2.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“30°，45°，60°角的三角函数值”，衔接直角三角形边角关系基础，通过“列清单·划重点”的表格梳理函数值及增减规律，搭建从具体角度到函数性质的认知支架，引导学生系统掌握核心知识点。 特色在于“明考点·识方法”分四类考点，典例结合变式覆盖基础计算、锐角求解、混合运算及实际应用（如航海、测量情境），培养数学眼光（观察现实问题）、数学思维（逻辑推理运算）、数学语言（符号表达关系），当堂检测夯实基础，助力学生自主学习与核心素养提升。

第二章 直角三角形的边角关系 2 30°，45°，60°角的三角函数值 列清单·划重点 知识点 30°, 45°, 60°角的三角函数值表 三角函数 函数值 角度 正弦sinα 余弦cosα 正切 tanα 30° 45° 60° 规律总结 当α在0～90°之间变化时,随着α的增大, sinα逐渐_________, cosα逐渐 _________,tanα逐渐__________ 明考点·识方法 考点① 求特殊角的三角函数值 典例1 已知α是锐角，则 sinα的值为___________. 思路导析 本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键。首先利用特殊角的三角函数值得到α-15°的值，然后求出α，最后利用α的正弦值求解即可. 变式 定义一种运算： 例如:当α=45°,β=30°时, 则 的值 为____________. 考点② 已知特殊角的三角函数值，求锐角的大小 典例2 如果 0,则 的形状是_________. 思路导析 本题考查特殊角的三角函数值以及非负数的性质，由 得 进而求得cosA,tanB，再由特殊角的三角函数值求得 可以判断三角形的形状. 变式 在 中，若则 是_________. 考点③ 特殊角的三角函数值的混合运算 典 例 3 计算: 思路导析 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键.将特殊角三角代入后根据实数的运算求解即可. 变式 计算： 考点4 特殊角的三角函数的实际应用 典例4 如图，海中有一小岛A，在B 处测得小岛 A 在北偏东 方向上，渔船从 B 处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A的距离为 ( ) 海里 海里 C.20海里 海里 思路导析 本题考查三角函数的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.首先由题意,得AC⊥BC,然后在 Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答. 变式1 某校安装了红外线体温检测仪(如图1)，其红外线探测点 O 可以在垂直于地面的支杆OP 上自由调节(如图2)，已知最大探测角最小探测角 该设备的安装高度OC 为 2.5米，则AB的长为 ( ) 变式2 在 中,已知 为锐角,且 tanA,cosB恰为一元二次方程 的两个实数根.求 m 的值并判断 的形状. 当堂测·夯基础 1.下列三角函数的值是 的是 ( ) A. cos30° B. tan30° C. cos60° D. sin45° 2.在 中，若这个三角形一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.若锐角α满足 且 则α的范围是 ( ) 4.如图,钓鱼竿 AC 长8m,露在水面上的鱼线 BC 长钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'长度是( ) 5.已知实数,则下列说法正确的是 ( ) 6.已知α是锐角,且求 的值. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 增大 减小 增大 【明考点·识方法】 典例 变式 典例2 等边三角形 变式 等腰直角三角形 典例3 解：原式 变式 解：原式 典例 4 D 变式 1 D 变式2 解: 把 代入方程 得解得 则原方程为 解方程，得 即 即 是直角三角形. 【当堂测·夯基础】1. A 2. B 3. B 4. D 5. A 6.解: 且α是锐角， www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $