Δh＝gt2，水平方向有(L－r)sin θ＝v2t。 解得cos θ＝－或1(舍去)，θ无解，所以假设不成立，细线被拉断后小球不能通过A点。 [答案]　(1)　(2)r＝ L　(3)不能，理由见解析 63 $