精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值150分 命题人：李云皇 审题人：彭熹､汤芳 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解. 【详解】根据存在量词命题的否定可得， 的否定为， 故选：C 3. 将化成分数指数幂的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解. 【详解】. 故选：A. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数定义域范围直接代入计算即可； 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故选：B. 5. 已知函数是奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求出即可判断. 【详解】是奇函数， 等价于，即， 故是的充要条件. 故选：C 6. 若函数的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和范围，从而求出实数的取值范围. 【详解】当时，，其开口向上，对称轴为，值域为， 由函数的值域是， 则当时，的值域应包含，所以为减函数， 所以，解得，故的取值范围是. 故选：C 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A. 17m3 B. 18m3 C. 19m3 D. 20m3 【答案】A 【解析】 【分析】根据收费标准，求出y关于x的分段函数，由水费的值，判断出用水量的范围，求出x的值，即可求解． 【详解】设用水量为xm3，水费为y元， 当0≤x≤12时，y＝3x， 当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36，值域为 当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90， ∵12＜x≤18， ∴令6x﹣36＝66，解得x＝17， 故此用户居民本月用水量为17m3． 故选：A． 8. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的性质得，进而有时，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题设，且，则， 所以，则时，， 所以，令，则， 当且仅当时取等号，故最大值为. 故选：B 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（     ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数表示幂函数 C. 若幂函数在单调递增，则 D. 幂函数的图象都过点和 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，，所以P的坐标为， 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】两边平方后，求出答案. 【详解】因为，所以，即． 故答案为：3 14. 若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，根据，分、两种情况讨论即可. 【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立， 设，， 则题意等价于存在实数，使得，所以， 即， 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以； 当时， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）当时，在上单调递增， ，， 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以， 解得，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为： 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【小问1详解】 证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 因为， 故或. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 17 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. 【小问2详解】 当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. 【小问1详解】 由题意得， 【小问2详解】 当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. 【小问2详解】 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. 【小问3详解】 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值150分 命题人：李云皇 审题人：彭熹､汤芳 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 将化成分数指数幂的形式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A 17m3 B. 18m3 C. 19m3 D. 20m3 8. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ） A 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（     ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数表示幂函数 C. 若幂函数在单调递增，则 D. 幂函数的图象都过点和 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__． 13. 已知，则___________． 14. 若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 18. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 19. 若函数与满足：对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $