第一章 素养提升课(二) 带电粒子在有界磁场中的运动-【名师导航】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册教师用书word（人教版）

本高中物理讲义聚焦带电粒子在有界磁场中的运动核心知识点，系统梳理直线、平行、圆形边界磁场的轨迹特点，通过对称性分析、临界条件归纳及几何关系应用构建学习支架，衔接基础轨迹分析与临界、多解问题求解。 该资料以科学思维培养为亮点，通过典例解析几何关系（如圆形边界粒子运动半径计算）提升模型建构与科学推理能力，针对训练覆盖不同边界问题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

素养提升课(二)　带电粒子在有界磁场中的运动 [学习目标]　1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。3．能利用几何知识求解圆周运动的半径。4．会分析有界磁场中的临界、极值问题。 　带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点 1．直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界 (1)粒子沿圆形区域匀强磁场的半径方向垂直射入磁场，必沿半径方向射出磁场，如图甲所示。 (2)粒子射入磁场的速度方向与入射点和磁场圆心连线的夹角等于射出磁场的速度方向与出射点和磁场圆心连线的夹角，如图乙所示。 【典例1】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度的大小B′，及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 [解析]　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径为r 又qvB＝m 则粒子的比荷＝。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，故弧AD所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r′＝＝r 又r′＝ 所以B′＝B 此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝。 [答案]　(1)负电荷　　(2)B　 [针对训练] 1．如图所示为有一水平边界的匀强磁场，一带电粒子与边界成θ角度以v0的速度垂直射入磁场，一段时间后从磁场射出，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，则(　　) A．粒子在磁场中运动的时间变为原来的2倍 B．粒子在磁场中运动的时间变为原来的 C．粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角变大 D．粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍 D　[由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝，可得r＝，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，运动半径将变为原来2倍，由几何关系，在磁场中运动的圆弧轨迹对应的圆心角都是2θ，两次运动时间相同均为t＝T＝·＝，A、B错误；由几何关系，粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角都是θ，不变，C错误；第一次粒子出射点与入射点间的距离x1＝2r sin θ，第二次粒子出射点与入射点间的距离x2＝2×2r sin θ＝4r sin θ，粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍，D正确。] 2．(人教版教材P20T3改编)带电粒子的质量m＝1.7×10-27 kg、电荷量q＝＋1.6×10-19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示(粒子重力忽略不计，π取3.14，结果保留2位有效数字)。求： (1)带电粒子离开磁场时的速度大小； (2)带电粒子在磁场中运动的时间； (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。 [解析]　(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度大小仍为3.2×106 m/s。 (2)由qvB＝m得轨道半径r＝＝ m＝0.2 m 由题图可知偏转角θ满足sin θ＝＝＝0.5 所以θ＝ 带电粒子在磁场中运动的周期T＝ 所以带电粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T 所以t＝＝ s≈3.3×10-8 s。 (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d＝r(1－cos θ)＝0.2× m≈2.7×10-2 m。 [答案]　(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10-8 s (3)2.7×10-2 m 　带电粒子在有界磁场中的临界问题 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度大小的变化引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论： (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。 【典例2】　(多选)如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v0射入磁场，要使粒子不从BC边穿出磁场，则下列说法正确的是(　　) A．磁感应强度的最小值为 B．磁感应强度的最小值为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 AC　[带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得qv0B＝，可得B＝，可知半径r越大，磁感应强度越小，要使粒子不从BC边穿出磁场，画出半径r最大时的轨迹，如图所示，由几何关系可知，四边形OABD是正方形，故圆弧轨迹的半径为L，可得磁感应强度的最小值Bmin＝，A正确，B错误；粒子从AC边射出时在磁场中转过的圆心角为120°，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，可知B最小时，周期最大，粒子运动时间最长，最长时间为t＝Tmax＝·＝，C正确，D错误。] 　(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。 (2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。 [针对训练] 3．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是(　　) A．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 B．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B　[设粒子的轨迹半径为r，则qvB＝m，可得r＝，画出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示。由AO＝2rsin θ＝可得，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，A错误；由几何关系得，轨迹对应的圆心角α＝2π－2θ，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝可得，若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的时间t越短，若θ一定，则粒子在磁场中运动的时间一定，B正确，D错误；粒子在磁场中运动的角速度ω＝，又T＝，则ω＝，与v无关，C错误。] 　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 1．带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，由于带电性质不确定带来多解。 2．磁场方向不确定形成多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3．临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v＜v1或v＞v2。 4．运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而带来多解。 【典例3】　 (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> BC　[当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知r2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋r2，故r2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB2＝，所以得B2>，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvB1＝，所以得B1>，选项C正确，D错误。] [针对训练] 4．(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　) A．　　B．　　C．　　D． AD　[由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况，由qvB＝m和T＝得T＝，由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为t1＝T＝T＝，t2＝T＝T＝，选项A、D正确。] 5．(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A． B． C． D． AB　[由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1，2，3，…)，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1，2，3，…)，选项A、B正确。] 素养提升练(二)　带电粒子在有界磁场中的运动 一、选择题 1．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子所带电荷的正、负可能是(　　) A．，正电荷 B．，正电荷 C．，负电荷 D．，负电荷 BC　[如图所示，若粒子带正电，则a＝r1(1－sin 30°)＝，则B1＝，B正确；若粒子带负电，则a＝r2(1＋sin 30°)＝，则B2＝，C正确。] 2．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为(　　) A． B． C． D． B　[以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图，由几何关系知轨迹圆半径r＝，又半径r＝，解得B＝，B正确。] 3．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场方向飞入正方形区域的匀强磁场中，下列判断正确的是(　　) A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 C　[比较2、5轨迹可知A错误；比较3、4、5轨迹可知B错误；电子在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，它们的速率不同，故C正确，D错误。] 4．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 B　[由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，运动时间t＝T，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。] 5．如图所示，斜边长为a的等腰直角三角形MNP处于一匀强磁场中，比荷为的电子以速度v0从M点沿MN方向射入磁场，欲使电子能经过NP边，则磁感应强度B的取值范围应为(　　) A．B≤ B．B≤ C．B≥ D．B≥ A　[若电子恰能经过P点，则轨道半径r＝a，则由ev0B＝，可得此时B＝＝，则欲使电子能经过NP边，磁感应强度B的取值范围为B≤，故选A。] 6．(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A． B． C． D． BD　[设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝，可知带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R＋Rcos 45°＝d，解得R＝(2－)d，对应的速率v＝，若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，由几何知识得R－Rcos 45°＝d，解得R＝(2＋)d，对应的速率v＝，故选B、D。 ] 7．(多选)如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，两磁场右边界均足够宽。一带电的粒子质量为m、电荷量为－q(q＞0，不计粒子重力)，从原点O与x轴成 30°角斜向上射入磁场，且在x轴上方磁场中的运动半径为R，下列说法正确的是(　　) A．粒子经偏转一定能回到原点O B．粒子完成一次周期性运动的时间为 C．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为 2∶1 D．粒子从原点出发后到第二次穿过x轴时，沿x轴前进3R BD　[根据左手定则判断可知，粒子在第一象限沿顺时针方向旋转，而在第四象限沿逆时针方向旋转，故不可能回到原点O，故A错误；由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝，解得r＝∝，可知粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为r1∶r2＝∶B＝1∶2，故C错误；粒子运动轨迹如图所示， 由几何关系可知，粒子在第一象限的轨迹所对应的圆心角为60°，在第四象限轨迹所对应的圆心角也为60°，在一个周期内，粒子在第一象限运动的时间为t1＝T1＝×＝，粒子在第四象限运动的时间为t2＝T2＝×＝，完成一次周期性运动的时间为T′＝t1＋t2＝，故B正确；根据几何知识可知，粒子从原点出发后到第二次穿过x轴时，沿x轴前进的距离为x＝r1＋r2＝R＋2R＝3R，故D正确。故选BD。] 8．(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 D　[在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间间隔最小时，根据对称性可知轨迹如图甲所示，则最小时间间隔为t＝2T＝，故C错误； 粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中运动半径为r，根据几何关系可知r＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得 v＝，故D正确。] 9．如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场里的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场里的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 B　[根据周期公式T＝可知，同一种粒子在同一磁场中运动的周期相同。两个粒子的运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为60°，与ac的夹角为30°。当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏转角为θ1＝2×60°＝120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1＝×T＝；当粒子从a点进入磁场，从c点出磁场时，速度偏转角为θ2＝2×30°＝60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2＝×T＝，因此t1∶t2＝2∶1，选项B正确。] 10．如图所示，在竖直面内按虚线分割为两个区域，区域上部分有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，虚线ab部分是一个半圆，半径为R，ca部分是水平直线，长度为R。bd部分为与ca等高的水平直线，长度也为R。一群质量为m、电荷量为＋q的粒子从c点以不同的速率竖直向上射入磁场，其中在磁场中运动时间最长的粒子的速度是(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)(　　) A．v＝ B．v＝ C．v＝ D．v＝ B　[粒子在磁场中做匀速圆周运动有qBv＝，T＝，可得粒子在磁场中运动的周期T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝·T，可见轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。由几何关系知，过c点作ab圆弧的切线，带电粒子经过此切点时θ有最大值，所对应的圆周运动的圆心角最大，则圆心角θ＝240°，对应粒子的圆周运动半径r＝R，代入前面公式可得v＝，故选B。] 二、非选择题 11．如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从ab边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pb成60°角的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)若带电粒子垂直于ad边射出磁场，求该粒子的运动时间； (2)求ab边界有粒子离开磁场的区域长度； (3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，求该粒子的速度大小。 [解析]　(1)粒子运动轨迹如图所示， 该粒子的圆心角为120°，则运动时间为t＝T＝。 (2)如图所示，粒子运动轨迹与ad相切时，由几何关系知该粒子的运动半径满足r＋r cos 30°＝ ab边界有粒子离开磁场的区域长度，即弦长为l＝2r cos 30°，得l＝(2－3)L。 (3)若速度方向偏转了60°，则粒子从cd中点射出磁场，圆心角为60°，弦长为L，则半径长为L。根据qvB＝m，得v＝。 [答案]　(1)　(2)(2－3)L　(3) 12．如图所示，在直角坐标系xOy中，x≥0、y≥0范围内有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里，虚线y＝x为它们的分界线，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B0，区域Ⅱ的磁感应强度大小可调，P点为它们分界线上的某一点，已知OP＝4L。质量为m、带电荷量为－q的粒子从O点沿y轴正方向射入磁场Ⅰ中，速度大小为v0＝，不计粒子重力，sin 37°＝0.6。 (1)若粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域Ⅱ磁场中做圆周运动的轨迹半径大小应满足的条件； (2)若粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过P点，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小的所有可能值。 [解析]　(1)两磁场分界线与x轴夹角为θ＝37°，设粒子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ内运动的轨迹半径分别是R1、R2，粒子在磁场Ⅰ内运动时，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B0＝，解得R1＝L 如图所示为粒子运动轨迹恰好与x轴相切的情况，此时为临界状态。由几何知识可知，粒子每在磁场Ⅰ中运动一次，到达OP直线的位置都会向前推进2R1cos 37°，每在磁场Ⅱ中运动一次，到达OP直线的位置都会向后倒退2R2cos 37°。若粒子不会飞出第一象限，需满足(2R1cos 37°－2R2·cos 37°)sin 37°≥R2 解得0<R2≤L。 (2)粒子在磁场Ⅱ内运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B2＝ 若粒子是从Ⅱ区域通过P点，则有 n(2R1cos 37°－2R2cos 37°)＝4L 解得R2＝L 因0<R2≤L，故n＝3、4，当n＝3时R2＝，对应的B2＝6B0，n＝4时R2＝，对应的B2＝。 若粒子是从Ⅰ区通过P点，则有 n(2R1cos 37°－2R2cos 37°)＋2R1cos 37°＝4L 解得R2＝L，因0<R2≤L，故n＝2 当n＝2时R2＝，对应的B2＝4B0，综上所述，粒子恰好能经过P点时，区域Ⅱ磁场的磁感应强度的可能取值有6B0、、4B0。 [答案]　(1)0<R2≤L　(2)6B0、、4B0 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $