精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市吴淞中学2025-2026学年第一学期高三数学学科期中考试(试卷) （考试时间120分钟满分150分）2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知向量，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故答案为：. 2. 已知等比数列，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】为等比数列，， . 故答案为：. 3. 的展开式中常数项是___________. 【答案】252 【解析】 【分析】写出的展开式的通项公式，令，求得k值，代入通项公式，即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得k=5， 所以常数项为. 故答案为：252 4. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以另一个根为， 故. 故答案为：. 5. 已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理可求得最大角，进而求出正弦值即可. 【详解】中，最大的边长为7， 边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为， 由余弦定理可得：， 又为三角形的内角，，， . 故答案为：. 6. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数的单调性求解. 【详解】设，其定义域为. 因为在均为增函数，所以在上单调递增. 又，所以不等式，即， 所以，又因为定义域为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7. 在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比．若在半径为3的管道中，某气体的速率为400，则该气体通过半径为5的管道时的速率为_____．(结果精确到1) 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，由条件求出，将代入可求得答案． 【详解】由题意可设， 又，即， 当时，， 即该气体通过半径为的管道时的速率为． 故答案为：． 8. 已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 9. 已知函数，存在，使得，则的值是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】首先利用条件化简方程，结合辅助角公式及角的范围，即可求的值. 【详解】， ， ， ， 或， 当时，，又，所以； 当时，， 即，所以， 又，，则，解得， 综上：或. 故答案为：或. 10. 柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出遗失的学生成绩，然后根据平均数与方差的公式计算即可. 【详解】因为，则遗失的学生成绩是剩余学生的成绩从小到大排列的第3个， 所以遗失的学生成绩为. 因为这10名学生的成绩的平均数为：， 所以方差为. 故答案为：2.09. 11. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 12. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为_____．（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题可设，结合已知条件求得及，再结合向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题可设， 则， 所以， 两式相减可得：， 再代入第一个式子，可得：， 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于表达式，当，即取得最大值， 此时取得最大值， 所以，当时，取得最大值， 所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 介于和1之间的某个实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 15. 无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】由为递增数列， 可得，必要性成立；利用特殊值证明充分性不成立. 【详解】等差数列的首项为,公差为,前项和为, 则, 若为递增数列， ，必要性成立； 若，不能推出（如）, 即不能推出为递增数列，充分性不成立， 故“”是“”为递增数列的必要非充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查数列的增减性，以及充分条件与必要条件的定义，属于难题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断即可求解. 【详解】当平面与A、B、C、D间的连线段的中点相交时， 不妨设平面过，，的中点，，，此时点A、B到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示， 此时B、C、D到平面的距离可能与A、B到平面的距离相同，此时有1个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（2）所示， 此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（3）所示， 此时点到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，过的靠近的四等分点，过靠近点的四等分点，如图（4）所示， 此时点到平面的距离相等，到平面的距离不同， 且和到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数的表达式. （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）若存在，满足方程，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数得对恒成立，可求得的值； （2）由已知可得，令，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，的定义域关于原点对称， 由， 则， 所以； 【小问2详解】 ， ， 令， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 当时，， . 18. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 19. 请解决下列问题： （1）已知事件与互斥，，且，求. （2）证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； （3）甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【答案】（1） （2） 如果两个事件与相互独立， ， ， ， 所以与也独立. （3） 若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件及对立事件的概率公式求解； （2）根据独立事件的概念证明； （3）分别计算：一局定胜负与三局两胜情况下甲赢的概率，比较即可． 【小问1详解】 ， 事件与互斥，， 又，， ，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）若直线，求两点坐标； （2）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由; （3）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，根据韦达定理及斜率公式计算即可； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，由得，结合韦达定理可得的关系，代入原点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 则. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以， 所以 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 联立，得， ， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 则， ， ， 所以， 若，则不成立， 所以，， 代入，可得，化简得恒成立， 原点到直线的距离为 ， ， ，所以， 所以的取值范围为. 21. 对于函数，.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期” （1）已知函数，其中，求证：对任意实数，都有; （2）设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值； （3）设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，证明：，且. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求导公式即可证明； （2）先根据最小导周期求出，再分析的几何意义求最小值； （3）先求，结合条件确定表达式，再利用三角函数性质证明范围. 【小问1详解】 证明：因为， 所以，对任意实数，都有. 【小问2详解】 ， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，最小导周期不是2，矛盾; 若，则，，最小导周期为2，符合要求，所以 可视为点与点之间的距离 当实数变化时，点在直线上运动， 点在曲线上运动 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值 而曲线在直线上方 平移直线使其与曲线相切，则切点到直线的距离即为所求. 设切点，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离 即的最小值为 【小问3详解】 记，即 由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，于是 则① 又，则② ，得，则 又因为 所以，由得 又因为 所以 有，于是 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市吴淞中学2025-2026学年第一学期高三数学学科期中考试(试卷) （考试时间120分钟满分150分）2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知向量，，若，则__________． 2. 已知等比数列，，，则_____. 3. 的展开式中常数项是___________. 4. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 5. 已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于_____. 6. 不等式的解集为_____. 7. 在固定压力差(压力差为常数)的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比．若在半径为3的管道中，某气体的速率为400，则该气体通过半径为5的管道时的速率为_____．(结果精确到1) 8. 已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 9. 已知函数，存在，使得，则的值是_____. 10. 柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 11. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 12. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为_____．（用反三角表示） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 介于和1之间的某个实数 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 15. 无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数的表达式. （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）若存在，满足方程，求的取值范围. 18. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 19. 请解决下列问题： （1）已知事件与互斥，，且，求. （2）证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； （3）甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 20. 已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. （1）若直线，求两点坐标； （2）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由; （3）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围. 21. 对于函数，.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期” （1）已知函数，其中，求证：对任意实数，都有; （2）设，，若函数的最小导周期为记，当实数变化时，求的最小值； （3）设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，证明：，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $