专题17 分段函数（十一类重难点题型类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题17 分段函数 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、分段函数求函数值 类型二、利用函数值求参数值（范围） 类型三、解分段函数不等式 类型四、分段函数的图象 类型五、分段函数解析式的求法 类型六、分段函数的单调性及其应用 类型七、分段函数的奇偶性及其应用 类型八、分段函数的值域或最值及其应用 类型九、分段函数与零点问题 类型十、max/min型分段函数问题 类型十一、新定义题 压轴专练 类型一、分段函数求函数值 在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可。 【技巧方法】 直接法：直接带入求解，如果是复合函数，由内到外求。 例1．已知函数，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入函数计算外层函数的值. 【解析】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 变式1-1．已知则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【解析】因为故， 故答案为：. 变式1-2．已知函数，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【解析】由，得， 所以. 故选：D 变式1-3．已知则方程的解集是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质讨论和时代入求解即可； 【解析】当时，，若，，此方程恒成立，故； 若，， 因为，，所以方程在时无解； 当时，，，即，解得， 所以方程的解集是. 故答案为：. 类型二、利用函数值求参数值（范围） 由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此． 例2．已知函数，若，则的值为（  ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】当时，，解得， 当时，，得， 所以的值是2或． 故选：A 变式2-1．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C． D．2或3 【答案】B 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去） 综上所述： 故选：B. 变式2-2．设，若，则（  ） A．14 B．16 C．2 D．6 【答案】A 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：. 所以. 故选：A. 变式2-3．设函数，若，则（  ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】易得在和上为增函数， ，所以， 由得，解得或（舍去）， 则， 故选：D. 类型三、解分段函数不等式 【技巧方法】 ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解。 例3．已知函数若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】作出函数的图象，从而得在上单调递增，令，可得上在上单调递增，将问题转化为，即可得答案. 【解析】因为当时，， , 当时，， , 又， 综上，为上的奇函数， 当时，， 由二次函数的性质可知此时函数在上单调递增， 又因为为上的奇函数， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 令， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则上在上单调递增，且， 则将原不等式转化为， 解得, 所以a的取值范围是． 故答案为：． 变式3-1．设函数则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【解析】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 变式3-2．设函数，使得的a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【解析】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 变式3-3．设函数，，若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【解析】当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，解得，则. 综上所述，由，解得， 当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，显然成立，则； 当时，由，可得，，解得或，则. 综上所述，，解得. 故选：C. 变式3-4．已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可. 【解析】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 变式3-5．已知函数.若，则实数的取值范围是是 . 【答案】 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【解析】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 类型四、分段函数的图象 分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段。 【技巧方法】 作分段函数的图象时，应按分段区间分别作出其图象，在作每一段图像时，先不考虑定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”． 例4．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. （2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【解析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 变式4-1．函数的大致图象是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【解析】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 变式4-2．已知 （1）将写出分段函数的形式； （2）画出的图象，写出的单调增区间； 【答案】（1） （2）图象见解析，单调增区间为和 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值即可得分段函数解析式； （2）根据二次函数的图象作图即得分段函数的图象，利用函数图象写出单调增区间即可. 【解析】（1）由，当时，， 当时，， 故； （2）函数的图象如图所示，函数的单调增区间为和. 变式4-3．已知定义在上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） 图像见解析 （2） 【分析】（1）利用二次函数的图像，结合函数作出函数的函数图象； （2）由的单调性，，结合函数图像，列出不等式求解即可. 【解析】 （1）如下图所示： （2）由（1）知，的单调递减区间为，， 因为在上单调递减，所以. 所以，解得，故实数的取值范围是 类型五、分段函数解析式的求法 分段函数解析式的求法：在定义域的不同段内，分别求其解析式，做到不重不漏，然后写成统一的分段解析式形式，注意要标明每段中自变量的取值范围． 例5．已知定义在上的奇函数，当时，. 求函数在上的解析式； 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解即可； 【解析】因为为上的奇函数，所以. 当时，则，， 因为为奇函数，所以， 所以当时，， 所以 变式5-1． 变式5-2．已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用与图象关于原点对称求解即可； 【解析】由，使得可得， 由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称，如图： 取时，在第三象限显然有一交点，故取符合， 故答案为： 变式5-3．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； 【答案】 【分析】分和两种情况，由题意得到函数解析式； 【解析】当时， ， 当时， ， 故 类型六、分段函数的单调性及其应用 1.已知 在上单调递减特别注意考虑分段点的大小比较 2.已知 在上单调递增特别注意考虑分段点的大小比较 例6．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可. 【解析】是上的增函数，则要满足： ，解得. 故选：B. 变式6-1．已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解的取值范围即可. 【解析】分段函数的图象如下：    函数的单调增区间为：，， 所以分段函数在区间上单调递增， 则或，解得：或， 故选：D 变式6-2．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【解析】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 变式6-3．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【解析】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 类型七、分段函数的奇偶性及其应用 利用函数奇偶性的定义分析分段函数，进而求值、 【技巧方法】 可以借助奇偶函数图像的特点处理分段函数，从而解决问题。 例7．已知函数为奇函数，则等于（  ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可. 【解析】依题意，当时，，则， 而当时，，因此，则，， 当时，，则， 又，于是，， 所以，所以. 故选：C 变式7-1．若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数是上的偶函数，利用特殊值可得答案. 【解析】若函数是上的偶函数， 则有，即，解得， 当时，此时，， 当时，，， 当时，，， 所以函数是上的偶函数，符合题意， 则. 故答案为：1. 变式7-2．已知函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可． 【解析】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或，所以的取值范围为． 故答案为： 变式7-3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求函数在上的解析式； （3）在坐标系中画由函数的图象并解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析， 【分析】（1）根据奇函数定义计算即可； （2）根据奇函数的定义求出当的解析式，且即可得出的解析式； （3）根据解析式作出图像，由图可得不等式的解. 【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， （2）①因为函数是定义域为的奇函数，所以； ②当时，，由得 综上： （3）图象如下： 由题意， 当得 当，； 所以不等式的解集为. 类型八、分段函数的值域或最值及其应用 1.求分段函数的值域或最值：①求每一段的值域（最值）②将每段值域求并集（比较每段最值） 2.根据分段函数的值域求参数：分类讨论每段的值域 【技巧方法】 由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围，最后通过的范围确定出参量的取值范围 例8．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【解析】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 变式8-1．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 变式8-2．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，画出函数的图象，数形结合可得的范围，即可得解. 【解析】当时，， 则在上单调递减，此时， 当时，， 则函数在上单调递增，此时， 在上单调递减，此时， 当时，由，即，得， 当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图， 若在区间上既有最大值，又有最小值， 得，因此， 则的最大值为3. 故答案为：3. 变式8-3．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【解析】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 变式8-4．已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 （答案不唯一，满足即可）； 【分析】由一次函数单调性以及值域问题可得即可；再对二次函数单调区间进行分类讨论解不等式即可得出结果. 【解析】易知当时，函数单调递减，此时不存在最大值， 因此只需满足即可，可取； 若存在最大值，则， 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，解得； 当时，此时的最大值为， 而单调递增，需满足，即； 综上可得，. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）；； 类型九、分段函数与零点问题 由分段函数的性质画出函数图象，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合函数的性质求解即可． 【技巧方法】 由分段函数的性质画出函数图象，从而将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 例9．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图象，得到，，并解得，因为的两根为和，所以，，故，换元后求出取值范围. 【解析】画出函数的图象，如下图： 因为关于x的方程恰有3个不同的实数根()， 则，，， 所以或（舍去）， 又，即的两根为和，所以，， ， ， ， 令，则，因为，所以，即， ， 当时，取得最小值，最小值为， 又或3时，， 所以． 故答案为： 变式9-1．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】画出图象，结合图象可得，. 【解析】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以. 故选：A 变式9-2．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【解析】的图象如下图所示： 由图可知：当时且，则令，所以， 所以，又因为，所以， 所以，令， 所以， 所以，所以. 故选C. 变式9-3．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围. 【解析】由于函数，作出图象如图所示： 由可得：. 当时，，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，，， 则整数解为和，又， ∴； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和， 又， ，∴， 综上所述：实数的取值范围为：. 故答案为：. 类型十、max/min型分段函数问题 【技巧方法】 图象法： 对与，可通过画出，的图象，找到图象的交点，并取出的图象，根据图象求解（类似） 例10．设已知函数，则（  ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【解析】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 变式10-1．已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 【答案】B 【分析】依题意得，再根据分段函数性质判断即可. 【解析】，得或， 所以， 如图，画出函数的图象， 函数的单调递增区间是，最小值，无最大值， 函数不关于轴对称，. 故选：B 变式10-2．定义，设，则下列结论不正确的是（  ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 【答案】B 【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【解析】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：B. 变式10-3．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【解析】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 变式10-4．定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1） ；（2）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数新定义分别判断计算可得，再由定义得出函数的解析式并判断出其单调性，解不等式可得结果. 【解析】当时，， 所以，， 所以； 因为，所以， 当时，解得， 当时，即，解得或； 所以当时，； 当时，，，可得， 当时，，，可得； 当时，，，可得； 可得， 因为在上单调递增，在上单调递增，且函数在处连续，因此在上单调递增， 要使，则，解得， 所以实数x的取值范围是 故答案为： 类型十一、新定义题 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例11．Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，依次取，，即可逐一判断各个选项；对于D，分是无理数、有理数讨论即可判断. 【解析】若，当时，取，则，此时，A错误； 若，当时，取，则，此时，B错误； 若，当时，取，则，此时，C错误； 若，当时，，此时恒成立，即． 当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确． 故选：D. 变式11-1．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解. 【解析】由题意可知 所以，，，而无解. 故选：C. 变式11-2．新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（  ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】根据新定义的运算法则，分类讨论即可. 【解析】， 所以当时，，，不满足，舍去； 当时，，，满足，符合题意； 故选：C 变式11-3．德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【解析】． 故选：D． 1.已知函数，则的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案. 【解析】当时，； 当时，，当时等号成立. 故函数值域为. 故选：B. 2.已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【解析】因为 由于，则． 故选：B 3.已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【解析】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 4.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【解析】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 5.定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围 【解析】当时，， 可得在，上单调递减，在上单调递增， 在，上的值域为，， 在上的值域为，， 在上的值域为，， ， ， 在上的值域为，， 当时，为增函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为减函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为常数函数，值域为，不符合题意； 综上，的范围是或． 故选：D． 6.（多选）已知函数令，则下列说法正确的是（  ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 【答案】ACD 【分析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D． 【解析】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确； 对于B选项，令，则求的根，即求的根， 因为方程没有实根， 所以没有实根，所以选项B错误； 对于C选项，令，则方程，即， 得，，由方程得或， 解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确； 对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象， 当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确， 故选：ACD． 7.（多选）函数，则下列结论正确的是（  ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．， 【答案】AC 【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可. 【解析】，，，A正确； ，则的值域为，B错误； 时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确； 时，取，此时，，则，D错误. 故选：AC 8.（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（  ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【解析】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 9.已知函数，则（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【解析】由题意， . 故选：B. 10.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据时，，时需对分类讨论，再求出的范围，由值域为，从而解不等式即可. 【解析】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 11.已知 ①当时，的值域为 ； ②若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】根据二次函数性质可求解值域；解不等式即可求x的取值范围. 【解析】①当时, , 时，， 时，，对称轴为， 所以，所以， 所以函数的值域为或. ②时，无解， 因为，时，恒成立， 所以x的取值范围为. 故答案为: 或；. 12.已知函数若关于的不等式的解集是，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由转化为，结合图像，找到临界值，即可得解. 【解析】由不等式， 得：， 作函数和的图像如图所示： 注意和都过点， 当和相切时， 可得， 则，解得， 另外一个临界值为过点时， 则：， 由图像可知：满足条件的实数m的取值范围为：. 故答案为：. 13.已知函数. (1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； (3)设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】(1)图象见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用二次函数的图象性质作出的图象，从而得解； （2）利用（1）中的图象，结合函数新定义即可得解； （3）先得到的解析式，再分类讨论与两种情况，结合二次函数的性质得到的最小值情况，再分类讨论的取值情况即可得解. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 又，所以的图象大致如图， （2）因为，， 结合（1）中图象，可知当时，， 当或时，， 所以，即. （3）因为， 所以， 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 综上，当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 当时，，此时在时取得最小值； 当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 综上，的最小值为. 14.已知，函数 （1）若在上单调递增，则求的取值范围； （2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则求的取值范围。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先根据题意列出不等式组，解不等式组即可. （2）首先根据已知条件得到，画出函数的图象，利用数形结合的思想即可得到的取值范围. 【解析】（1）由题知：，解得. （2）因为对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且， 所以，解得. 所以， 函数的图象如图所示： 令，解得，即. 当函数过点时，， 此时函数与有两个交点. 联立， 当，即时， 此时函数与有两个交点. 因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 分段函数 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、分段函数求函数值 类型二、利用函数值求参数值（范围） 类型三、解分段函数不等式 类型四、分段函数的图象 类型五、分段函数解析式的求法 类型六、分段函数的单调性及其应用 类型七、分段函数的奇偶性及其应用 类型八、分段函数的值域或最值及其应用 类型九、分段函数与零点问题 类型十、max/min型分段函数问题 类型十一、新定义题 压轴专练 类型一、分段函数求函数值 在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可。 【技巧方法】 直接法：直接带入求解，如果是复合函数，由内到外求。 例1．已知函数，则 ． 变式1-1．已知则 ． 变式1-2．已知函数，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 变式1-3．已知则方程的解集是 . 类型二、利用函数值求参数值（范围） 由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此． 例2．已知函数，若，则的值为（  ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 变式2-1．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C． D．2或3 变式2-2．设，若，则（  ） A．14 B．16 C．2 D．6 变式2-3．设函数，若，则（  ） A． B． C．2 D．6 类型三、解分段函数不等式 【技巧方法】 ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解。 例3．已知函数若，则实数a的取值范围是 变式3-1．设函数则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式3-2．设函数，使得的a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．设函数，，若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-4．已知函数，若，则的取值范围是 . 变式3-5．已知函数.若，则实数的取值范围是是 . 类型四、分段函数的图象 分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段。 【技巧方法】 作分段函数的图象时，应按分段区间分别作出其图象，在作每一段图像时，先不考虑定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”． 例4．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 变式4-1．函数的大致图象是（  ） A. B. C. D. 变式4-2．已知 （1）将写出分段函数的形式； （2）画出的图象，写出的单调增区间； 变式4-3．已知定义在上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 类型五、分段函数解析式的求法 分段函数解析式的求法：在定义域的不同段内，分别求其解析式，做到不重不漏，然后写成统一的分段解析式形式，注意要标明每段中自变量的取值范围． 例5．已知定义在上的奇函数，当时，. 求函数在上的解析式； 变式5-1．已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 变式5-2．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； 类型六、分段函数的单调性及其应用 1.已知 在上单调递减特别注意考虑分段点的大小比较 2.已知 在上单调递增特别注意考虑分段点的大小比较 例6．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式6-3．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 类型七、分段函数的奇偶性及其应用 利用函数奇偶性的定义分析分段函数，进而求值、 【技巧方法】 可以借助奇偶函数图像的特点处理分段函数，从而解决问题。 例7．已知函数为奇函数，则等于（  ） A． B．1 C．0 D．2 变式7-1．若函数是上的偶函数，则 ． 变式7-2．已知函数，则不等式的解集为________． 变式7-3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求函数在上的解析式； （3）在坐标系中画由函数的图象并解关于的不等式． 类型八、分段函数的值域或最值及其应用 1.求分段函数的值域或最值：①求每一段的值域（最值）②将每段值域求并集（比较每段最值） 2.根据分段函数的值域求参数：分类讨论每段的值域 【技巧方法】 由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围，最后通过的范围确定出参量的取值范围 例8．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 变式8-1．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为 . 变式8-3．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 变式8-4．已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为 ; 若存在最大值，则的取值范围是 . 类型九、分段函数与零点问题 由分段函数的性质画出函数图象，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合函数的性质求解即可． 【技巧方法】 由分段函数的性质画出函数图象，从而将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 例9．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是 ． 变式9-1．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 变式9-2．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（  ） A. B. C. D. 变式9-3．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 类型十、max/min型分段函数问题 【技巧方法】 图象法： 对与，可通过画出，的图象，找到图象的交点，并取出的图象，根据图象求解（类似） 例10．设已知函数，则（  ） A． B．0 C．6 D．9 变式10-1．已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 变式10-2．定义，设，则下列结论不正确的是（  ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 变式10-3．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 变式10-4．定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1） ；（2）若，则实数x的取值范围是 ． 类型十一、新定义题 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例11．Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（  ） A． B． C． D． 变式11-1．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式11-2．新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（  ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 变式11-3．德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（  ） A． B． C．1 D．2 1.已知函数，则的值域是（  ） A． B． C． D． 2.已知函数，则（  ） A． B． C． D． 3.已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数令，则下列说法正确的是（  ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 7.（多选）函数，则下列结论正确的是（  ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．， 8.（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（  ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 9.已知函数，则（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 10.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 11.已知 ①当时，的值域为 ； ②若，则x的取值范围为 ． 12.已知函数若关于的不等式的解集是，，则的取值范围是 . 13.已知函数. (1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； (3)设，记的最小值为，求的最小值. 14.已知，函数 （1）若在上单调递增，则求的取值范围； （2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则求的取值范围。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $