精品解析：吉林省四平市实验中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

四平市实验中学2025~2026学年度期中考试试题 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数与解三角形，导数，平面向量概念，平面向量基本定理及坐标表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定求解. 【详解】由存在量词命题的否定知， ， 否定为：，. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 4. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因为，，若“，，则， 所以“，”是“”的充分条件； 当，满足，但不满足， 所以“，”不是“”的必要条件. 故选：A. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 6. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解. 【详解】设，所以， 则，，故; 故选：B 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得为图象的一条对称轴，即可求出，再由的取值范围，求出的取值范围，再结合极值点及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】由题意可得：的最小正周期，又， 且，所以为图象的一条对称轴， 所以（），解得（）， 又，所以，故. 当时，则，若函数在区间上恰有3个极值点， 则，解得，故的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D. 【详解】若，时，则，故A错误； 若，时，，故B正确； 若，当时，，但，命题不成立，故C错误； 当时，，又，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD. 【详解】对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由于，，故，C错误； 对于D， ，故是奇函数，D正确， 故选：BD 11. 已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ） A. 8是一个周期 B. 为偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得. 【详解】由，得， 则，即函数图象关于对称； 因为为奇函数，所以， 则，即函数图象关于中心对称. A项，由对称性可知，， 所以，即， 所以， 则是的一个周期，故A正确； B项，由对称性与周期性可知，， 所以是偶函数，故B正确； C项，，得， 所以，故C错误； D项，由周期性和，得， 所以，同理， 由，得， 所以，则， 所以， 故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，若，则__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】由题意可得. 故答案为：-1. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则__________，塔高__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形得出，再解直角三角形即可得. 【详解】在中，易知， 由正弦定理可知：， 即米， 且米， 因为，则，所以米. 故答案为：， 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或濱算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因为函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． 【小问2详解】 由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； 【小问2详解】 （2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以，即， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合已知得，结合平方关系、半角公式即可求解； （2）由题意得，由乘1法即可求解； （3）由题意得，求出的范围即可. 【小问1详解】 若，由正弦定理得， 又，所以， 又，解得或（舍）， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 因为的面积 ， 所以， 因为，且， 所以，所以， 所以当，即时，取得最小值， 即边AB的最小值为. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可. 【小问1详解】 ， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 ，，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； 【小问3详解】 ， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市实验中学2025~2026学年度期中考试试题 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数与解三角形，导数，平面向量概念，平面向量基本定理及坐标表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 11. 已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ） A. 8是一个周期 B. 为偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，若，则__________. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则__________，塔高__________. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或濱算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $