1.3 反比例函数的应用 同步学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学学案聚焦反比例函数的应用，梳理变量关系分析、建立函数关系式、解决实际问题的思路，涵盖工作总量等常见等量关系。通过“列清单·划重点”构建学习支架，衔接反比例函数概念，引导学生从概念过渡到实际应用。 资料以“明考点·识方法”和“当堂测·夯基础”分层设计，典例与变式结合压强、小孔成像等现实情境，助学生用数学眼光发现数量关系，通过思路导析培养推理能力与运算能力，以函数模型解决问题提升模型意识与应用意识，习题层次分明，有效巩固知识，提升课堂效率。

第一章 反比例函数 3反比例函数的应用 列清单·划重点 知识点① 用反比例函数解决实际问题的思路 分析问题中____________的关系→建立____________的关系式→解决____________. 知识点② 常见等量关系 工作总量=_____________________； 路程=_____________________; 电压=_____________________; 质量=_____________________. 注意 　 实际问题中，自变量的取值范围往往还受实际条件的限制，画图象时应考虑其具体的范围. 明考点·识方法 考点① 反比例函数的应用 典例1 在温度不变的条件下，一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于 V 的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到 100 kPa,则气体体积压缩了________ mL. 　 思路导析 本题考查反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的表达式是解本题的关键.设这个反比例函数的表达式为 代入(100,60)求得k,代入 和 求得变化前后的体积即可得出结论. 变式 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当. 时, (1)求 y关于x 的函数表达式； (2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离. 考点② 反比例函数与一次函数综合 典例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 交于点 A(-m,3m),B(4,两点,与 y轴交于点C,连接OA,OB. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式 的解集. 思路导析 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.(1)用待定系数法求得反比例函数表达式，由图象上的点满足函数表达式，得A点坐标，再用待定系数法求得一次函数的表达式即可；(2)根据三角形面积的和，可得答案；(3)直接观察函数图象，就可以得出正确的答案. 变式 如图，一次函数. 的图象与反比例函数 的图象交于点A(m,4),与 x轴交于点 B,与 y轴交于点C(0,3). (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知点P为反比例函数 图象上的一点，求点 P 的坐标. 当堂测·夯基础 1.如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(2,3), 则 不 等式的解是 ( ) 或 或 或 或 第1题图 第2题图 2.已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流 I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是 2 A，那么此用电器的电阻是_________Ω. 3.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p(Pa)是气球体积 的反比例函数，且当 时, 当气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于______m³. 4.如图,直线: ,为常数)与双曲线 (m为常数)相交于 A(2,a), 两点. (1)求直线. 的表达式； (2)在双曲线 上任取两点 和 若 试确定 和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于 x 的不等式， 的解集. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 变量间 反比例函数 实际问题 知识点2 工作时间×工作效率 速度×时间 电阻×电流 密度×体积 【明考点·识方法】 典例1 20 变式 解：(1)由题意，设 把 代入，得 ∴y关于x的函数表达式为 (2)把 代入 得 ∴小孔到蜡烛的距离为 4 cm. 典例2 解:(1)∵点. 在反比例函数 的图象上， ∴反比例函数的表达式为 在反比例函数 的图象上， (舍去),∴点 A 的坐标为( 把点 分别代入 得 ∴一次函数的表达式为 (2)∵点 C 为直线AB 与y 轴的交点, (3)由题意得 或 变式 解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数的图象上， ∴A(1,4), 又∵点A(1,4),C(0,3)都在一次函数 的图象上， 解得 ∴一次函数的表达式为 (2)对于y=x+3,当. 时, ∴OB=3, ∵C(0,3),∴OC=3, 过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H,过点 P 作PD⊥x轴于点 D, ∵S△OBP=2S△OAC, 即 解得 PD=2, ∴点 P 的纵坐标为2 或-2, 将y=2或-2代入 得x=2或 ∴点 P(2,2)或(-2,-2). 【当堂测·夯基础】 1. A 2.18 3.0.6 4.解:(1)由题意,将 B点代入 得 ∴∴双曲线为 又∵A(2,a)在双曲线上, 将A，B的坐标代入. 得 ∴直线. 的表达式为 (2)由题意，可分成两种情形： ①点 M，N在双曲线的同一支上， 由双曲线 在同一支上时函数值y随x 的增大而增大， ∴当 时, ②点 M，N在双曲线的不同支上， ∵ ∴此时由图象可得. 即此时当 时, (3)由图象,得 即一次函数值大于反比例函数值， ∴不等式 的解集为 或 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $