精品解析：重庆市开州中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

开州初中教育集团2025-2026上八年级期中测试 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）． A. 3，4，7 B. 3，4，6 C. 3，4，5 D. 3，4，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边长关系即可得出答案． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，符合题意； B、，故可以组成三角形，不符合题意； C、，故可以组成三角形，不符合题意； D、，故可以组成三角形，不符合题意， 故选：A． 3. 《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”， 已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 5. 将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（ ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 6. 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是（ ） A. 2 B. 1 C. 13 D. 1或13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理． 分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ①当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为． 故选：B． 7. 如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 8. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知， ，， ． 故选：D． 9. 如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③； ④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明点到两边的距离相等，从而得出平分； 对于②，通过角平分线性质和三角形内角和定理进行角度推导； 对于③，通过构造全等三角形，证明线段之间的关系； 对于④，利用三角形外角性质和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①：过点作于点， 平分，，，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ， 平分，，， 同理可得， ， 又，， 平分，故①正确； ②：设，， 在中， ， ， 在中， ， 而， 由三角形内角和， 即， 解得， 那么， 所以， 而，故②错误； ③：在上截取， 平分， ， 又，，根据边角边可得， ，， 由①知， ， 平分，，， ， 又，， ， ， ，故③正确； ④：是的外角， ， 又平分， ， ，故④正确． 综上，①③④正确，正确的结论有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和绝对值等实数的运算，先计算平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 13. 小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是___． 【答案】① 【解析】 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； 带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故答案为：①． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解本题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______． 【答案】 ①. 9876 ②. 7114 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减运算及代数式的值，解题的关键是理解“开心数”的定义；因此此题可根据“开心数”意义得到最大的“开心数”，然后根据题意可得s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7，t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知：千位一定要最大，故千位数字为9，百位数字为8，十位上的数字则为7，个位数的数字为6，所以最大的“开心数”是9876； ∵， ∴s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7， ∴， ∵，， ∴t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是， ∴， ∴， ∵s、t是“开心数”， ∴，， ∴，， ∴当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 当时，，则， 由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则，由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 综上或； 综上所述：满足条件的所有正整数的和为； 故答案为9876；7114． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组和方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先整理，再利用代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：整理得：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 【答案】（1） 解：作图如下： （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）以B为圆心长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点，此时； （2）①为两个角互余，②为同角的余角相等，③是三角形全等的判定条件，④是由全等三角形的性质得出的对应边相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. DeepSeek（深度求索）是一款人工智能模型，某校八年级3班学生为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，八年级3班学生从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“BUG报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）学生收集了份调查问卷，请估计选择“BUG报告”的总人数． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如下∶ （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知，样本中，选择选项A为“功能建议”的有份，占被调查总数量的，由频率频数总数即可求出被调查问卷的总份数，进而求出选项D为“其他反馈”所占的百分比，确定m的值； （2）求出样本中选择选项B为“界面优化”的份数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，求出样本中选择 “BUG报告”所占的百分比，进而估计总体中 “BUG报告”所占的百分比，根据频率=频数总数进行计算即可． 【小问1详解】 解∶ (份)， ，即． 故答案为∶，； 【小问2详解】 解： (份)，补全条形统计图如答图所示． 【小问3详解】 解：(份) 答∶学生收集了份调查问卷中选择“BUG报告”的总人数大约有份． 21. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（不写作法）． 【答案】（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）， 如图所示三角形A1B1C1即为所求； （2）5； （3）如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据题意画出对应的三角形A1B1C1，并求出三个顶点的坐标即可； （2）根据三角形ABC的面积等于其所在的矩形面积减去周围的几个三角形的面积即可求解； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【详解】解：（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）. （2）； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，画轴对称图形和最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具． 【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元． 【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环，加印数学节后作为奖品．加印的费用均为每件2元．已知两种道具未加印的共12件，购买和加印的总费用为520元． 任务1：求鲁班锁和九连环的单价． 任务2：学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件？ 【答案】任务1：鲁班锁的单件为16元，九连环的单件为18元，任务2：九连环共11件或20件，对应的鲁班锁为18件或8件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意列出方程或方程组是解题的关键； [任务1]设鲁班锁的单件为元，九连环的单件为元，根据两个等量关系列出二元一次方程组，并求解即可； [任务2]解法1：设鲁班锁买了件，九连环买了件，则九连环未加印的有件，鲁班锁未加印的有件，鲁班锁加印的有件，根据总费用520元列出二元一次方程，求出其正整数解即可； 解法2：设未加印的鲁班锁件，加印的鲁班锁件，则不加印的九连环件，根据总费用520元列出二元一次方程，求出其正整数解即可； 解法3：设加印的鲁班锁和不加印的九连环共件，不加印的鲁班锁件，根据总费用520元列出二元一次方程，求出其正整数解即可． 【详解】解：[任务1] 设鲁班锁的单件为元，九连环的单件为元， 由题意得：， 解得； 答：鲁班锁的单件为16元，九连环的单件为18元． [任务2] 解法1：设鲁班锁买了件，九连环买了件， 则九连环未加印的有件，鲁班锁未加印的有件， 所以鲁班锁加印的有件， 所以， 化简得：， 所以， 因为均为正整数且， 所以或， 答：鲁班锁和九连环分别买了8件，20件或18件，11件． 解法2：设未加印的鲁班锁件，加印的鲁班锁件，则不加印的九连环件， 由题意可得：， 化简得：， 因为均为正整数，且， 解得或； 所以鲁班锁买了8件或18件，对应的九连环为20件或11件． 解法3：设加印的鲁班锁和不加印的九连环共件，不加印的鲁班锁件， 由题可得：， 化简得：， 所以， 因为均为正整数，且， 所以或． 所以不加印的九连环为1件或10件，加印的鲁班锁为7件或6件， 故九连环共11件或20件，对应的鲁班锁为18件或8件． 23. 如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 24. 已知：中，，，过点A作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2） 证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得． （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得． （3）设，结合，利用三角形的面积公式求解面积比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于， ， 设，， 由（2）得：， ， ， ， ， ， ， 综上，的值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得； （2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图1，设与交于点， ∵，， ∵，，， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，求解过程如下： ∵点在轴上， ∴分以下两种情况： ①当点在轴的正半轴上时， 如图2，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． ②当点在轴的负半轴上时， 如图3，过点作轴于点， 同理可证：，， ∴， ∴点的坐标为． 综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教育集团2025-2026上八年级期中测试 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）． A. 3，4，7 B. 3，4，6 C. 3，4，5 D. 3，4，4 3. 《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（ ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 6. 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是（ ） A. 2 B. 1 C. 13 D. 1或13 7. 如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③； ④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______． 13. 小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是___． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______． 15. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则___________ ． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 解不等式组和方程组： （1） （2） 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 20. DeepSeek（深度求索）是一款人工智能模型，某校八年级3班学生为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，八年级3班学生从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“BUG报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）学生收集了份调查问卷，请估计选择“BUG报告”的总人数． 21. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（不写作法）． 22. 综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具． 【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元． 【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环，加印数学节后作为奖品．加印的费用均为每件2元．已知两种道具未加印的共12件，购买和加印的总费用为520元． 任务1：求鲁班锁和九连环的单价． 任务2：学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件？ 23. 如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 24. 已知：中，，，过点A作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 25. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $